G. Giunta, Lucidi del corso Elaborazione dei Segnali per ... - Comlab
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G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.1<br />
Universita' di Roma TRE<br />
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica<br />
Corso di laurea in Ingegneria Informatica<br />
<strong>Lucidi</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong> di<br />
<strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong><br />
Telecomunicazioni (laurea specialistica)<br />
x(n+1)<br />
(docente: Prof. G. <strong>Giunta</strong>)<br />
x(n)<br />
z -1<br />
-a 1<br />
z -1<br />
-a<br />
2<br />
z -1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
z<br />
-a<br />
N<br />
-1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
-1<br />
P(z)<br />
predittore<br />
H(z)<br />
^x(n+1)<br />
e<br />
filtro <strong>del</strong>l'errore<br />
di predizione<br />
1 a edizione: aprile 2004<br />
disponibile su sito WEB <strong>per</strong> download gratuito<br />
e(n+1)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.2<br />
TRASFORMAZIONI DI SEQUENZE<br />
T: I → U<br />
• trasformazioni invertibili (corrispondenza<br />
biunivoca)<br />
• trasformazioni istantenee (o "di punto")<br />
y(n) = g n [x(n)]<br />
• trasformazioni causali (fisicamente realizzabili)<br />
y(n) = g n [x(n), x(n-1), x(n-2), ...]<br />
• trasformazioni anticausali (anticipatorie)<br />
y(n) = g n [x(n+1), x(n+2), x(n+3) ...]<br />
• trasformazioni "miste" (ne' causali ne'<br />
anticausali)<br />
y(n) = g n [..., x(n-1), x(n), x(n+1) ...]
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.3<br />
• trasformazioni a memoria finita<br />
y(n) = g n [x(n-M)..., x(n-1), x(n), x(n+1) ..., x(n+N)]<br />
• trasformazioni invarianti alla traslazione<br />
g n+k [•] = g n [•] = g k [•] = g [•]<br />
• trasformazioni omogenee<br />
A•g n [..., x(n-1), x(n), x(n+1), ...] =<br />
=g n [..., A x(n-1), A x(n), A x(n+1), ...]<br />
• trasformazioni additive<br />
g n[...,x 1(n-1),x 1(n),x 1(n+1),...] +<br />
+g n[...,x 2(n-1),x 2(n),x 2(n+1),...] =<br />
=g n [..., x 1(n-1)+x 1(n-1), x 1(n)+x 2(n), x 1(n+1)+x 2(n+1), ...]<br />
• trasformazioni lineari (additiva + omogenea)<br />
Σ k A k g n [...,x k(n-1),x k(n),x k(n+1),...] =<br />
=g n [..., Σ k A k x k(n-1), Σ k A k x k(n), Σ k A k x k(n+1), ...]
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.4<br />
• struttura <strong>del</strong>le trasformazioni lineari<br />
y(n) = L [x(n)] =<br />
x(n) = Σ k x(k) δ(n-k)<br />
y(n) = Σ k x(k) L [δ(n-k)] = Σ k x(k) h nk = x(n)⊗h(n)<br />
h(n): risposta impulsiva <strong>del</strong>la trasformazione<br />
• forma vettoriale <strong>del</strong>le trasformazioni lineari<br />
y(n) = Σ k x(k) h nk puo' essere espressa in forma vettoriale:<br />
Y = H X (X, Y: vettori; H: matrice)<br />
• struttura <strong>del</strong>le trasformazioni LSI (linear shiftinvariant)<br />
H<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
≠<br />
≠<br />
memoria finita causale<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
≠<br />
≠<br />
≠<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
0<br />
0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
≠<br />
≠<br />
≠<br />
≠<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
≠ 0<br />
(struttura a fascio diagonale) (struttura triangolare inferiore)<br />
H<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.5<br />
TRASFORMAZIONI STABILI<br />
ingresso limitato → uscita limitata (criterio BIBO)<br />
TEOREMA:<br />
una trasformazione LSI e' stabile se e solo se la<br />
sua risposta impulsiva e' assolutamente<br />
sommabile.<br />
prova : sia x max il massimo <strong>del</strong> modulo di tutti gli {x(k)}<br />
• caso di h(n) assolutamente sommabile:<br />
|y(n)| ≤ x max Σ k |h(k)| < +∞<br />
• caso di h(n) non assolutamente sommabile:<br />
x(n) = sign [h(-n)]<br />
y(0) = Σ k h(k) sign[h(k)] = Σ k |h(k)| = +∞<br />
LEMMA:<br />
una trasformazione LSI a memoria finita e'<br />
incondizionatamente stabile.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.6<br />
• esempi<br />
• forme non ricorsive:<br />
y(n) = x(n) • z(n) : lineare, non invariante, istantanea, stabile<br />
y(n) = x(n)-x(n-1) : lineare, invariante, causale, a memoria finita,<br />
stabile<br />
y(n) = x(n-1) - 2 x(n) + x(n+1) : lineare, invariante, ne' causale<br />
ne' anticausale, a memoria finita, stabile<br />
• forme ricorsive:<br />
y(n) = 0.5 y(n-1) + x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita,<br />
causale, stabile<br />
y(n) = 2 y(n-1) + x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita,<br />
causale, non stabile<br />
y(n-1) = 0.5 y(n) - 0.5 x(n) : lineare, invariante, a memoria<br />
infinita, anticausale, stabile<br />
y(n-1) = 2 y(n) - 2 x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita,<br />
anticausale, non stabile<br />
Si noti come le stesse equazioni alle differenze possono fornire<br />
soluzioni stabili o instabili, a seconda che siano "lette" nel verso<br />
causale o anticausale.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.7<br />
EQUAZIONI LINEARI<br />
ALLE DIFFERENZE<br />
• in alcuni sistemi, la sequenza di ingresso x(n) e quella di uscita<br />
y(n) sono legate da un'equazione alle differenze lineare a<br />
coefficienti costanti di ordine N:<br />
k<br />
N<br />
0<br />
=<br />
∑<br />
a<br />
k<br />
y(<br />
n<br />
−<br />
k)<br />
=<br />
m<br />
M<br />
0<br />
=<br />
∑<br />
b<br />
m<br />
x(<br />
n<br />
−<br />
m)<br />
•lasequenza <strong>del</strong>la risposta impulsiva di un sistema h(n), ovvero<br />
l'uscita y(n) quando in ingresso e' presente un impulso ideale δ(n),<br />
non e' univocamente definita. Infatti, la soluzione non e' unica,<br />
ma esistono 2 N possibili soluzioni.<br />
• la soluzione puo' divenire unica solo imponendo vincoli alla h(n)<br />
quali la causalita' oppure l'anticausalita' od anche, in alternativa,<br />
la stabilita' <strong>del</strong> sistema.<br />
• la soluzione causale impone l'uscita sia nulla <strong>per</strong> istanti negativi,<br />
quella anticausale che lo sia <strong>per</strong> istanti positivi o nulli; quella<br />
stabile che la risposta impulsiva <strong>del</strong> sistema converga<br />
asintoticamente a zero (stabilita' asintotica) oppure sia limitatata<br />
entro valori finiti (stabilita' marginale o, piu' semplicemente,<br />
stabilita') al tendere all'infinito <strong>del</strong>la variabile tempo-discreto.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.8<br />
• sia dato, a titolo di esempio, il sistema <strong>del</strong> primo ordine:<br />
ove a e' una costante arbitraria.<br />
y(n) = a y(n-1) + x(n)<br />
• esistono due soluzioni: una causale e l'altra anticausale. Per<br />
ottenere la sequenza <strong>del</strong>la risposta impulsiva h(n) nel caso<br />
causale, si imponga x(n)=δ(n) e si osservi l'uscita y(n),<br />
supponendo condizioni iniziali di riposo, cioe' y(n)=h(n)=0 <strong>per</strong><br />
n
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.9<br />
• al contrario, se si cerca la soluzione anticausale, si impone<br />
sempre x(n)=δ(n), ma si assume y(n)=h(n)=0 <strong>per</strong> n>0, e si osserva<br />
l'uscita y(n).<br />
•l'equazione alle differenze puo' essere riscritta, <strong>per</strong> comodita',<br />
come segue:<br />
Si ha allora:<br />
y(n) = a -1 y(n+1) - a -1 x(n+1)<br />
y(n) = h(n) = 0 <strong>per</strong> n>0<br />
y(0) = h(0) = a -1 y(1) = 0<br />
y(-1) = h(-1) = a -1 y(0)-a -1 =-a -1<br />
y(-2) = h(-2) = a -1 y(-1) = - a -2<br />
•••••••••<br />
y(n) = h(n) = a -1 y(n+1) = - a -n<br />
Quindi:<br />
h(n) = - a n U(-n-1)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.10<br />
• in realta', e' solitamente di interesse applicativo cercare la<br />
soluzione stabile <strong>del</strong> sistema.<br />
• nel caso <strong>del</strong> sistema <strong>del</strong> primo ordine, la soluzione stabile<br />
coincide con quella causale se |a|1 (e'<br />
una soluzione asintoticamente stabile)<br />
• N.B.: sono entrambe stabili (marginalmente) le soluzioni (sia la<br />
causale che la anticausale) se |a|=1.<br />
• piu' in generale, dato un sistema di ordine generico, la ricerca<br />
<strong>del</strong>la sua soluzione stabile puo' portare a determinare<br />
contemporaneamente una parte causale ed una parte<br />
anticausale.<br />
• infatti, e' possibile eseguire una decomposizione <strong>del</strong> sistema in<br />
sottosistemi paralleli equivalenti, tutti con il vincolo <strong>del</strong>la<br />
stabilita'.<br />
• di conseguenza, alcuni sottosistemi risulteranno essere causali,<br />
mentre gli altri saranno anticausali.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.11<br />
TRASFORMATA Z<br />
• definizione (trasformata Z bilatera)<br />
X(z) = Z{x(n)} = ∑ +∞<br />
ovez=re jω e' una variabile complessa <strong>del</strong> piano Z:<br />
• esempio:<br />
1<br />
r<br />
n<br />
=<br />
−∞<br />
z<br />
ω<br />
0 M<br />
3<br />
2<br />
2<br />
0 N<br />
y(i)<br />
x(i)<br />
1<br />
X(z)=1+2z -1 +z -2 +z -3<br />
1<br />
i<br />
i<br />
x<br />
(<br />
n<br />
Y(z)=3+2z -1 +z -2<br />
1<br />
)<br />
z<br />
−<br />
n
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.12<br />
• relazione con la trasformata di Fourier<br />
la definizione di trasformata Z puo' essere riscritta come:<br />
X(<br />
z)<br />
=<br />
+∞<br />
n=<br />
−∞<br />
∑<br />
x(<br />
n)<br />
r<br />
−n<br />
e<br />
−jωn<br />
=<br />
F<br />
{ } n −<br />
x(<br />
n)<br />
r<br />
quindi, la trasformata Z puo' essere interpretata come la<br />
trasformata di Fourier continua <strong>del</strong>la sequenza x(n) moltiplicata<br />
<strong>per</strong> una sequenza esponenziale (parametrica in r)<br />
N.B.: si noti che, <strong>per</strong> r=1, la trasformata Z si riduce alla<br />
trasformata di Fourier, <strong>per</strong> cui:<br />
F{x(n)} = X(n) = Z{x(n)} |z=e jω = X(z) |z=e jω<br />
a causa di cio', la trasformata di Fourier X(ω) e' talvolta indicata<br />
con il simbolo X(e jω ) <strong>per</strong> evidenziare tale proprieta'.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.13<br />
• convergenza <strong>del</strong>la trasformata Z<br />
coincide con la convergenza <strong>del</strong>la trasformata di Fourier <strong>del</strong>la<br />
sequenza {x(n) r -n }<br />
spesso, non converge su tutto il piano Z, ma su un suo<br />
sottoinsieme, detto REGIONE DI CONVERGENZA (ROC)<br />
esempio 1: sequenza esponenziale causale<br />
ROC = {|z|>|a|}<br />
x(n) = a n U(n)<br />
esempio 2: sequenza esponenziale anticausale<br />
ROC = {|z|
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.14<br />
1<br />
X( z)<br />
= − Y(<br />
z)<br />
= −<br />
1−<br />
az<br />
osservazione: x(n) e -y(n) hanno la stessa trasformata Z:<br />
infatti:<br />
Y(<br />
z)<br />
=<br />
n<br />
−1<br />
X(<br />
z)<br />
( az<br />
−1<br />
)<br />
n<br />
∑ +∞<br />
=<br />
n=<br />
0<br />
=<br />
+∞<br />
= −∞ n 1<br />
∑ ∑<br />
=<br />
( a<br />
( a<br />
z<br />
−1<br />
−1<br />
z)<br />
1<br />
) =<br />
1−<br />
a z<br />
n<br />
1<br />
=<br />
1−a<br />
−1<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
−1=<br />
−<br />
z 1−az<br />
ovviamente, la soluzione stabile avra' ROC diversi a seconda che<br />
