Soluzioni Esercizi Capitolo 3_corretto - Ateneonline

M − μM M − μM
z = =
σ σ
M
n
dove μM e σM sono rispettivamente la media e la deviazione standard della distribuzione
delle medie campionarie. Nel primo caso il valore è uguale a quello della popolazione
(quindi μM = μ = 50), nel secondo caso di tratta dell'errore standard, che è uguale ala
deviazione standard della popolazione diviso la radice quadrata dell'ampiezza campionaria.
Poiché M1 = 51 e M2 = 53:
51−
50
53 − 50
z 1 = = 0,
71 , z 2 = = 2,
12
10
10
50
50
p(51 < M < 53) → p(0,71 < z < 2,12) = p(0 < z < 2,12) − p(0< z < 0,71) = ,4830 − ,2611 =
,2219
g. In questo caso sapere che vengono estratti 500 campioni non ci interessa inizialmente. La
situazione è simile a quella del punto (e). Innanzitutto dobbiamo calcolare la probabilità di
estrarre un campione di 30 soggetti con media compresa fra 49 e 52:
51−
50
53 − 50
z 1 = = 0,
55 , z 2 = = 1,
64
10
10
30
p(51 < M < 53) → p(0,55 < z < 1,64) = p(0 < z < 1,64) − p(0< z < 0,55) = ,4495 − ,2088 =
,2407
Poiché la probabilità di estrarre un campione di 30 elementi con media compresa fra 51 e 53
è ,2407, su 500 campioni possiamo aspettarcene con la stessa caratteristica 500 × ,2407 =
120,35 ≈ 120.
h. Il rango percentile di un punteggio è la percentuale di valori al di sotto di esso in una
distribuzione di punteggi. Per calcolare quanti punteggi sono inferiori a 75, trasformiamo
questo valore in punti z e calcoliamo l'area sottostante la distribuzione normale
standardizzata da meno infinito a quel valore di z:
75 − 50
z = = 2,
55
10
In questo caso dobbiamo trovare l'area compresa fra 0 e z = 2,55 e aggiungervi l'area
compresa fra 0 e meno infinito (vedi Figura 3.34). Nel secondo caso conosciamo già la
risposta, perché è la metà dell'area sottostante la distribuzione normale, ossia ,5000. Nel
primo caso basta trovare sulle tavole di z l'area compresa fra 0 e 2,55, che è ,4946, per cui
avremo che la proporzione di punteggi inferiori a 75 è ,4946 + ,5000 = ,9946.
Il valore ,9946 rappresenta la proporzione di punteggi inferiori a 75. Il rango
percentile viene calcolato moltiplicando questa proporzione per 100: ,9946 × 100 = 99,46,
che è la risposta al quesito.
Nel caso del punteggio 23, invece, ci basta calcolare l'area al di là di z perché 23 è sotto alla
media (vedi per esempio la Figura 3.35)
23 − 50
z
= = −2,
7
10
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
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