Soluzioni Esercizi Capitolo 3_corretto - Ateneonline

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La situazione è analoga a quella della Figura 3.38 in quanto entrambi i valori di z sono positivi: p(,58 < P < ,62) → p(1,14 < z < 2,29) = p(0 < z < 2,29) − p(0< z < 1,14) = ,4890 − ,3729 = ,1161 g. La formula per calcolare l'intervallo di fiducia di una proporzione campionaria è la seguente: π − z × π ( 1− π ) π ( 1− π ) < P < π + z × n n Sappiamo che per un intervallo di fiducia al 95% il valore di z da utilizzare è 1,96 (valore di z che lascia al di là di sé (1−,95)/2 = ,025), mentre per un intervallo di fiducia al 99% il valor di z è 2,58 (valore di z che lascia al di là di sé (1−,99)/2 = ,005) (vedi Figura 3.49). A questo punto basta sostituire i dati nella formula: Campione di 20 soggetti , 54( 1−, 54) , 54( 1−, 54) , 54 −1, 96 × < P < , 54 + 1, 96 × = IF95% = , 32 < P < , 76 20 20 , 54( 1−, 54) , 54( 1−, 54) , 54 − 2, 58 × < P < , 54 + 2, 58× = IF99% = , 25 < P < , 83 20 20 Campione di 200 soggetti , 54( 1−, 54) , 54( 1−, 54) , 54 − 2, 58× < P < , 54 + 2, 58× = IF99% = , 45 < P < , 63 200 200 , 54( 1−, 54) , 54( 1−, 54) , 54 −1, 96 × < P < , 54 + 1, 96 × = IF95% = , 47 < P < , 61 200 200 h. La formula per calcolare l'intervallo di fiducia della proporzione della popolazione a partire da quella campionaria è la seguente: <strong>Esercizi</strong>o 9 P( 1− P) P − z × < π < P + z × n −1 P( 1− P) n −1 Per trovare l'intervallo di fiducia al 98% abbiamo bisogno di trovare quel valore di z di là del quale l'area di probabilità vale ,01, dato che (1 − ,98) / 2= ,01. Tale valore è z = ± 2,33. Dato che P = ,54 e n = 150, avremo che: , 54( 1−, 54) , 54 − 2, 33× < π < , 54 + 2, 33× 150 −1 , 44 < π < , 64 , 54( 1−, 54) 150 −1 a. Poiché la variabile è misurata su scala ad intervalli equivalenti e la distribuzione dei punteggi è normale, possiamo fare riferimento alla distribuzione normale standardizzata z. Per cui, il primo passo è trasformare in punti z i punteggi 38 e 42: Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
39 − 50 42 − 50 z 1 = = −1, 1 z 2 = = −0, 8 10 10 La situazione è la stessa della Figura 3.39, in cui entrambi i valori di z sono negativi. La soluzione, quindi è rappresentata da: p(39 < SE < 42) → p(−1,1 < z < −0,8) = p(0 < z < 1,1) − p(0 < z < 0,8) = ,3643 − ,2881 = ,0762 33 − 50 b. Trasformiamo 33 in punti z: z = = −1, 7 10 Dobbiamo trovare l'area di probabilità al di là di z = 1,7, come nel caso della Figura 3.35. L'area che cerchiamo è ,0446. 77 − 50 c. Trasformiamo 77 in punti z: z = = 2, 7 10 Dobbiamo trovare l'area di probabilità al di là di z = 2,7, come nel caso della Figura 3.34. L'area che cerchiamo è ,0035. 47 − 50 55 − 50 d. Trasformiamo 47 e 55 in punti z: z 1 = = −0, 3 , z 2 = = 0, 5 10 10 Come nel caso della Figura 3.37, dobbiamo sommare le aree comprese fra z e la media per i due valori: p(47 < SE < 55) → p(−0,3 < z < 0,5) = p(−0,3 < z < 0) + p(0 < z < 0,5) = ,1179 + ,1915 = ,3094 e. In questo caso non dobbiamo farci ingannare dal fatto che ci venga indicato che sono stati estratti 50 soggetti: vogliamo innanzitutto sapere la probabilità che un soggetto abbia un punteggio medio compreso fra 51 e 53. Quindi, basta calcolare questa probabilità e moltiplicarla poi per 50 per rispondere al quesito. Trasformiamo 51 e 53 in punti z: 51− 50 53− 50 z 1 = = 0, 1 , z 2 = = 0, 3 10 10 La situazione è analoga a quella della Figura 3.38 in quanto entrambi i valori di z sono positivi: p(51 < SE < 53) → p(0,1 < z < 0,3) = p(0 < z < 0,3) − p(0< z < 0,1) = ,1179 − ,0398 = ,0781 A questo punto per rispondere alla domanda basta moltiplicare 50 × ,0781 = 3,91 ≈ 4. Circa 4 soggetti su 50 avranno un punteggio di SE compreso fra 51 e 53. f. In questa situazione, invece, abbiamo effettivamente a che fare con una media campionaria, per cui facciamo riferimento alla distribuzione delle medie campionarie. Questo significa che per trasformare a punti z una media dovremo utilizzare la formula: Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
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