il punto a nel piano Z si trovi dentro o fuori il cerchio unitario:<br />
ROC = {|z|>|a|} <strong>per</strong> |a||a|} oppure {|z|
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.15<br />
• proprieta' <strong>del</strong>la trasformata Z<br />
x(n) ↔ X(z)<br />
linearita': a x(n) + b y(n) ↔ a X(z) + b Y(z)<br />
traslazione: x(n+K) ↔ z K X(z)<br />
molt. <strong>per</strong> esponenziale: z o n x(n) ↔ X(z/z ο )<br />
differenziazione: n x(n) ↔ -z dX(z)/dz<br />
inversione: x(-n) ↔ X(1/z)<br />
coniugazione: x*(n) ↔ X*(z*)<br />
convoluzione: x(n) ⊗ y(n) ↔ X(z) Y(z)<br />
correlazione: x*(-n) ⊗ y(n) ↔ X*(1/z*) Y(z)<br />
val. iniziale: x(n) causale ⇒ x(0) = X(z)|z→+∞
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.16<br />
• le trasformazioni lineari invarianti alla<br />
traslazione (LSI)<br />
H ( z)<br />
=<br />
y(n) = x(n) ⊗ h(n) ↔ Y(z) = X(z) H(z)<br />
Y(<br />
z)<br />
X(<br />
z)<br />
• sul cerchio unitario:<br />
:<br />
FUNZIONEDI<br />
TRASFERIMENTO<br />
z=e jω<br />
H(e jω ) : RISPOSTA IN FREQUENZA<br />
H(e jω )=|H(e jω )| e jarg{H(ejω )}<br />
|H(e jω )| : GUADAGNO IN FREQUENZA<br />
arg{H(e jω )} : RISPOSTA IN FASE<br />
N.B.: ω e' un angolo ⇒ come e’ noto dalla trasformata continua di<br />
Fourier di sequenze discrete, H(e jω )e'PERIODICA DI 2π
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.17<br />
• equazioni alle differenze e trasformata Z<br />
L'equazione alle differenze:<br />
k<br />
N<br />
0<br />
a<br />
k<br />
y(<br />
n − k)<br />
=<br />
m<br />
M<br />
= =<br />
∑ ∑<br />
0<br />
b<br />
m<br />
x(<br />
n<br />
−<br />
m)<br />
puo' essere risolta mediante l'ausilio <strong>del</strong>la trasformata Z; infatti,<br />
essa puo' essere riscritta come:<br />
Y(<br />
z)<br />
k<br />
N<br />
0<br />
a<br />
k<br />
z<br />
− k<br />
=<br />
X(<br />
z)<br />
m<br />
M<br />
= =<br />
∑ ∑<br />
che fornisce una funzione di trasferimento H(z):<br />
H(<br />
z)<br />
M<br />
m=<br />
0 = N<br />
∑<br />
k<br />
0<br />
=<br />
∑<br />
Il problema e' quindi ANTITRASFORMARE la H(z) <strong>per</strong> ottenere<br />
la sequenza h(n) corrispondente alla soluzione stabile.<br />
Il modo canonico utilizza il metodo di decomposizione in frazioni<br />
parziali o metodo <strong>dei</strong> residui.<br />
b<br />
a<br />
m<br />
k<br />
z<br />
z<br />
−m<br />
−k<br />
0<br />
b<br />
m<br />
z<br />
−m
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 18<br />
• metodo <strong>dei</strong> residui<br />
Sia V(x) un rapporto di polinomi nella variabile complessa x:<br />
V(<br />
x)<br />
=<br />
Q(<br />
x)<br />
P(<br />
x)<br />
b<br />
=<br />
a<br />
0<br />
0<br />
+ b<br />
1<br />
+ a<br />
1<br />
x + b<br />
x + a<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
+ . . + b<br />
Q<br />
+ . . + a<br />
Se il quoziente non e' proprio, ovvero se Q≥P, cioe' se il grado <strong>del</strong><br />
numeratore e' maggiore o uguale a quello <strong>del</strong> denominatore, lo si<br />
rende proprio effettuando la divisione tra polinomi con resto,<br />
ottenendo cosi':<br />
Q−p<br />
Q−p−1<br />
V( x)<br />
= CQ<br />
P x + CQ<br />
P 1 x + . . + c1<br />
x+<br />
c0<br />
−<br />
ove H(x) e' un rapporto di polinomi dato da:<br />
H(<br />
x)<br />
=<br />
R(<br />
x)<br />
P(<br />
x)<br />
r<br />
=<br />
a<br />
−<br />
0<br />
0<br />
−<br />
+ r<br />
1<br />
+ a<br />
1<br />
x + r<br />
2<br />
x + a<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x<br />
+ . . + r<br />
2<br />
Q<br />
+ . . + a<br />
P<br />
x<br />
P<br />
x<br />
x<br />
Q<br />
x<br />
Q<br />
P<br />
+<br />
P<br />
H(<br />
x)<br />
in cui R(x) e' il resto <strong>del</strong>la divisione costituito da un polinomio di<br />
grado G
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 19<br />
Il teorema <strong>dei</strong> residui afferma che e' possibile espandere in fratti<br />
semplici un quoziente proprio di polinomi nel modo seguente:<br />
H(<br />
x)<br />
=<br />
R(<br />
x)<br />
P(<br />
x)<br />
=<br />
D<br />
A k<br />
x − x<br />
+<br />
∑ ∑ ∑<br />
= = =<br />
k<br />
1<br />
ove il polinomio P(x) ha P zeri (quindi V(x) ed H(x) hanno P<br />
poli) di cui D distinti (xk) ed M multipli (xm) con molteplicita' S1,<br />
S2, ..., SM, rispettivamente, con:<br />
P = D +<br />
k<br />
M<br />
m=<br />
1<br />
∑<br />
S<br />
m<br />
M<br />
m<br />
1<br />
S<br />
n<br />
m<br />
1<br />
( x<br />
C<br />
−<br />
m n<br />
mentre Ak eCmn sono i residui definiti dalle espressioni:<br />
C<br />
m n<br />
=<br />
( S<br />
m<br />
[ H(<br />
x)<br />
⋅(<br />
x − x ] k)<br />
x xk<br />
A k =<br />
=<br />
1<br />
−n<br />
) !<br />
⋅<br />
⎨<br />
⎧<br />
d<br />
d x<br />
( S<br />
m<br />
( S<br />
− n )<br />
m<br />
− n )<br />
x<br />
Sm<br />
[ H(<br />
x)<br />
⋅(<br />
x − x ) ]<br />
⎩<br />
Per utilizzare <strong>per</strong> il calcolo di antitrasformate-Z l'espansione in<br />
fratti semplici, teste' illustrata in funzione di una generica<br />
variabile complessa x, e' possibile considerare l'espressione nel<br />
dominio trasformato come un rapporto di polinomi nella variabile<br />
complessa z o, alternativamente, nella variabile complessa z-1.<br />
Entrambe le vie risultano in generale proponibili. Tuttavia, al fine<br />
di poter applicare direttamente le regole di antitrasformazione gia'<br />
note ai diversi fratti semplici ottenibili con il metodo <strong>dei</strong> residui,<br />
e' sovente consigliabile o<strong>per</strong>are nella variabile complessa z-1.<br />
k<br />
m<br />
⎫<br />
⎭<br />
⎬<br />
)<br />
n<br />
x=<br />
x<br />
m
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 20<br />
• risposte <strong>dei</strong> sottoblocchi semplici<br />
Con il metodo <strong>dei</strong> residui la funzione di trasferimento H(z) e'<br />
implementata mediante il parallelo di sottoblocchi semplici,<br />
costituiti (in assenza di poli multipli) da sistemi <strong>del</strong> primo ordine<br />
(dovuti a poli reali) con risposta impulsiva infinita (IIR), oltre ad<br />
un sottoblocco (in alto in figura) con risposta impulsiva finita<br />
(FIR):<br />
x(n)<br />
Σ b z -r<br />
r<br />
r<br />
A 1<br />
1-d z<br />
1<br />
•••<br />
A<br />
k<br />
1-d z<br />
k<br />
parti causali (|d k|1): y k(n-1) = d k -1 [yk(n)-A k x(n)]<br />
−1<br />
−1<br />
y(n)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 21<br />
In pratica, se la funzione di trasferimento H(z) e' a coefficienti<br />
reali, essa e' implementata mediante il parallelo di sottoblocchi<br />
semplici, costituiti (in assenza di poli multipli) da sistemi reali <strong>del</strong><br />
primo ordine (dovuti a poli reali) o da sistemi reali <strong>del</strong> secondo<br />
ordine (dovuti a coppie di poli complessi coniugati) <strong>del</strong> tipo:<br />
esponenziale causale decrescente:<br />
1−<br />
a z<br />
1 n<br />
↔ a −1<br />
esponenziale anticausale crescente:<br />
1−<br />
a z<br />
1 n<br />
↔ a −1<br />
sinusoide causale decrescente:<br />
U(<br />
n)<br />
U(<br />
−n<br />
−1)<br />
−1<br />
1− r cos(<br />
α)<br />
z<br />
n<br />
↔ r<br />
−1<br />
2 −2<br />
1−<br />
2r<br />
cos( α)<br />
z + r z<br />
sinusoide anticausale crescente:<br />
−1<br />
1− r cos(<br />
α)<br />
z<br />
n<br />
↔ −r<br />
−1<br />
2 −2<br />
1−<br />
2r<br />
cos( α)<br />
z + r z<br />
( z > a )<br />
(<br />
z<br />
<<br />
a<br />
)<br />
cos( nα)<br />
U(<br />
n)<br />
cos( nα)<br />
U(<br />
−n<br />
−1)<br />
(<br />
z<br />
(<br />
><br />
z<br />
r<br />
)<br />
<<br />
r<br />
)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 22<br />
• trasformazioni inverse<br />
<strong>per</strong> definizione:<br />
<strong>per</strong>tanto:<br />
x(n) y(n) x(n)<br />
H(z) H(z)<br />
i<br />
1<br />
Hi ( z)<br />
=<br />
H(<br />
z)<br />
h(n) ⊗ h i(n) = δ(n)<br />
Osservazione: l'equazione alle differenze <strong>del</strong> filtro inverso si<br />
ottiene semplicemente scambiando formalmente l'ingresso x(n)<br />
con l'uscita y(n).<br />
Es.: filtro h(n):<br />
filtro inverso di h(n):<br />
y(n) = 0.5 y(n-1) + x(n)<br />
y(n) = x(n) - 0.5 x(n-1)<br />
N.B.: dato che si scambia il ruolo di poli e zeri, occorre fare<br />
attenzione alla stabilita' <strong>del</strong> filtro inverso. Infatti l'inverso di un<br />
filtro causale e stabile puo' non essere stabile se lo zero era<br />
esterno al cerchio unitario. In tal caso, occorre scegliere la<br />
soluzione anticausale <strong>per</strong> garantire la stabilita' <strong>del</strong> filtro inverso.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 23<br />
• risposta in frequenza di funzioni di<br />
trasferimento razionali<br />
Dato il generico sistema con funzione di trasferimento in Z<br />
costituita da un quoziente di polinomi in z:<br />
H(<br />
z)<br />
M<br />
= m<br />
∑<br />
0<br />
= N<br />
k<br />
0<br />
=<br />
∑<br />
cui corrisponde la risposta in frequenza normalizzata ω:<br />
H(<br />
e<br />
jω<br />
)<br />
M<br />
b<br />
m=<br />
0 = N<br />
∑<br />
=<br />
∑<br />
k<br />
0<br />
a<br />
b<br />
m<br />
a<br />
k<br />
m<br />
k<br />
z<br />
z<br />
−m<br />
−k<br />
e<br />
e<br />
− jωm<br />
− jωk<br />
e' possibile esprimere la risposta in frequenza in funzione <strong>dei</strong> poli<br />
(zeri <strong>del</strong> polinomio in z al denominatore) e zeri (zeri <strong>del</strong><br />
polinomio in z al numeratore) come:<br />
H(<br />
e<br />
b<br />
M<br />
∏<br />
jω<br />
0 m=<br />
1 ) = N<br />
a 0<br />
∏<br />
k=<br />
1<br />
( 1−<br />
c<br />
( 1−<br />
d<br />
m<br />
k<br />
e<br />
e<br />
− jω<br />
− jω<br />
)<br />
)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.24<br />
Esaminando separatamente il guadagno (in modulo) e la risposta<br />
in fase <strong>del</strong> filtro H(z), e' possibile esprimere il guadagno in dB<br />
(riferito a MAX{|H(ejω )|} = 1) come:<br />
guadagno in dB = 20 log 10 |H(e jω )|<br />
attenuazione in dB = -20 log 10 |H(e jω )|<br />
Pertanto un fattore 10 sul modulo (100 sul modulo quadro)<br />
corrisponde a 20 dB, mentre un fattore 2 sul modulo (4 sul<br />
modulo quadro) corrisponde a 6 dB.<br />
Osservazione: si noti come la relazione moltiplicativa che<br />
lega lo spettro <strong>del</strong>l'uscita a quello <strong>del</strong>l'ingresso di un sistema<br />
diviene additiva in dB:<br />
20 log 10 |Y(e jω )| = 20 log 10 |X(e jω )| + 20 log 10 |H(e jω )|<br />
• risposta in fase di funzioni di trasferimento<br />
razionali<br />
Si ha che:<br />
arg<br />
−<br />
−<br />
⎫ ⎧<br />
M<br />
N<br />
jω<br />
b 0<br />
jω<br />
jω<br />
{ H ( e ) } = arg + arg{<br />
1−<br />
c e } − arg{<br />
1−<br />
d e }<br />
⎨<br />
⎩<br />
a<br />
0<br />
⎭<br />
⎬<br />
∑<br />
= =<br />
∑<br />
m<br />
Si noti che arg{•} e' un angolo che assume valori in [−π,π]<br />
1<br />
m<br />
k<br />
1<br />
k
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.25<br />
• trasformazioni passa-tutto<br />
Sono quelle con risposta in frequenza (in modulo) costante (e, <strong>per</strong><br />
comodita', unitaria).<br />
Es.: filtro numerico di Hilbert: H(ω) = -j sign[sin(ω)]<br />
Una classe di filtri numerici passa-tutto e' la seguente:<br />
H<br />
ap<br />
( z)<br />
=<br />
M<br />
∏<br />
k=<br />
1<br />
−1<br />
z − a<br />
1−a<br />
z<br />
Si noti che gli zeri sono i reciproci <strong>dei</strong> poli rispetto al cerchio<br />
