Soluzioni Esercizi Capitolo 3_corretto - Ateneonline

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a a + c ), mentre la specificità è la proporzione di soggetti con punteggi al di sotto del cut-off d che non hanno il disturbo (nella tabella b + d ). Diagnosi effettiva Cut-off Sì No Sopra a = ?? b = ?? Sotto c = ?? d = ?? Totale dei malati a + c = 50 Totale dei non malati b + d = 350 Totale sopra cut-off a + b = ?? Totale sotto cut-off c + d = ?? a Poiché sappiamo che a + c =,84 e che a + c = 50, otteniamo a come a = ,84 × (a + c) = ,84 × d 50 = 42. Allo stesso modo ricaviamo d, poiché b + d =,80 e b + d = 350, d = ,79 × (b + d) = ,80 × 350 = 280. Per differenza dai totali di colonna ricaviamo c e b, e i totali marginali di riga: Diagnosi effettiva Cut-off Sì No Sopra a = 42 b = 70 Sotto c = 8 d = 280 Totale dei malati a + c = 50 Totale dei non malati b + d = 350 Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia 400 Totale sopra cut-off a + b = 112 Totale sotto cut-off c + d = 288 Per calcolare il potere predittivo positivo (PPP) e il potere predittivo negativo (PPN), ossia la proporzione di soggetti con disturbo sul totale di quelli con punteggio superiore al cut-off e ossia la proporzione di soggetti senza disturbo sul totale di quelli con punteggio inferiore al cut-off, rispettivamente, utilizziamo le formule: 400 a 42 d 80 PPP = = = , 38 PPN = = = , 97 a + b 112 c + d 100 b. Per rispondere a questa domanda dobbiamo utilizzare il teorema di Bayes: p( Disturbo) × p( > cutoff | Disturbo) p( Disturbo | > cutoff ) = p( Disturbo) × p( > cutoff | Disturbo) + p( NonDisturbo) × p( > cutoff | NonDisturbo) Poiché il testo riferisce che la probabilità di osservare un soggetto con disturbo nella popolazione generale è il 9%, abbiamo p(Disturbo), e p(NonDisturbo) = 91%. Sappiamo poi che p(>cutoff|Disturbo) = Sensibilità = ,84 e p(>cutoff|NonDisturbo) = 1 − Specificità = 1 − ,80 = ,20, avremo che: , 09× , 84 p ( Disturbo | > cutoff ) = = , 29 , 09× , 84+ , 91× , 20
<strong>Esercizi</strong>o 8 a. In questo caso utilizziamo la distribuzione binomiale, e calcoliamo la probabilità di ottenere almeno 10 successi in 12 prove, il che equivale a dire la probabilità di estrarre 10, 11 e 12 studenti che svolgono attività sportiva. Probabilità ,30 ,25 ,20 ,15 ,10 ,05 ,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Numero studenti che svolgono attività sportiva Sommeremo quindi p(10), p(11) e p(12). In questo caso, poiché p = ,54, avremo che q = 1 − ,54 = ,46. ⎛12⎞ 10 12−10 p ( 10) = ⎜ ⎟, 54 , 46 , dove ⎝10⎠ per cui p(10) = 66 × ,002108 × ,211600 = ,029444 ⎛12⎞ ( 11) ⎜ ⎟ ⎝11⎠ × ,460000 = ,006284 ⎛12 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝11⎠ 11 12−11 p = , 54 , 46 , dove 12 ⎛12⎞ ( 12) ⎜ ⎟ ⎝12⎠ ,000615. ⎛12 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝12⎠ 12 12−12 p = , 54 , 46 , dove 1 Avremo quindi che: ⎛n ⎞ , poiché ⎜ ⎟ = n , per cui p(11) = 12 × ,001138 ⎝n −1⎠ ⎛n ⎞ , poiché ⎜ ⎟ = 1, per cui p(12) = 1 × ,000615 × 1 = ⎝n ⎠ p(almeno 10 studenti che svolgono attività sportiva) = p(10) + p(11) + p(12) = ,029444 + ,006284 + ,000615 = ,036343 b. In questo caso utilizziamo sempre la distribuzione binomiale, ma dato l'ampio campione a disposizione sfruttiamo la possibilità di approssimare la distribuzione binomiale alla distribuzione normale standardizzata. Per fare questo dobbiamo calcolare media e deviazione standard della distribuzione binomiale, che sono: Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
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