Soluzioni Esercizi Capitolo 3_corretto - Ateneonline

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μ = n × p = 1200 × ,54 = 648 e σ = n× p × q = 1200 × , 54× , 46 = 17, 26 A questo punto basta convertire in punti z il valore 680 ricordando di sottrarre 0,5 per la correzione di continuità (vedi Approfondimento 3.3): X − μ 675, 5 − 648 z = = = 1, 59 σ 17, 26 La risposta al quesito la troviamo sulle tavole di z determinando l'area al di là di z (vedi Figura 3.34 nel testo) per z = 1,59, che è ,0559. c. I successi relativamente a questa domanda sono rappresentati da 4, 5 e 6 studenti su 8, per cui dovremo sommare le probabilità p(4), p(5) e p(6). ⎛8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝4 ⎠ Probabilità ,30 ,25 ,20 ,15 ,10 ,05 ,00 4 8−4 p ( 4) = , 54 , 46 , dove per cui p(4) = 70 × ,085031 × ,044757 = ,266504 ( 5) ⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 5 8−5 p = , 54 , 46 , dove 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Numero studenti che svolgono attività sportiva , per cui p(5) = 56 × ,045917 × ,097336 = ,250282 ⎛8 ⎞ 6 8−6 p ( 6) = ⎜ ⎟, 54 , 46 , dove ⎝6⎠ per cui p(6) = 28 × ,024795 × ,146905 = ,146905 Avremo quindi che: Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
p(fra i 4 e i 6 studenti che svolgono attività sportiva) = p(4) + p(5) + p(6) = ,266504 + ,250282 + ,146905 = ,663692 d. Anche in questo caso utilizziamo l'approssimazione della distribuzione binomiale alla distribuzione normale standardizzata. Per fare questo dobbiamo calcolare media e deviazione standard della distribuzione binomiale per 800 studenti, che sono: μ = n × p = 800 × ,54 = 432 e σ = n× p × q = 800 × , 54× , 46 = 14, 10 A questo punto basta convertire in punti z i valori 400 e 450 ricordando di sottrarre 0,5 al valore inferiore a aggiungere 0,5 a quello superiore: X − μ 399, 5 − 432 X − μ 450, 5 − 432 z 1 = = = −2, 30 z 2 = = = 1, 31 σ 14, 10 σ 14, 10 Poiché un valore è negativo e uno è positivo, siamo nella situazione di Figura 3.37, per cui dovremo sommare le aree comprese fra z e la media per i due valori: p(400 < S < 450) → p(−2,30 < z < 1,31) = p(−2,30 < z < 0) + p(0 < z < 1,31) = ,4893 + ,4049 = ,8942 e. In questo caso siamo in una situazione diversa dai precedenti, perché prima si "lavorava" sul numero di eventi, adesso sulla proporzione. Questo implica che per poter sfruttare l'approssimazione alla distribuzione normale standardizzata z dobbiamo calcolare l'errore standard della proporzione, in base alla formula: σ P = n× π × ( 1− π ) = n π × ( 1− π ) n dove π = ,54. Per cui nel nostro caso avremo che: σ P = n× π × ( 1− π ) = n π × ( 1− π ) = n , 54× ( 1−, 54) = , 05 100 Ora, per trasformare la proporzione ,60 in probabilità dobbiamo utilizzare la formula: z = P − π π ( 1− π ) n , 60−, 54 = = 1, 2 , 05 La risposta al quesito è data dall'area al di là di z = 1,20, che è ,1151. f. La situazione è analoga alla precedente, salvo la necessità di trasformare in punti z due proporzioni. Poiché l'ampiezza campionaria è diversa dal punto (e), dobbiamo ricalcolare l'errore standard della proporzione: σ P = n× π × ( 1− π ) = n π × ( 1− π ) = n , 54× ( 1−, 54) = , 035 200 Ora, per trasformare le proporzioni in probabilità dobbiamo utilizzare la formula: , 58−, 54 , 62−, 54 z 1 = = 1, 14 z 2 = = 2, 29 , 035 , 035 Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
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