unitario.<br />
a<br />
k<br />
piano Z<br />
Osservazione: il ritardo di gruppo di un filtro passa-tutto<br />
causale e stabile e' OVUNQUE positivo (<strong>per</strong> ogni ω).<br />
1<br />
1/a*<br />
∗<br />
k<br />
−1
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.26<br />
• trasformazioni a fase minima<br />
Sono quelle che hanno poli e zeri ALL'INTERNO <strong>del</strong> cerchio<br />
unitario.<br />
Un generico filtro con funzione di trasferimento razionale puo'<br />
essere scritto come:<br />
ove<br />
H( z)<br />
= Hmin(<br />
z)<br />
Hap(<br />
z)<br />
H<br />
ap<br />
( z)<br />
=<br />
M<br />
∏<br />
k=<br />
1<br />
−1<br />
z − a<br />
1−<br />
a z<br />
Allora, dato un filtro generico razionale, si puo' renderlo a fase<br />
minima (modificando la sua risposta in fase ma mantenendo<br />
immutato il guadagno in modulo) invertendo l'equazione<br />
precedente:<br />
H<br />
min<br />
( z)<br />
=<br />
k<br />
H(<br />
z)<br />
H ( z)<br />
ovvero, piu' rapidamente, sostituendo la parte con lo zero (polo)<br />
esterno al cerchio unitario (|a|>1) con una (equivalente in modulo)<br />
con lo zero (polo) reciproco e quindi interno al cerchio unitario:<br />
ap<br />
∗<br />
k<br />
−1<br />
(1-az -1 ) → (z -1 -a*)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.27<br />
• proprieta' <strong>dei</strong> filtri a fase minima<br />
Un filtro causale e stabile e' invertibile in forma causale solo se e'<br />
a fase minima, nel senso che anche il filtro inverso e' causale e<br />
stabile.<br />
Le trasformazioni a fase minima hanno il minimo ritardo di fase.<br />
Infatti:<br />
arg{|H(e jω )|} = arg{|H min(e jω )|} + arg{|H ap(e jω )|}<br />
Inoltre, a parita' di guadagno in frequenza, i filtri a fase minima<br />
hanno il minimo ritardo di gruppo. Infatti:<br />
grd{|H(e jω )|} = grd{|H min(e jω )|} + grd{|H ap(e jω )|}<br />
ove grd{•} sta <strong>per</strong> "ritardo di gruppo di".<br />
Infine, i filtri a fase minima sono i piu' "rapidi" filtri causali<br />
realizzabili, nel senso che l'energia <strong>del</strong>la risposta impulsiva e' la<br />
piu' concentrata possibile in prossimita' <strong>del</strong>l'origine. Infatti, detta<br />
Ei(M) l'energia <strong>del</strong>la sequenza hi(n) compresa tra l'origine <strong>dei</strong><br />
tempi e l'istante M, ovvero la quantita':<br />
E<br />
i<br />
( M)<br />
=<br />
M<br />
n=<br />
0<br />
∑<br />
h<br />
i<br />
( n)<br />
risulta che Ei(M) e' massima <strong>per</strong> un certo i=k seesolosehk(n) e'<br />
una sequenza a fase minima.<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.28<br />
GRAFI E STRUTTURE<br />
Ci occu<strong>per</strong>emo <strong>del</strong>la rappresentazione di sistemi a tempo discreto<br />
mediante grafi. Un grafo di flusso e' una rete di rami orientati che<br />
si connettono in corrispondenza di nodi. Ad ogni nodo e' associata<br />
una variabile o valore <strong>del</strong> nodo.<br />
Ad ogni grafo corrisponde un sistema di equazioni alle differenze<br />
ovvero, equivalentemente, una funzione di trasferimento nel<br />
dominio Z. Al contrario, una funzione di trasferimento puo' essere<br />
realizzata mediante piu' grafi differenti.<br />
Il concetto di grafo e' <strong>per</strong>cio' legato a quello di rete. Tuttavia, e'<br />
necessario sottolineare che un grafo e' una realizzazione<br />
<strong>del</strong>l'algoritmo matematico di elaborazione, ovvero un mo<strong>del</strong>lo che<br />
possiede la fuzione di trasferimento desiderato, mentre una rete e'<br />
lo schema circuitale che implementa l'algoritmo stesso e che<br />
quindi potrebbe venir utilizzata come schema elettronico <strong>del</strong><br />
progetto realizzativo.<br />
• componenti<br />
x(n)<br />
x(n)<br />
y(n)<br />
a<br />
z -1<br />
x(n)+y(n)<br />
x(n) ax(n)<br />
x(n-1)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.29<br />
• strutture fondamentali<br />
• forma canonica:<br />
Y(<br />
z)<br />
X(<br />
z)<br />
H( z)<br />
= = −1<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
x(n)<br />
• forma in cascata:<br />
x(n)<br />
1<br />
-d<br />
-e<br />
H(<br />
z)<br />
1<br />
1<br />
z -1<br />
z -1<br />
=<br />
Y(<br />
z)<br />
X(<br />
z)<br />
a<br />
b<br />
c<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
-c<br />
-d<br />
1+<br />
c z<br />
z -1<br />
z -1<br />
z -1<br />
a + b z<br />
+ d z<br />
a<br />
b<br />
-e<br />
parte IIR parte FIR<br />
=<br />
M<br />
∏<br />
k=<br />
1<br />
•••<br />
a<br />
k<br />
+ b<br />
1+<br />
d<br />
z<br />
−1<br />
k<br />
−1<br />
k z<br />
+ e z<br />
+ e<br />
y(n)<br />
+ c<br />
1<br />
-d<br />
-e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
−2<br />
k<br />
−2<br />
z<br />
z<br />
z -1<br />
z -1<br />
a<br />
b<br />
c<br />
k<br />
k<br />
k<br />
y(n)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.30<br />
• forma parallela:<br />
x(n)<br />
H(<br />
z)<br />
=<br />
Y(<br />
z)<br />
X(<br />
z)<br />
1<br />
-d<br />
-e<br />
1<br />
1<br />
-d<br />
1<br />
•••<br />
k<br />
-e<br />
k<br />
=<br />
z -1<br />
z -1<br />
z -1<br />
z -1<br />
M<br />
k=<br />
1<br />
∑<br />
a<br />
1<br />
b<br />
1<br />
c<br />
1<br />
c<br />
k<br />
a<br />
k<br />
+ b<br />
1+<br />
d<br />
k<br />
k<br />
z<br />
z<br />
−1<br />
−1<br />
+ c<br />
+ e<br />
N.B.: sovente c k=0 se utilizzo il metodo <strong>dei</strong> residui in z -1 .<br />
a<br />
k<br />
b<br />
k<br />
k<br />
k<br />
z<br />
z<br />
−2<br />
−2<br />
y(n)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.31<br />
PROGETTAZIONE DI FILTRI<br />
NUMERICI A RISPOSTA IMPULSIVA<br />
INFINITA (IIR)<br />
• invarianza <strong>del</strong>la risposta impulsiva<br />
La procedura richiede:<br />
1) normalizzare le grandezze temporali e frequenziali <strong>per</strong> o<strong>per</strong>are<br />
(<strong>per</strong> comodita') con T=1;<br />
2) progettare un filtro analogico Ha(s) in base alle specifiche<br />
tenendo anche conto <strong>del</strong>l'effetto di aliasing;<br />
3) decomporre in fratti semplici mediante il teorema <strong>dei</strong> residui la<br />
Ha(s) individuata;<br />
N<br />
N<br />
Ak<br />
Ha ( S)<br />
= h a ( t)<br />
=<br />
s − s<br />
k=<br />
∑<br />
4) determinare H(z):<br />
H(<br />
z)<br />
=<br />
N<br />
k=<br />
1<br />
∑<br />
1−<br />
e<br />
k= 1 k<br />
∑<br />
A<br />
k<br />
S<br />
k<br />
z<br />
−1<br />
N<br />
1<br />
A<br />
k<br />
e<br />
S<br />
k<br />
t<br />
U(<br />
t)<br />
S n<br />
h( n)<br />
A k e U(<br />
n)<br />
( T = 1,<br />
s k<br />
=∑<br />
k=<br />
1<br />
utilizzando la relazione (nel caso di poli distinti):<br />
1<br />
s + c<br />
↔<br />
ove c e' il generico polo analogico.<br />
T<br />
1−<br />
e<br />
−cT<br />
−1<br />
z<br />
k <<br />
5) verificare la risposta H(e jω ) <strong>del</strong> filtro progettato.<br />
0)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.32<br />
Il metodo <strong>del</strong>l'invarianza <strong>del</strong>la risposta impulsiva (piu'<br />
brevemente: all'impulso) consente di progettare un filtro numerico<br />
sfruttando un precedente progetto di un corrispondente filtro<br />
analogico.<br />
I due filtri, in questo caso, conserveranno la medesima risposta<br />
impulsiva nel senso che quella <strong>del</strong> filtro numerico corrispondera' a<br />
quella analogica, campionata con un opportuno intervallo.<br />
h(n) = T h a(nT)<br />
ove h a(t) e' la risposta impulsiva analogica desiderata.<br />
Cio' consente al progettista di sfruttare le proprieta' di classi di<br />
filtri nel dominio a tempo continuo, trasferendoli, senza<br />
deformazioni, nel dominio a tempo discreto.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.33<br />
Evidentemente, la procedura richiede che la risposta impulsiva sia<br />
campionabile senza <strong>per</strong>dita di rappresentazione in base al criterio<br />
di Nyquist.<br />
In caso contrario, sorge il problema <strong>del</strong>l'aliasing spettrale <strong>del</strong>la<br />
risposta in frequenza <strong>del</strong> filtro analogico.<br />
H(<br />
e<br />
jω<br />
)<br />
∑ +∞<br />
=<br />
k=<br />
−∞<br />
H<br />
Va precisato tuttavia che non si tratta, in senso stretto, di un errore<br />
di aliasing, in quanto nel filtro numerico entrano sequenze che si<br />
possono supporre scaturiti da segnali campionati in maniera<br />
corretta. Cio' che risulta aliasato e' invece la risposta in frequenza<br />
<strong>del</strong> filtro numerico realizzato, nel senso che essa non<br />
corrispondera' piu' a quella analogica, replicata a causa <strong>del</strong><br />
campionamento.<br />
In altre parole, non sono i segnali in gioco, ma e' il progetto ad<br />
essere affetto da aliasing spettrale.<br />
Va infine osservato che la sovrapposizione spettrale e' algebrica e<br />
puo', <strong>per</strong>sino, risultare di giovamento alle caratteristiche filtranti<br />
<strong>del</strong> filtro numerico quando le repliche che si sovrappongono<br />
hanno fasi opposte.<br />
a<br />
( j<br />
ω<br />
T<br />
+<br />
jk<br />
2π<br />
T<br />
)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.34<br />
• trasformazione bilineare<br />
La procedura richiede:<br />
1) normalizzare le grandezze temporali e frequenziali <strong>per</strong> o<strong>per</strong>are<br />
(<strong>per</strong> comodita') con T=1;<br />
2) alterare le specifiche <strong>del</strong> filtro analogico da H a(f) a H a(F)<br />
deformando l'asse <strong>del</strong>le frequenze (f→F) in base alla relazione:<br />
F=tg(πf)/π ovvero Ω =2tg(ω/2)<br />
3) Progettare un filtro analogico H a(s) in base alle specifiche cosi'<br />
modificate;<br />
4) determinare H(z) utilizzando la sostituzione formale:<br />
1−<br />
z<br />
s = 2 −<br />
1+<br />
z<br />
N.B.: non e' necessario verificare la risposta H(e jω ) <strong>del</strong> filtro<br />
progettato poiche' NON c'e' aliasing.<br />
−1<br />
1
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.35<br />
Anche il metodo <strong>del</strong>la trasformazione bilineare, come quello<br />
<strong>del</strong>l'invarianza <strong>del</strong>la risposta impulsiva (argomento <strong>del</strong> capitolo<br />
precedente) consente di progettare un filtro numerico sfruttando<br />
un precedente progetto di un corrispondente filtro analogico.<br />
In questo caso, <strong>per</strong>o', i due filtri non avranno la medesima risposta<br />
in frequenza (ed impulsiva), nel senso che quella <strong>del</strong> filtro<br />
numerico corrispondera' a quella analogica deformata in modo<br />
non lineare.<br />
Infatti, la risposta in frequenza <strong>del</strong> filtro numerico progettato<br />
mediante la trasformazione bilineare puo' essere ottenuta<br />
comprimendo la risposta analogica, in modo crescente con il<br />
valore assoluto <strong>del</strong>la frequenza.<br />
f = arctg(πF)/π ovvero ω = 2 arctg (Ω/2)<br />
In pratica, mentre la risposta alle basse frequenze risulta<br />
immodificata, quella alle alte frequenze e' compressa in modo da<br />
portare il valore asintotico <strong>del</strong>la risposta in frequenza (<strong>per</strong><br />
frequenza infinita) in corrispondenza <strong>del</strong>la meta' <strong>del</strong>la frequenza<br />
di campionamento (ω=π).
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.36<br />
E' allora evidente come, in base al criterio di Nyquist, non sorga<br />
in questo caso il problema <strong>del</strong>l'aliasing spettrale <strong>del</strong>la risposta in<br />
frequenza <strong>del</strong> filtro analogico.<br />
Va precisato tuttavia che errori di aliasing possono essere sempre<br />
presenti se nel filtro numerico entrano sequenze che sono scaturiti<br />
da segnali campionati in maniera non corretta.<br />
Cio' che non risulta aliasata e' invece la risposta in frequenza <strong>del</strong><br />
filtro numerico realizzato, nel senso che le repliche <strong>del</strong>la stessa<br />
dovute al campionamento temporale non si sovrapporranno mai a<br />
causa <strong>del</strong>la deformazione <strong>del</strong>la risposta in frequenza <strong>del</strong> filtro.<br />
Per ovviare all'inconveniente <strong>del</strong>la deformazione <strong>del</strong>le specifiche,<br />
occorre compensare il fenomeno con una pre-deformazione<br />
inversa <strong>del</strong>le specifiche stesse.<br />
Pertanto, in sede di progetto si deforma l'asse <strong>del</strong>le frequenze in<br />
maniera opposta a quella che la trasformazione bilineare produrra'<br />
inevitabilmente, ottenendo cosi' le specifiche <strong>del</strong> filtro desiderato.<br />
In pratica, poiche' la risposta <strong>del</strong> filtro realizzato risulta compressa<br />
in frequenza <strong>per</strong> effetto <strong>del</strong>l'applicazione <strong>del</strong>la trasformazione<br />
bilineare, e' necessario che tale risposta sia preventivamente<br />
espansa in frequenza, <strong>per</strong> ottenere cosi' le specifiche desiderate<br />
dopo l'applicazione <strong>del</strong>la trasformazione bilineare.<br />
E' opportuno precisare che la deformazione <strong>del</strong>le frequenze<br />
sussiste soltanto nelle specifiche di progetto e non nella risposta<br />
<strong>del</strong> filtro numerico.<br />
Quest'ultimo, infatti, in quanto sistema lineare, impone una<br />
relazione lineare tra le frequenze a tempo campionato ed a tempo<br />
continuo.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.37<br />
Per ottenere la funzione di trasferimento in z <strong>del</strong> filtro numerico,<br />
la procedura richiede, una volta riportate sulle specifiche<br />
analogiche le conseguenze <strong>del</strong>la pre-deformazione spettrale, la<br />
trasposizione <strong>del</strong>la funzione di trasferimento <strong>del</strong> filtro analogico<br />
dal dominio continuo a quello a tempo discreto, in base alla<br />
semplice regola di conversione <strong>del</strong>l'o<strong>per</strong>atore continuo di<br />
derivazione s, che viene trasposto nel rapporto incrementale,<br />
valutato a distanza di campionamento:<br />
1−<br />
z<br />
H( z)<br />
= 2 −<br />
1+<br />
z<br />
che corrisponde all'equazione alle differenze:<br />
−1<br />
y(n) + y(n-1) = 2 [x(n) - x(n-1)]<br />
che, scritta in modo inverso, rappresenta la ben nota formula di<br />
integrazione numerica trapezoidale:<br />
x(n) = x(n-1) + 0.5 [y(n) + y(n-1)]<br />
E' infine interessante notare come questa trasformazione si<br />
applichi direttamente all'espressione in s <strong>del</strong>la funzione di<br />
trasferimento e non richieda quindi, al contrario <strong>del</strong> metodo<br />
<strong>del</strong>l'invarianza all'impulso basato sulla decomposizione in fratti<br />
semplici, alcuna elaborazione simbolica.<br />
Esempi di filtri realizzati con le tecniche <strong>del</strong>l'invarianza impulsiva<br />
e <strong>del</strong>la trasformazione bilineare sono la famiglia <strong>dei</strong> filtri di<br />
Butterworth, caratterizzati da un guadagno piatto, banda costante<br />
(a -3 dB) e pendenza <strong>dei</strong> fianchi <strong>del</strong>la risposta nella zona di<br />
transizione dipendente dall'ordine <strong>del</strong> filtro.<br />
1
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.38<br />
CAMPIONAMENTO DELLA<br />
TRASFORMATA Z E RELAZIONE<br />
CON LA TRASFORMATA DISCRETA<br />
DI FOURIER (DFT)<br />
La DFT e' strettamente legata alla trasformata Z sul cerchio<br />
unitario:<br />
N−1<br />
X( K)<br />
x(<br />
n)<br />
e = X(<br />
z)<br />
2π<br />
k = X(<br />
z)<br />
−k<br />
j z=<br />
N WN<br />
=∑<br />
n=<br />
0<br />
ove e' stato definito:<br />
n k<br />
−j2π<br />
N<br />
W<br />
N<br />
= e<br />
2π<br />
− j<br />
N<br />
z=<br />
e<br />
La DFT e' una versione campionata <strong>del</strong>la trasformata Z. Infatti:<br />
=<br />
X(<br />
z)<br />
1<br />
N<br />
N−1<br />
=<br />
N−1<br />
x(<br />
n)<br />
z<br />
−n<br />
=<br />
N−1<br />
n=<br />
0<br />
1<br />
N<br />
N−1<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
k=<br />
0<br />
∑ ∑<br />
X(<br />
k)<br />
N−1<br />
( W<br />
−k<br />
N<br />
z<br />
−1<br />
X(<br />
k)<br />
1−<br />
z<br />
=<br />
N<br />
−N<br />
W<br />
N−1<br />
∑<br />
∑ ∑<br />
k=<br />
0 n=<br />
0<br />
k=<br />
0<br />
)<br />
n<br />
−kn<br />
N<br />
z<br />
−n<br />
=<br />
X(<br />
k)<br />
1−<br />
W z<br />
che costituisce il TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO<br />
DELLA TRASFORMATA Z.<br />
−k<br />
N<br />
−1
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.39<br />
Sul cerchio unitario la relazione precedente diviene:<br />
1−<br />
e<br />
X(<br />
k)<br />
∑ − − jωN<br />
N 1<br />
jω<br />
X( e ) =<br />
−k<br />
− jω<br />
N k=<br />
0 1−<br />
WN<br />
e<br />
=<br />
∑ − N 1<br />
k=<br />
0<br />
2π<br />
X(<br />
k)<br />
psa(<br />
ω − k)<br />
n<br />
ove la funzione "<strong>per</strong>iodica di campionamento" psa(•) e' definita<br />
come:<br />
psa(<br />
ω)<br />
=<br />
sin(<br />
Nsin<br />
ω N<br />
2<br />
ω ( 2<br />
)<br />
e<br />
)<br />
N−1<br />
− jω<br />
2<br />
Tale relazione tra i campioni <strong>del</strong>la DFT e la pulsazione<br />
normalizzata ω e' nota come TEOREMA DEL<br />
CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA.<br />
In pratica, la funzione psa(ω) interpola i campioni <strong>del</strong>la DFT<br />
effettuando una convoluzione (circolare) con un funzione<br />
<strong>per</strong>iodica, ritadata nel tempo di meta' <strong>per</strong>iodo avendo definito<br />
0≤n≤N-1, che costituisce la versione <strong>per</strong>iodata (come fosse<br />
aliasata nel tempo) <strong>del</strong> sinc(•).<br />
=
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.40<br />
L'interpolazione in frequenza <strong>dei</strong> campioni DFT di una sequenza<br />
temporale, che determina la trasformata di Fourier continua <strong>dei</strong><br />
campioni temporali stessi, ha quindi l'espressione di una<br />
convoluzione circolare in ω.<br />
L'andamento <strong>del</strong>la funzione interpolante in frequenza (ovvero, la<br />
funzione di tipo passa-basso che entra nella o<strong>per</strong>azione di<br />
convoluzione) e' quello illustrato in figura (a parte il ritardo di<br />
(N-1)/2 campioni<br />
che produce una rotazione di fase linearmente variante con ω):<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-1,0<br />
-0,5<br />
sin(<br />
ω N / 2)<br />
sin ( ω / 2)<br />
0,0<br />
ω ω / / π<br />
π<br />
0,5<br />
1,0
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.41<br />
SERIE ALEATORIE<br />
Una serie aleatoria o stocastica e' un insieme di sequenze dotato di<br />
una misura di probabilita'.<br />
Ogni sequenza <strong>del</strong>l'insieme e' una realizzazione estratta dalla<br />
serie.<br />
Es.: serie armoniche:<br />
• momenti notevoli<br />
{x(n; a,ω,φ)}={ae j(ωn+φ) }<br />
Ricordando la definizione di valore atteso di una variabile<br />
aleatoria x con densita' di probabilita' p x(x):<br />
[ x]<br />
x p ∫ ( x)<br />
dx<br />
+∞<br />
=<br />
E x<br />
−∞<br />
definiamo alcuni momenti notevoli di uso comune:<br />
- valore atteso: E[x(n)] = m(n)<br />
E[x(n)] = m (se stazionaria)<br />
- autocorrelazione: E[x*(n) x(i)] = R xx(n,i)<br />
E[x*(n) x(i)] = R xx(n-i) (se stazionaria)<br />
- cross-correlazione: E[x*(n) y(i)] = R xy(n,i)<br />
E[x*(n) y(i)] = R xy(n-i) (se stazionarie)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.42<br />
N.B.: l'autocovarianza e' l'autocorrelazione di {x(n)-m(n)}<br />
Osservazione: la matrice di autocorrelazione R xx(n,i) e'<br />
definita semipositiva, ovvero:<br />
Σ i Σ n a*(n) a(i) R xx(n,i) ≥ 0 <strong>per</strong> ogni a(n)<br />
N.B.: Per quanto detto, la sequenza di autocorrelazione statistica<br />
assume un massimo <strong>per</strong> n=i. In particolare risulta (se stazionaria)<br />
R xx(0)≥R xx(k) <strong>per</strong> ogni k.<br />
• spettro di densita' di potenza<br />
- (auto-)spettro di densita' di potenza (serie stazionarie):<br />
trasformata continua di Fourier <strong>del</strong>la sequenza di autocorrelazione<br />
Rxx(k): Sxx(ω) =Σk Rxx(k) e-jωk - (cross-)spettro di densita' di potenza (serie stazionarie):<br />
trasformata continua di Fourier <strong>del</strong>la sequenza di crosscorrelazione<br />
Rxy(k): Sxy(ω) =Σk Rxy(k) e-jωk Osservazione: come ogni trasformata di Fourier di sequenze,<br />
lo spettro di densita' di potenza puo' essere visto come una<br />
trasformata Z di R xx(k) o R xy(k) (talvolta denominate P xx(z) o<br />
P xy(z)) valutate <strong>per</strong> z=e jω .
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.43<br />
• transito in sistemi LSI<br />
{x(n)}<br />
h(n)<br />
{y(n)}<br />
Detta {x(n)} una serie aleatoria in ingresso, h(n) la sequenza<br />
(determinata) <strong>del</strong>la risposta impulsiva di un sistema lineare ed<br />
invariante alla traslazione (LSI), {y(n)} la serie aleatoria in uscita<br />
al sistema, risulta, <strong>per</strong> ogni realizzazione:<br />
y(n) = x(n) ⊗ h(n)<br />
In particolare, valgono le seguenti relazioni notevoli:<br />
m y == m x Σ n h(n) = m x H(0)<br />
R yy(k) = R xx(k) ⊗ h*(-n) ⊗ h(n) = R xx(k) ⊗ C hh(k)<br />
R xy(k) = R xx(k) ⊗ h(n)<br />
S yy(ω) =S xx(ω) |H(ω)| 2<br />
S xy(ω) =S xx(ω) H(ω)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.44<br />
• prestazioni di uno stimatore<br />
Data una stima pˆ di un parametro p estratto da una serie<br />
aleatoria, definiamo:<br />
- errore di stima:<br />
la variabile aleatoria: ε = pˆ -p<br />
Le grandezze statistiche <strong>del</strong>l'errore di stima ε da considerare, che<br />
caratterizzano un particolare stimatore, sono:<br />
- polarizzazione:<br />
- varianza:<br />
{} pˆ = E{}<br />
ε = E{<br />
pˆ p}<br />
bias −<br />
{ } { [ ] } 2<br />
2<br />
= E pˆ E(<br />
pˆ )<br />
{} pˆ = E [ ε − E(<br />
ε ) ]<br />
var −<br />
- errore quadratico medio:<br />
In generale, vale la relazione:<br />
{ } 2<br />
2 {} pˆ = E{<br />
ε } = E [ pˆ p]<br />
MSE −<br />
MSE<br />
2<br />
[] pˆ = bias[]<br />
pˆ + var[]<br />
pˆ<br />
Definizione: uno stimatore e' detto consistente seesoloseil<br />
suo errore quadratico medio tende a zero al tendere all'infinito<br />
<strong>del</strong>le osservazioni (numero di campioni).
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.45<br />
Osservazione: la polarizzazione e' indicativa <strong>del</strong>la bonta'<br />
media di un certo numero di stime (dice quanto la media <strong>del</strong>le<br />
stime si avvicina al valore vero); la varianza fornisce una<br />
indicazione di quanto variano le singole stime, rispetto alla loro<br />
media (dice quanto "ballano" le stime attorno alla media).<br />
Esempio grafico:<br />
polarizz. bassa<br />
varianza bassa<br />
polarizz. bassa<br />
varianza alta<br />
= valore vero<br />
polarizz. alta<br />
varianza bassa<br />
= valore stimato<br />
polarizz. alta<br />
varianza alta
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.46<br />
• stima di momenti notevoli<br />
Data la serie {x(i)} osservata <strong>per</strong> 1≤i≤N, si ha:<br />
stimatore <strong>del</strong> valore atteso:<br />
mˆ<br />
x<br />
1<br />
=<br />
N<br />
N<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
x(<br />
i)<br />
stimatore <strong>del</strong>la autocorrelazione (non polarizzato):<br />
R ˆ<br />
xx<br />
( k)<br />
1<br />
=<br />
N − k<br />
∑ − N k<br />
i=<br />
1<br />
x(<br />
i)<br />
x(<br />
i<br />
+<br />
k)<br />
Cxx(<br />
k)<br />
=<br />
N − k<br />
stimatore <strong>del</strong>la autocorrelazione (polarizzato):<br />
R ˆ<br />
xx<br />
( k)<br />
=<br />
1<br />
N<br />
∑ − N k<br />
i=<br />
1<br />
x(<br />
i)<br />
x(<br />
i<br />
+<br />
C xx ( k)<br />
k)<br />
=<br />
N<br />
( <strong>per</strong>k<br />
( <strong>per</strong> k<br />
ove C xx(k) e' l'autocorrelazione <strong>del</strong>la sequenza (finita) osservata<br />
x(i).<br />
In pratica, lo stimatore polarizzato risulta aver un minor errore<br />
quadratico medio rispetto allo stimatore non polarizzato.<br />
Infatti, la varianza <strong>del</strong>lo stimatore non polarizzato e' assai piu'<br />
grande (al crescere di k) di quella <strong>del</strong>lo stimatore polarizzato (si<br />
ricorda: MSE = |bias| 2 + var).<br />
≥<br />
≥<br />
0)<br />
0)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.47<br />
PROGETTAZIONE OTTIMA DI FILTRI<br />
NUMERICI A RISPOSTA IMPULSIVA<br />
FINITA (FIR) AI MINIMI QUADRATI<br />
I metodi di progetto prima illustrati si basano su criteri <strong>del</strong> tutto<br />
generali riguardo ai segnali che effettivamente transitano nei filtri<br />
stessi. In altre parole, nella progettazione non e' stata considerata<br />
alcuna caratteristica <strong>dei</strong> segnali in gioco.<br />
Al contrario, e' possibile progettare filtri "ottimi" che risultano i<br />
piu' idonei <strong>per</strong> filtrare determinate sequenze o classi di sequenze<br />
in ingresso.<br />
In particolare, si supponga di voler progettare un filtro numerico<br />
di tipo FIR che approssimi una data risposta in frequenza<br />
desiderata H d(e jω ), cui corrisponde una sequenza <strong>del</strong>la risposta<br />
impulsiva desiderata h d(n).<br />
Inoltre, si supponga di conoscere la sequenza x(n) in ingresso al<br />
filtro da progettare.<br />
Definita y d(n) = x(n) ⊗ h d(n) come "l'uscita desiderata", e'<br />
possibile progettare il filtro FIR con funzione di trasferimento<br />
H(z) definita da<br />
H(<br />
z)<br />
=<br />
∑ + M N<br />
i=<br />
M<br />
h(<br />
i)<br />
z<br />
−i
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.48<br />
in modo da minimizzare l'energia <strong>del</strong>l'errore {e(n)} di progetto<br />
sull'uscita <strong>del</strong> sistema, ovvero:<br />
E[|e(n)| 2 ]=E[|y(n)-y d(n)| 2 ]<br />
ove y(n) = x(n) ⊗ h(n), rispetto ai coefficienti h(i) (<strong>per</strong><br />
i=M...M+N).<br />
x(n)<br />
segnale<br />
determinato<br />
in ingresso<br />
filtro desiderato<br />
h(n)<br />
d<br />
h(n)<br />
filtro progettato<br />
y d(n)<br />
y(n)<br />
Occorre quindi trovare il minimo <strong>del</strong>la funzione:<br />
e(n)<br />
errore da<br />
minimizzare.<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
2<br />
= − d<br />
2<br />
=<br />
M+ N<br />
i= M<br />
− − d<br />
2<br />
E[ e( n) ] E[ y( n) y ( n) ] E h( i) x( n i) y ( n)<br />
⎥<br />
∑<br />
⎦<br />
⎣⎢ rispetto alle N+1 incognite h(i), ove la sommatoria su n si estende<br />
ovunque possibile (dipende dall'estensione temporale <strong>dei</strong> segnali<br />
in gioco).<br />
Effettuando la derivazione rispetto ad h(i) (<strong>per</strong> semplicita', le<br />
sequenze ed i filtri sono supposti reali, anche se si <strong>per</strong>viene allo<br />
stesso risultato <strong>per</strong> sequenze o filtri complessi) ed eguagliando a<br />
zero le N+1 funzioni si ottiene:
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.49<br />
2<br />
∂Een<br />
[ ( ) ]<br />
∂hm<br />
( )<br />
= 2 Exn [ ( − men ) ( )] =<br />
M+ N<br />
⎧ ⎫<br />
⎡ ⎤<br />
= 2 E x( n−m) h( i) x( n−i) − y ( n)<br />
= 0<br />
<strong>per</strong> m = M...M+N.<br />
d<br />
⎨ ⎬<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎩ ⎭<br />
i= M<br />
∑<br />
Per cui, si ha il seguente sistema di N+1 equazioni in N+1<br />
incognite:<br />
M+ N<br />
i= M<br />
∑<br />
ovvero:<br />
[ − − ] = [ − ]<br />
hi ( ) E xn ( m) xn ( i) E xn ( m) y ( n)<br />
M+ N<br />
i= M<br />
hi () R ( m− i) = R ( m)<br />
xx xy<br />
∑<br />
(m = M...M+N) avendo definito le correlazioni statistiche:<br />
[ ]<br />
R ( m) = E x( n) x( n+ m)<br />
xx<br />
[ ]<br />
R ( m) = E x( n) y ( n+ m)<br />
xd d<br />
(eventualmente) stimabili mediante le correlazioni temporali (il<br />
fattore di scala non modifica l’equazione, essendo presente in<br />
ambo i membri):<br />
C ( m) = xn ( ) xn ( + m)<br />
xx<br />
∑<br />
n<br />
C ( m) = C ( m) ⊗h<br />
( m)<br />
xd xx d<br />
d<br />
d
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.50<br />
Pertanto i coefficienti <strong>del</strong> filtro h(n) sono dati dalla soluzione <strong>del</strong><br />
seguente sistema espresso in forma matriciale:<br />
⎡ ⎤<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
Rxx(0) Rxx( −1) ... Rxx(<br />
−N) h(M)<br />
R (1) R (0) ... R ( − N + 1) h(M + 1)<br />
R (N) R (N − 1) ... R (0) h(M + N)<br />
Rxd(M)<br />
Rxd(M<br />
+ 1)<br />
...<br />
R (M + N)<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
xx xx xx<br />
... ... ... ... ...<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎢ xx xx xx<br />
xd<br />
che ha <strong>per</strong> soluzione:<br />
h(M)<br />
h(M + 1)<br />
⎡ ⎤<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥ =<br />
⎢<br />
...<br />
h(M N)<br />
⎡ ⎤<br />
⎡ ⎤<br />
Rxx(0) Rxx( −1) ... Rxx(<br />
−N) −1<br />
R (1) R (0) ... R ( − N + 1)<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ xx xx xx<br />
... ... ... ...<br />
R (N) R (N −1)<br />
... R (0)<br />
Rxd(M)<br />
Rxd(M<br />
+ 1)<br />
...<br />
R (M + N)<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
+ xx xx xx<br />
xd<br />
ovvero, sostituendo le correlazioni statistiche con le stime<br />
temporali:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
h(M)<br />
h(M + 1)<br />
...<br />
h(M + N)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
C<br />
C<br />
C<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
xx<br />
(0)<br />
(1)<br />
(N)<br />
C<br />
C<br />
C<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
( −1)<br />
...<br />
(0)<br />
(N − 1)<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
C<br />
C<br />
( −N)<br />
( −N<br />
+ 1)<br />
C<br />
...<br />
xx<br />
(0)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
−1<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
C<br />
C<br />
C<br />
xd<br />
xd<br />
xd<br />
(M)<br />
(M + 1)<br />
...<br />
(M + N)<br />
Osservazione: il progetto con il metodo <strong>del</strong>la finestra<br />
rettangolare risulta ottimo con il criterio <strong>dei</strong> minimi quadrati se il<br />
segnale di ingresso ha autocorrelazione impulsiva.<br />
xx<br />
xx<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.51<br />
• <strong>per</strong>iodogramma<br />
ANALISI SPETTRALE<br />
Data una serie {x(n)}, si estragga una sequenza v(n) di lunghezza<br />
finita L mediante la finestra rettangolare w(n) (con 0≤n≤L-1):<br />
v(n) = x(n) w(n)<br />
Il <strong>per</strong>iodogramma si puo' definire come:<br />
I(<br />
ω)<br />
=<br />
∑ − L 1<br />
Cvv<br />
m=<br />
−L<br />
+ 1<br />
( m)<br />
e<br />
− jωm<br />
ove C vv(m) e' la sequenza <strong>del</strong>la autocorrelazione (temporale) di<br />
{v(n)}:<br />
C<br />
vv<br />
( m)<br />
=<br />
∑ − L 1<br />
n=<br />
0<br />
x(<br />
n)<br />
w(<br />
n)<br />
x(<br />
n<br />
−<br />
m)<br />
w(<br />
n<br />
−<br />
m)<br />
Si puo' dimostrare che <strong>per</strong> ω k=2πk/N (con N≥L), i campioni <strong>del</strong><br />
<strong>per</strong>iodogramma I(ω k) sono equivalentemente definibili come:<br />
I ( ω ) =<br />
k<br />
V(<br />
k)<br />
ove V(k) e' la DFT su N punti di v(n)=x(n)•w(n).<br />
Se scegliamo N piu' grande di L, i campioni frequenziali<br />
risulteranno come interpolati con la tecnica zero-padding.<br />
Questa ultima relazione fornisce un mezzo di calcolo veloce di<br />
campioni <strong>del</strong> <strong>per</strong>iodogramma mediante algoritmi FFT.<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.52<br />
• proprieta' <strong>del</strong> <strong>per</strong>iodogramma<br />
Detto P xx(ω) lo spettro di densita' di potenza vero e W(ω) la<br />
trasformata di Fourier <strong>del</strong>la finestra w(n), si ha:<br />
-) valore atteso:<br />
1<br />
π<br />
2<br />
[ I(<br />
ω)<br />
] P ( θ ) W(<br />
ω −θ<br />
) dθ<br />
≠ P ( ω)<br />
E = xx ∫ xx<br />
−π<br />
2π<br />
lo stimatore e' polarizzato (non lo e' soltanto asintoticamente<br />
⇒<br />
<strong>per</strong> L→+∞);<br />
-) varianza:<br />
[ I(<br />
) ]<br />
var ω ≈ P ( ω)<br />
la varianza non va a zero ⇒ lo stimatore non e' consistente (non lo<br />
e' neppure asintoticamente <strong>per</strong> L→+∞);<br />
xx<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.53<br />
-) tecnica <strong>del</strong> <strong>per</strong>iodogramma mediato<br />
Per cercare di rendere consistente l'estimatore, almeno<br />
asintoticamente, si adotta la tecnica <strong>del</strong> <strong>per</strong>iodogramma mediato:<br />
1) si suddivide la serie osservata x(n) di lunghezza Q in K<br />
sottosequenze, utilizzando finestre w(n) di lunghezza L (con<br />
L
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.54<br />
• serie MA<br />
(Moving Average - Media Mobile)<br />
P<br />
( ω)<br />
= σ<br />
y<br />
x(n) y(n)<br />
FIR<br />
h(n)<br />
R xx(k)<br />
= σ (k) δ<br />
serie MA<br />
2 x<br />
M<br />
k = 0<br />
∑<br />
y(<br />
n)<br />
=<br />
M<br />
k = 0<br />
∑<br />
b<br />
k<br />
x(<br />
n<br />
−<br />
k)<br />
h ∑ ( n)<br />
= bk<br />
δ ( n − k)<br />
H(<br />
z)<br />
=<br />
=<br />
k 0<br />
2<br />
R yy(<br />
k)<br />
= R xx ( k)<br />
⊗Chh(<br />
k)<br />
= σ x Chh<br />
M<br />
2<br />
∗ ∗ 2<br />
Py ( z)<br />
= σ x H(<br />
z)<br />
H ( 1/<br />
z ) = σ x<br />
k = −m<br />
∑<br />
2<br />
x<br />
H(<br />
ω)<br />
2<br />
= σ<br />
2<br />
x<br />
C<br />
M<br />
hh<br />
b<br />
−k<br />
k z<br />
( k)<br />
( k)<br />
z<br />
−k<br />
−k<br />
[ C ( 0)<br />
+ C ( k)<br />
z ]<br />
hh<br />
k=<br />
−m<br />
∑<br />
hh
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.55<br />
• serie AR<br />
(Auto-Regressive - Auto-Regressiva)<br />
: ove<br />
) z ( P<br />
=<br />
N<br />
k=<br />
1<br />
∑<br />
x(n) y(n)<br />
IIR<br />
h(n)<br />
R (k) = (k) δ<br />
serie AR<br />
xx<br />
y(<br />
n)<br />
σ 2<br />
x<br />
= −<br />
( z)<br />
=<br />
1 +<br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
a<br />
1<br />
k<br />
y(<br />
n<br />
−<br />
k)<br />
+ x(<br />
n)<br />
1<br />
= −<br />
1+<br />
z P(<br />
z)<br />
H N<br />
k = 1<br />
− k<br />
a k z<br />
1<br />
k z a<br />
−k+<br />
1<br />
∑<br />
Serie AR causale: poli di H(z) dentro il cerchio unitario.<br />
2<br />
R yy(<br />
k)<br />
= R xx(<br />
k)<br />
⊗Chh(<br />
k)<br />
= σxChh<br />
( h)<br />
2<br />
∗ ∗ 2 1 1<br />
Py ( z)<br />
= σx<br />
H(<br />
z)<br />
H ( 1/<br />
z ) = σx<br />
−1<br />
∗ ∗<br />
1 − z P(<br />
z)<br />
1+<br />
z P ( 1/<br />
z )<br />
P<br />
y<br />
( ω)<br />
= σ<br />
2<br />
x<br />
H(<br />
e<br />
jω<br />
)<br />
2<br />
=<br />
1+<br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
σ<br />
a<br />
2<br />
x<br />
k<br />
e<br />
− jωk<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.56<br />
• mo<strong>del</strong>lo AR e stima spettrale AR<br />
serie osservata<br />
(qualunque)<br />
x(n) IIR y(n)<br />
R (k) = (k)<br />
xx σ δ<br />
2<br />
x<br />
h(n)<br />
serie AR<br />
w(n)<br />
si impone:<br />
stessa autocorrelazione<br />
R (k) = R (k)<br />
ww yy<br />
mo<strong>del</strong>lo AR causale<br />
di {w(n)}<br />
Si definisce stima spettrale AR (o spettro AR) Pw(ω) di una serie<br />
osservata (qualunque) {w(n)}:<br />
la trasformata di Fourier Py(ω) <strong>del</strong>la autocorrelazione Ryy(k) <strong>del</strong>l'uscita {y(n)} <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo AR causale di {w(n)}.<br />
Infatti, <strong>per</strong> costruzione: Rww(k)=Ryy(k) e Pw(ω)=Py(ω). • equazioni di Yule-Walker<br />
Per un mo<strong>del</strong>lo AR (causale) valgono le seguenti relazioni<br />
(equazioni di Yule-Walker):<br />
⎨<br />
⎩<br />
R<br />
0<br />
yy<br />
⎧<br />
ove : R yx ( n)<br />
= 2<br />
inf<br />
atti :<br />
E<br />
σ<br />
n<br />
( n)<br />
= −<br />
<strong>per</strong><br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
<strong>per</strong><br />
∗ [ y ( i)<br />
y(<br />
i n)<br />
]<br />
a<br />
k<br />
R<br />
yy<br />
n > 0<br />
n = 0<br />
( n − k)<br />
⎧ ⎡<br />
⎨ ∑ ⎢<br />
⎣<br />
⎩<br />
N<br />
+<br />
∗<br />
= E y ( i)<br />
−<br />
k = 1<br />
+<br />
a<br />
R<br />
k<br />
yx<br />
( n)<br />
y(<br />
i<br />
+<br />
n<br />
−<br />
k)<br />
+<br />
x(<br />
i<br />
+<br />
n)<br />
⎤ ⎫<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎬<br />
⎭
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.57<br />
• predizione lineare<br />
data una serie x(n) osservata <strong>per</strong> N campioni:<br />
Problema:<br />
x(n-N+1), x(n-N+2), ••• , x(n-1), x(n)<br />
determinare una predizione <strong>del</strong> campione seguente x(n+1),<br />
combinando linearmente gli N campioni disponibili.<br />
x(n+1)<br />
x(n)<br />
z -1<br />
-a 1<br />
z -1<br />
-a<br />
2<br />
z -1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
z<br />
-a<br />
N<br />
-1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
-1<br />
P(z)<br />
predittore<br />
H(z)<br />
^x(n+1)<br />
e<br />
filtro <strong>del</strong>l'errore<br />
di predizione<br />
e(n+1)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.58<br />
filtro predittore lineare (di ordine N-1) P(z) di una serie e':<br />
P(<br />
z)<br />
= −<br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
a<br />
−k<br />
+ 1<br />
k z<br />
predizione lineare (di ordine N-1) di una serie x(n) e':<br />
xˆ ( n<br />
+ 1)<br />
= −<br />
∑ − N 1<br />
k = 0<br />
a<br />
k + 1<br />
x(<br />
n<br />
errore di predizione lineare (di ordine N) e':<br />
e(<br />
n<br />
−<br />
k)<br />
+ 1)<br />
= x(<br />
n + 1)<br />
− xˆ ( n + 1)<br />
= x(<br />
n + 1)<br />
+<br />
ovvero, equivalentemente:<br />
e(<br />
n)<br />
=<br />
x(<br />
n)<br />
− xˆ ( n)<br />
= x(<br />
n)<br />
+<br />
N<br />
k=<br />
1<br />
∑<br />
filtro (di ordine N) <strong>del</strong>l'errore di predizione e':<br />
H<br />
e<br />
( z)<br />
= 1+<br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
a<br />
k<br />
z<br />
a<br />
−k<br />
k<br />
∑ − N 1<br />
k=<br />
0<br />
x(<br />
n<br />
a<br />
k + 1<br />
−<br />
k)<br />
x(<br />
n<br />
Osservazione: il filtro FIR (di ordine N) <strong>del</strong>l'errore di<br />
predizione e' l'inverso di un filtro IIR (di ordine N).<br />
−<br />
k)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.59<br />
• predizione lineare ottima<br />
Determiniamo i coefficienti {a i} con il criterio <strong>del</strong> minimo errore<br />
quadratico medio (MSE), essendo MSE = E[|e(n)| 2]<br />
condizione di minimo (<strong>per</strong> 1≤i≤N):<br />
∂ MSE ∂ E<br />
0 = = ∗<br />
∂ a ∂ a<br />
= E<br />
i<br />
[ ] 2<br />
e(<br />
n)<br />
∗<br />
= E[<br />
x ( n − i)<br />
e(<br />
n)<br />
]=<br />
∗<br />
i<br />
N<br />
∗<br />
∗<br />
{ x ( n − i)<br />
x(<br />
n)<br />
} + a E{<br />
x ( n − i)<br />
x(<br />
n − k)<br />
}<br />
k = 1<br />
∑<br />
<strong>per</strong> cui si ottengono le medesime equazioni di Yule-Walker:<br />
R<br />
xx<br />
( i)<br />
k<br />
N<br />
1<br />
a<br />
k<br />
R<br />
xx<br />
( i −<br />
k<br />
k)<br />
= 0<br />
( <strong>per</strong><br />
1≤<br />
i≤<br />
N)<br />
+∑ =<br />
Sotto tale condizione di minimo l'MSE assume il valore:<br />
σ<br />
2<br />
= min<br />
= E<br />
{ [ ] } 2<br />
E e(<br />
n)<br />
= E [ x(<br />
n)<br />
− xˆ ( n)<br />
]<br />
∑ ∗ { x(<br />
n)<br />
e(<br />
n)<br />
} = R xx ( 0)<br />
+<br />
N<br />
k=<br />
1<br />
{ e(<br />
n)<br />
} ∗<br />
a<br />
k<br />
R<br />
xx<br />
( −k)<br />
Osservazione: il filtro (di ordine N) <strong>del</strong>l'errore di predizione<br />
su {x(n)} e' l'inverso <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo AR (di ordine N) di {x(n)}. E'<br />
sempre a fase minima, dato che il suo inverso e' causale.<br />
Osservazione: i coefficienti <strong>del</strong> predittore lineare ottimo <strong>del</strong>la<br />
serie {x(n)} di ordine N-1 sono IDENTICI a quelli <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo<br />
AR di ordine N <strong>del</strong>la stessa serie {x(n)}.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.60<br />
• soluzione <strong>del</strong>le equazioni di Yule-Walker e<br />
recursione di Levinson-Durbin<br />
Le equazioni di Yule-Walker sono esprimibili in forma matriciale,<br />
assumendo di ado<strong>per</strong>are le prime N equazioni (+1 <strong>per</strong> la<br />
varianza), <strong>per</strong> risolvere il sistema di N incognite (+1 <strong>per</strong> la<br />
varianza):<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
(0)<br />
(1)<br />
(N − 1)<br />
R<br />
R<br />
σ<br />
R<br />
xx<br />
2<br />
xx<br />
xx<br />
( −1)<br />
...<br />
(0)<br />
(N − 2)<br />
= R<br />
xx<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
( 0)<br />
+<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
N<br />
( −N<br />
+ 1)<br />
( −N<br />
+ 2)<br />
R<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
...<br />
xx<br />
a<br />
i<br />
(0)<br />
R<br />
xx<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1 ⎤<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
...<br />
( −i)<br />
⎥<br />
⎥<br />
N ⎦<br />
= −<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
xx<br />
(1)<br />
(2)<br />
(N)<br />
La soluzione e' banalmente ottenibile invertendo la matrice di<br />
autocorrelazione:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
a<br />
a<br />
⎤ 1 xx ⎡<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
...<br />
a<br />
⎥<br />
⎥<br />
N ⎦<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
(0)<br />
(1)<br />
(N − 1)<br />
σ<br />
2<br />
R<br />
= R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
( −1)<br />
xx<br />
...<br />
(0)<br />
(N − 2)<br />
( 0)<br />
+<br />
N<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
a<br />
i<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
( −N<br />
+ 1)<br />
( −N<br />
+ 2)<br />
R<br />
xx<br />
...<br />
xx<br />
(0)<br />
( −i)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
−1<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
xx<br />
(1)<br />
(2)<br />
(N)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.61<br />
La soluzione puo' essere ottenuto in modo piu' efficiente in forma<br />
ricorsiva (soluzione al passo N+1 in funzione <strong>del</strong>la soluzione al<br />
passo N).<br />
Riscrivendo l'intero sistema di Yule-Walker (N+1 equazioni in<br />
N+1 incognite) come:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
xx<br />
(0)<br />
(1)<br />
(N)<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
( −1)<br />
...<br />
(0)<br />
(N − 1)<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
( −N)<br />
( −N<br />
+ 1)<br />
R<br />
...<br />
xx<br />
(0)<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣<br />
a<br />
a<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
N1 ⎥<br />
...<br />
⎥<br />
⎥<br />
NN ⎦<br />
si puo' estendere aggiungendo un'equazione ed un'incognita:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
...<br />
xx<br />
(0)<br />
(1)<br />
(N)<br />
(N + 1)<br />
R<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
R<br />
xx<br />
( −1)<br />
xx<br />
...<br />
(N − 1)<br />
xx<br />
(0)<br />
(N)<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
R<br />
xx<br />
R<br />
( −N)<br />
...<br />
xx<br />
(1)<br />
xx<br />
R<br />
( −N<br />
− 1)<br />
xx<br />
R<br />
xx<br />
( −N)<br />
( −1)<br />
xx<br />
(0)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
a<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
a<br />
⎣<br />
σ<br />
0<br />
1<br />
2<br />
N<br />
⎤<br />
...<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
N1 ⎥<br />
...<br />
⎥<br />
⎥<br />
NN ⎥<br />
che, ribaltata e coniugata, diviene (essendo R xx(k)=R xx *(-k)):<br />
...<br />
...<br />
R<br />
R<br />
...<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
2<br />
N σ ⎡ ⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
...<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥ ⎢<br />
⎣ 0 ψ ⎦
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.62<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
2<br />
N<br />
N<br />
N1<br />
NN<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
xx<br />
σ<br />
0<br />
...<br />
0<br />
ψ<br />
1<br />
a<br />
...<br />
a<br />
0<br />
(0)<br />
R<br />
(1)<br />
R<br />
...<br />
(N)<br />
R<br />
1)<br />
(N<br />
R<br />
1)<br />
(<br />
R<br />
...<br />
...<br />
1)<br />
(N<br />
R<br />
(N)<br />
R<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
N)<br />
(<br />
R<br />
...<br />
...<br />
(0)<br />
R<br />
(1)<br />
R<br />
1)<br />
N<br />
(<br />
R<br />
N)<br />
(<br />
R<br />
...<br />
1)<br />
(<br />
R<br />
(0)<br />
R<br />
Effettuando poi la combinazione lineare:<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
∗<br />
0<br />
0<br />
...<br />
0<br />
σ<br />
σ<br />
0<br />
...<br />
0<br />
ψ<br />
σ<br />
ψ<br />
ψ<br />
0<br />
...<br />
0<br />
σ<br />
2<br />
1<br />
N<br />
2<br />
N<br />
N<br />
2<br />
N<br />
N<br />
N<br />
2<br />
N<br />
ove e' stato definito:<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
σ<br />
ψ<br />
−<br />
σ<br />
=<br />
σ +<br />
2<br />
2<br />
N<br />
N<br />
2<br />
N<br />
2<br />
1<br />
N<br />
1<br />
i parametri <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo di ordine N+1 risultano:
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.63<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
a<br />
a<br />
a<br />
ove,<br />
in particolare:<br />
a N<br />
1<br />
N+<br />
1,1<br />
...<br />
N+<br />
1, N<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
N+<br />
1, N+<br />
1 ⎦<br />
Pertanto, riassumendo:<br />
a<br />
a<br />
nn<br />
ni<br />
R<br />
= −<br />
= a<br />
+ 1,<br />
N+<br />
1<br />
xx<br />
n −1,<br />
i<br />
=<br />
= −<br />
( n)<br />
+ a<br />
nn<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
+<br />
a<br />
a<br />
ψ<br />
σ<br />
a<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
N,1 ⎥<br />
...<br />
⎥<br />
⎥<br />
N, N ⎥<br />
0<br />
N<br />
2<br />
N<br />
n −1<br />
m=<br />
1<br />
∑<br />
2 2<br />
σn = σn<br />
−1<br />
a<br />
⎥<br />
⎦<br />
n −1,<br />
n −i<br />
( 1<br />
−<br />
n −1,<br />
m<br />
σ<br />
2<br />
n −1<br />
σ<br />
ψ<br />
N<br />
2<br />
N<br />
R<br />
xx<br />
( <strong>per</strong><br />
che va inizializzato (n=0) con σ 0 2 =Rxx(0).<br />
a<br />
nn<br />
2<br />
)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
a<br />
a<br />
( n<br />
0<br />
⎤<br />
∗ ⎥<br />
N, N ⎥<br />
...<br />
⎥<br />
∗ ⎥<br />
N,1 ⎥<br />
N.B.: i termini a nn (sempre ≤1 in modulo) sono detti coefficienti di<br />
riflessione o "parcor".<br />
−<br />
1<br />
i <<br />
−<br />
⎥<br />
⎦<br />
n)<br />
m)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.64<br />
• struttura a traliccio <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo AR<br />
Data una serie {x(n)}, l'errore di predizione di ordine N, costituito<br />
dall'uscita di un filtro di ordine N <strong>del</strong>l'errore di predizione<br />
(predittore di ordine N-1), risulta pari a:<br />
e<br />
N<br />
( n)<br />
=<br />
x(<br />
n)<br />
− xˆ<br />
N<br />
( n)<br />
=<br />
x(<br />
n)<br />
+<br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
a<br />
Nk<br />
x(<br />
n<br />
Se applichiamo la recursione di Levinson, otteniamo:<br />
eN ( n)<br />
= eN<br />
−1(<br />
n)<br />
+ a NN bN<br />
−1(<br />
n −1)<br />
avendo definito l'errore di retrodizione di ordine N b N(n):<br />
b<br />
N<br />
analogamente:<br />
( n)<br />
=<br />
x(<br />
n<br />
−<br />
N)<br />
+<br />
N<br />
k = 1<br />
∑<br />
a<br />
∗<br />
Nk<br />
x(<br />
n<br />
∗<br />
bN ( n)<br />
= bN<br />
− 1(<br />
n −1)<br />
+ a NN eN<br />
−1(<br />
n)<br />
che corrisponde al seguente grafo "a traliccio":<br />
x(n)<br />
1<br />
z -1<br />
1<br />
e(n)<br />
1<br />
b(n) 1<br />
z -1<br />
+<br />
*<br />
a<br />
*<br />
a<br />
11<br />
a<br />
11<br />
1<br />
1<br />
1<br />
22<br />
a<br />
22<br />
1<br />
k<br />
−<br />
−<br />
N)<br />
k)<br />
e (n)<br />
2<br />
b (n)<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.65<br />
EFFETTI DI QUANTIZZAZIONE<br />
• quantizzazione di conversione<br />
I segnali <strong>per</strong> essere elaborati da un DSP devono essere<br />
QUANTIZZATI, in modo da poter essere rappresentati da un<br />
numero finito di bit.<br />
Pertanto, i valori ammissibili sono soltanto un insieme FINITO di<br />
valori reali (o complessi).<br />
Q[x]<br />
Δ<br />
max dinamica di x<br />
x<br />
= intervallo di<br />
quantizzazione<br />
Ogni segnale a tempo discreto, rappresentato con un numero finito<br />
di bit, porta con se' un errore dovuto al troncamento o, piu'<br />
frequentemente, all'arrotondamento <strong>dei</strong> valori analogici assunti.<br />
Alla sequenza di errore (differenza tra il valore analogico ed il<br />
valore quantizzato) cosi' ottenuta si da' il nome di rumore di<br />
quantizzazione di conversione.<br />
Ovviamente, la dinamica <strong>del</strong> segnale non deve mai eccedere il<br />
massimo (ed il minimo) valore rappresentabile. In tal caso si parla<br />
di errore di overflow, che altera irrimediabilmente il contenuto<br />
informativo <strong>del</strong> segnale analogico.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.66<br />
• quantizzazione <strong>dei</strong> parametri<br />
Anche i parametri <strong>dei</strong> sistemi di elaborazione (es. filtri numerici)<br />
sono quantizzati <strong>per</strong> poter essere rappresentati da registri di<br />
lunghezza finita.<br />
In pratica, cio' modifica la posizione di zeri e poli nelle strutture<br />
lineari, alterando la risposta in frequenza <strong>del</strong> filtro implementato.<br />
Per i sistemi FIR questo non porta particolari conseguenze, in<br />
quanto eventuali simmetrie <strong>dei</strong> coefficienti dovrebbero<br />
<strong>per</strong>manere, anche se con valori leggermente differenti.<br />
Al contrario, nei sistemi IIR possono verificarsi conseguenze<br />
"drammatiche" <strong>per</strong> la stabilita' <strong>dei</strong> filtri stessi. Infatti, particolare<br />
attenzione va riposta nella quantizzazione <strong>dei</strong> coefficienti di filtri<br />
IIR quando uno o piu' poli sono prossimi al cerchio unitario, <strong>per</strong><br />
evitare che l'arrotondamento sul coefficiente quantizzato porti i<br />
poli in posizione esterna al cerchio unitario, provocando<br />
l'instabilita' <strong>del</strong>la struttura.<br />
Infatti, la sensibilita' <strong>del</strong>la posizione <strong>dei</strong> poli zi allo posizione <strong>dei</strong><br />
coefficienti ak <strong>del</strong> denominatore A(z) di H(z) e':<br />
ove:<br />
A(<br />
z)<br />
= 1−<br />
N<br />
∂ z<br />
∂ a<br />
i<br />
k<br />
N<br />
−k<br />
a k z = ∏ ∑<br />
k = 1<br />
j=<br />
1<br />
=<br />
z<br />
N−<br />
k<br />
i<br />
N<br />
∏( zi<br />
j=<br />
1,<br />
j≠i<br />
( 1−<br />
z<br />
j<br />
z<br />
−1<br />
)<br />
− z<br />
Pertanto, e' buona norma verificare l'effettiva posizione <strong>dei</strong> poli<br />
DOPO la quantizzazione <strong>dei</strong> coefficienti, specialmente nei filtri<br />
risonanti e nelle strutture di calcolo <strong>del</strong>la DFT.<br />
j<br />
)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.67<br />
• quantizzazione di arrotondamento <strong>del</strong> risultato<br />
di o<strong>per</strong>azioni<br />
Nei dispositivi di elaborazione numerica, oltre ai segnali di<br />
ingresso ed i parametri <strong>del</strong> sistema, vengono quantizzati anche i<br />
risultati <strong>del</strong>le relative o<strong>per</strong>azioni implementate.<br />
Pertanto, l'errore (o rumore) di quantizzazione dovuto<br />
all'arrotondamento <strong>del</strong> risultato di o<strong>per</strong>azioni matematiche<br />
dipende dai valori istantaneamente assunti dai segnali in gioco.<br />
Ma, poiche' e' assai difficile valutare deterministicamente l'entita'<br />
di tale errore, dipendente dai valori assunti dal segnale, se ne<br />
effettua un'analisi statistica mo<strong>del</strong>lando la sequenza di segnale e<br />
l'errore di quantizzazione come realizzazioni di processi aleatori.<br />
Solitamente, <strong>per</strong> semplificare l'analisi, si assume che il rumore di<br />
quantizzazione sia realizzazione di un processo stazionario, a<br />
distribuzione uniforme, bianco ed incorrelato con il segnale.<br />
La valutazione <strong>del</strong>l'entita' <strong>del</strong> rumore di quantizzazione in<br />
rapporto alla potenza <strong>del</strong> segnale, unita ai requisiti di dinamica e<br />
risoluzione, e' determinante nella progettazione di sistemi<br />
numerici, specialmente in quelli in virgola fissa, spesso ado<strong>per</strong>ati<br />
come elaboratori veloci di segnali numerici.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.68<br />
• quantizzazione in sistemi FIR e IIR con<br />
aritmetica in virgola fissa<br />
Nei dispositivi in virgola fissa, la sorgente di errore di<br />
quantizzazione e' l'o<strong>per</strong>azione di moltiplicazione.<br />
Invece, l'o<strong>per</strong>azione di addizione e' effettuata senza alcun errore,<br />
sempre che la dinamica <strong>del</strong> sistema sia stata adeguatamente<br />
progettata <strong>per</strong> garantire l'assenza di traboccamento (overflow),<br />
ovvero che il risultato rientri nell'intervallo <strong>dei</strong> numeri<br />
rappresentabili con i bit disponibili (requisito di dinamica).<br />
Dato che i segnali sono quantizzati, e' possibile mo<strong>del</strong>lare l'effetto<br />
<strong>del</strong>le quantizzazioni con una sorgente aleatoria di rumore bianco<br />
<strong>per</strong> ogni prodotto, che supponiamo anche incorrelato con il<br />
segnale e con le altre sorgenti.<br />
Per poterne valutare il contributo sull'uscita in termini di potenza<br />
di rumore, e' necessario progettare i quantizzatori con dinamica e<br />
risoluzione opportune.<br />
La dinamica deve consentire la rappresentazione, senza<br />
saturazione, di qualunque valore assunto dai segnali che<br />
attraversano il sistema in ogni punto <strong>del</strong> sistema stesso.<br />
E' sufficiente imporre tale condizione all'ingresso ed all'uscita.<br />
Allora, detti x MAX il massimo ingresso ed y MAX la massima<br />
uscita, deve essere scelto un valore massimo rappresentabile s MAX<br />
tale che:<br />
s ≥ x ed s ≥<br />
MAX<br />
MAX<br />
MAX<br />
y<br />
MAX<br />
che garantisce l'assenza di traboccamento (overflow).
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.69<br />
Dopo aver imposto la dinamica di ingresso dobbiamo controllare<br />
quella di uscita.<br />
Sovente, non conoscendo l'evoluzione a priori <strong>del</strong>l'uscita <strong>del</strong><br />
sistema, ci si cautela con le scelte:<br />
s<br />
MAX<br />
≥<br />
x<br />
MAX<br />
ed<br />
MAX<br />
ove h(n) e' la risposta impulsiva <strong>del</strong> filtro.<br />
s<br />
≥<br />
x<br />
MAX<br />
⋅<br />
∑ − N 1<br />
n=<br />
0<br />
h(<br />
n)<br />
Si osservi che quello adottato e' un criterio conservativo, poiche' il<br />
fatto che l'ingresso sia entro la dinamica massima implica, in<br />
questo caso, che anche l'uscita rimanga entro la dinamica.<br />
Talvolta, i segnali in gioco non sono a priori limitati in ampiezza,<br />
come nel caso di distribuzioni di tipo gaussiano.<br />
In tale caso, e' possibile scegliere <strong>per</strong> x MAX oppure y MAX un<br />
valore finito tale che esso su<strong>per</strong>i s MAX raramente, ovvero che<br />
l'area <strong>del</strong>la densita' di probabilita' oltre quel valore sia<br />
trascurabile. Ad esempio, se si osserva che |x(n)|>4σx con<br />
probabilita'
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.70<br />
Una volta scelta la dinamica, la risoluzione Δ, cioe' la differenza<br />
fra livelli discreti contigui <strong>per</strong> quantizzazioni uniformi, dipende<br />
dal numero di bit (b+1). Essa e' infatti:<br />
Δ =2 -b • s MAX<br />
Sono <strong>per</strong>cio' rappresentabili tutti i valori compresi nell'intervallo<br />
[-s MAX, s MAX] con risoluzione Δ.<br />
L'errore di quantizzazione nel caso di arrotondamento e' limitato<br />
entro l'intervallo [-Δ/2 , Δ/2].<br />
La varianza di tale errore, assunto con distribuzione uniforme, e'<br />
pari a:<br />
σ<br />
2<br />
e<br />
2<br />
Δ 2<br />
= =<br />
12<br />
−2b<br />
⋅s<br />
12<br />
2<br />
MAX<br />
Per calcolare la potenza <strong>del</strong> rumore di quantizzazione in uscita, al<br />
fine di analizzare il comportamento <strong>del</strong> filtro in esame nei riguardi<br />
<strong>del</strong> rumore, e' utile determinare le funzioni di trasferimento<br />
rumore-uscita di ogni singola sorgente di rumore (posta subito<br />
dopo ogni moltiplicazione) <strong>per</strong> combinarne i risultati mediante la<br />
sovrapposizione degli effetti.
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.71<br />
Al riguardo, e' opportuno notare che un sistema di tipo FIR<br />
definito dall'equazione alle differenze:<br />
y(<br />
n)<br />
=<br />
N<br />
k = 0<br />
∑<br />
b<br />
k<br />
x(<br />
n<br />
presenta un legame diretto ingresso-uscita, <strong>per</strong> cui i rumori si<br />
sommano semplicemente.<br />
Pertanto detto σ i 2 la varianza di ogni generatore di rumore, la<br />
varianza di rumore in uscita σ u 2 risulta:<br />
σ<br />
2<br />
u<br />
=<br />
N<br />
k = 0<br />
∑<br />
σ<br />
2<br />
i<br />
−<br />
k)<br />
= ( N + 1)<br />
σ<br />
Al contrario, l'effetto in uscita di generatori di rumore in blocchi<br />
IIR va pesato con le rispettive funzioni di trasferimento rumoreuscita.<br />
In particolare, se lo schema di flusso prevede che tutti i generatori<br />
di rumore agiscano direttamente sull'ingresso, come nel caso:<br />
y(<br />
n)<br />
k<br />
N<br />
1<br />
a<br />
k<br />
y(<br />
n<br />
−<br />
k)<br />
+<br />
2<br />
i<br />
x(<br />
n)<br />
=∑ =<br />
la funzione di trasferimento rumore-segnale coincide <strong>per</strong> tutti i<br />
generatori con quella <strong>del</strong> filtro in esame (cioe' {h(n)}).<br />
Per cui, la varianza di rumore in uscita σ u 2 corrisponde a quella in<br />
ingresso σ i 2 in base alla relazione:<br />
σ<br />
2<br />
u<br />
=<br />
N +∞<br />
2 2 2<br />
h(<br />
n)<br />
σi<br />
= N σi<br />
+∞<br />
k 1 n= 0<br />
n=<br />
0<br />
∑<br />
=<br />
∑∑<br />
h(<br />
n)<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.72<br />
E' questo il caso, ad esempio, di un sistema IIR <strong>del</strong> primo ordine<br />
<strong>del</strong> tipo:<br />
y(n) = a y(n-1) + x(n)<br />
<strong>per</strong> il quale la varianza di uscita σ u 2 risulta in funzione di quella di<br />
ingresso σ i 2 in base alla semplice espressione:<br />
σ<br />
2<br />
u<br />
=<br />
σ<br />
σ<br />
∑ +∞<br />
2<br />
2<br />
2 i<br />
i h(<br />
n)<br />
=<br />
n=<br />
0 1−<br />
• effetti di quantizzazione su DFT e FFT<br />
L'effetto <strong>del</strong>la quantizzazione nelle strutture di calcolo <strong>del</strong>la DFT<br />
ed IDFT definite da:<br />
ove e' stato posto:<br />
X(<br />
k)<br />
x(<br />
n)<br />
=<br />
=<br />
1<br />
N<br />
W<br />
∑ − N 1<br />
n = 0<br />
N<br />
∑ − N 1<br />
k = 0<br />
nk<br />
x(<br />
n)<br />
WN<br />
= e<br />
X(<br />
k)<br />
2π<br />
− j<br />
N<br />
W<br />
a<br />
−nk<br />
N<br />
e' analogo a quello <strong>dei</strong> filtri FIR ad N coefficienti.<br />
2
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.73<br />
Valutiamo la potenza <strong>del</strong> rumore di quantizzazione (in relazione a<br />
quella <strong>del</strong> segnale utile) in uscita ad un dispositivo di calcolo che<br />
utilizza b+1 bits (b mantissa + 1 segno).<br />
Assumiamo, <strong>per</strong> comodita', SMAX=1, in quanto un diverso valore<br />
di SMAX non altera i rapporti segnale/rumore.<br />
Come nei filtri FIR, gli N generatori (complessi) di rumore<br />
sommano i propri effetti DIRETTAMENTE sull'uscita. Ad ogni<br />
generatore complesso corrispondono 4 generatori reali, poiche'<br />
sono 4 le moltiplicazioni reali corrispondenti ad una<br />
moltiplicazione complessa.<br />
Assumendo ogni variabile di rumore bianca ed uniformemente<br />
distribuita in [-2-b-1 ,2-b-1 ], la potenza di rumore totale in uscita<br />
risulta:<br />
E<br />
−2b<br />
−2<br />
2 2 2<br />
[ eu<br />
( k)<br />
] = 4N<br />
= N<br />
12 3<br />
mentre, dovendo porsi <strong>per</strong> il requisito di dinamica (YMAX=1), 1<br />
Re al{<br />
X MAX } = Im ag{<br />
X MAX } =<br />
2 N<br />
ed assumendo una distribuzione uniforme <strong>dei</strong> dati {x(n)}<br />
nell'intervallo anzi detto, la potenza di segnale in uscita risulta:<br />
2 1 1<br />
[ N(<br />
k)<br />
] = N =<br />
3 N<br />
E 2<br />
3 N<br />
<strong>per</strong> cui il rapparto rumore/segnale (NSR) risulta:<br />
2<br />
NSR =<br />
N 2<br />
−2b<br />
b
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.74<br />
Il rapporto rumore/segnale non cambia se si ado<strong>per</strong>a un algoritmo<br />
FFT <strong>del</strong> tipo illustrato in figura <strong>per</strong> N=8:<br />
x(0)<br />
x(4)<br />
x(2)<br />
x(6)<br />
x(1)<br />
x(5)<br />
x(3)<br />
x(7)<br />
WN 0<br />
W<br />
N<br />
0<br />
W<br />
N<br />
0<br />
W<br />
N<br />
0<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
W<br />
N<br />
0<br />
W<br />
N<br />
2<br />
W<br />
N<br />
0<br />
W<br />
N<br />
2<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
Tuttavia, e' possibile modificare l'algoritmo FFT <strong>per</strong> ridurre<br />
l'effetto <strong>del</strong>l'errore di quantizzazione.<br />
W<br />
N<br />
0<br />
W<br />
N<br />
1<br />
W<br />
N<br />
2<br />
W<br />
N<br />
3<br />
Ricordando la struttura <strong>del</strong>la farfalla di base:<br />
x (p)<br />
m<br />
x (q)<br />
m<br />
W<br />
N<br />
r<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
x (p)<br />
m+1<br />
x (q)<br />
m+1<br />
si nota come l'uscita non possa risultare amplificata <strong>per</strong> piu' di un<br />
fattore 2 rispetto all'ingresso.<br />
-1<br />
X(0)<br />
X(1)<br />
X(2)<br />
X(3)<br />
X(4)<br />
X(5)<br />
X(6)<br />
X(7)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.75<br />
Se quindi si introducono divisioni <strong>per</strong> un fattore 2 in ogni farfalla,<br />
l'uscita di ogni butterfly sara' sempre minore o uguale<br />
<strong>del</strong>l'ingresso:<br />
x (p)<br />
m<br />
x (q)<br />
m<br />
1/2<br />
r<br />
W /2<br />
N<br />
-1<br />
x (p)<br />
m+1<br />
x (q)<br />
m+1<br />
L'intera struttura <strong>del</strong>la FFT risulta cosi' modificata:<br />
1/2<br />
x(0)<br />
0<br />
W N/2<br />
x(4)<br />
1/2<br />
x(2)<br />
0<br />
W /2<br />
N<br />
x(6)<br />
1/2<br />
x(1)<br />
0<br />
W /2<br />
N<br />
x(5)<br />
1/2<br />
x(3)<br />
0<br />
W /2<br />
N<br />
x(7)<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
1/2<br />
1/2<br />
0<br />
W /2<br />
N<br />
2<br />
W /2<br />
N<br />
1/2<br />
1/2<br />
0<br />
W /2<br />
N<br />
2<br />
W /2<br />
N<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
1/2<br />
1/2<br />
1/2<br />
1/2<br />
0<br />
W /2<br />
N<br />
1<br />
W /2<br />
N<br />
2<br />
W /2<br />
N<br />
3<br />
W /2<br />
N<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
X(0)<br />
X(1)<br />
X(2)<br />
X(3)<br />
X(4)<br />
X(5)<br />
X(6)<br />
X(7)
G. <strong>Giunta</strong>: <strong>Elaborazione</strong> <strong>dei</strong> <strong>Segnali</strong> <strong>per</strong> Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.76<br />
L'effetto <strong>del</strong>la divisione <strong>per</strong> 2 in ognuno <strong>dei</strong> ν stadi e' equivalente<br />
ad una divisione <strong>per</strong> N (ν =log 2 N) all'ingresso <strong>del</strong>la struttura ed<br />
altera <strong>per</strong>cio' le singole funzioni di trasferimento generatore-uscita<br />
degli errori di quantizzazione.<br />
In particolare, mentre la potenza di segnale in uscita non cambia<br />
(e' in sostanza determinata da Y MAX=1), la potenza di rumore<br />
diviene pari a:<br />
E<br />
[ ]<br />
−2b<br />
ν−1<br />
−2b<br />
ν<br />
2 2<br />
ν−m<br />
2ν−2<br />
m−2<br />
2 1−<br />
0.<br />
5 4 −2b<br />
e ( k)<br />
2 ( 0.<br />
5)<br />
= 2<br />
≈ 2<br />
u<br />
= ∑ 3<br />
m=<br />
0<br />
Per cui il rapporto rumore/segnale diviene:<br />
NSR≈<br />
4<br />
N2<br />
−2b<br />
3<br />
1−<br />
0.<br />
5<br />
Si noti come, mentre nello schema tradizionale l'NSR era<br />
proporzionale a N 2 (un bit in piu' <strong>per</strong> ogni raddoppio <strong>del</strong> numero<br />
di dati N <strong>per</strong> ottenere lo stesso valore di NSR), grazie allo schema<br />
<strong>del</strong>la divisione <strong>per</strong> due in ogni stadio l'NSR cresce<br />
proporzionalmente ad N (mezzo bit in piu' <strong>per</strong> compensare un<br />
raddoppio di N a parita' di prestazioni).<br />
In pratica, se il massimo <strong>del</strong>l'ingresso e' unitario (X MAX=1) e si<br />
vuole limitare l'uscita sotto l'unita' (Y MAX=1), nel caso<br />
tradizionale occorre attenuare il segnale di un fattore 1/N, mentre<br />
con lo schema migliorativo e' sufficiente attenuare di 1/2 ogni<br />
stadio.<br />
Pertanto, il primo schema comporta una <strong>per</strong>dita secca ed<br />
immediata di informazione (ν bits), mentre il secondo schema e'<br />
in grado di trasportare piu' informazione, <strong>per</strong>dendo<br />
immediatamente un solo bit e, soltanto successivamente, un<br />
ulteriore bit <strong>per</strong> ogni stadio.<br />
3