Soluzioni Esercizi Capitolo 3_corretto - Ateneonline
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<strong>Esercizi</strong>o 1<br />
<strong>Soluzioni</strong> <strong>Esercizi</strong> <strong>Capitolo</strong> 3<br />
a. In un mazzo di carte francesi lo spazio campionario è costituito da 52 elementi. Nel caso<br />
dell'estrazione di un fante, il numero di eventi favorevoli è 4, per cui la probabilità di estrarre<br />
un fante è 4 / 52 = .08.<br />
b. In questo caso il numero di eventi favorevoli è 3, per cui la probabilità del successo è 3 / 52<br />
= .06<br />
c. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi disgiunti (congiunzione "o"), per<br />
cui utilizzeremo il principio della somma. Prima, però, occorre valutare se gli eventi siano o<br />
meno mutuamente escludentisi, ossia, se vi siano elementi dello spazio campionario che li<br />
soddisfano entrambi. In questo caso non ve ne sono, dato che nessun fante è anche un asso o<br />
viceversa, per cui possiamo scrivere:<br />
p(J∪A) = p(J) + p(A) = 4/52 + 4/52 = ,15<br />
d. Anche in questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi disgiunti (congiunzione<br />
"o"), ma differentemente dal punto (c) vi è una carta che soddisfa sia la condizione "fante"<br />
sia quella "figura di cuori", che è il fante di cuori. Per questo motivo, oltre a sommare le<br />
probabilità dei due eventi (4/52 e 3/52) dovremo sottrarre la probabilità che i due eventi si<br />
verifichino congiuntamente (1/52). Per cui:<br />
p(J∪Figura♥) = p(J) + p(Figura♥) − p(J∩Figura♥) = 4/52 + 3/52 − 1/52 = ,12<br />
e. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), per<br />
cui utilizzeremo il principio del prodotto. Prima, però, occorre valutare se gli eventi siano o<br />
meno dipendenti fra loro, ossia, se il verificarsi dell'uno modifica la probabilità di verificarsi<br />
dell'altro. Poiché le estrazioni sono con reinserimento non è questo il caso, per cui la<br />
soluzione è:<br />
p(J∩A) = p(J) × p(A) = 4/52 × 4/52 = ,0059<br />
f. Anche questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"),<br />
ma poiché l'estrazione è senza reinserimento i due eventi sono dipendenti, in quanto il<br />
verificarsi dell'uno modifica lo spazio campionario dell'altro. La soluzione è quindi:<br />
<strong>Esercizi</strong>o 2<br />
p(J∩A) = p(J∩A|J) = p(J) × p(A|J) = 4/52 × 4/51 = ,0060<br />
a. Ottenere sei volte consecutive la faccia 5 significa ottenerla al primo lancio e al secondo<br />
lancio e al terzo lancio … e al sesto lancio. La congiunzione "e" suggerisce che dobbiamo<br />
utilizzare il principio del prodotto, in quanto si tratta di eventi congiunti. Poiché la<br />
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
probabilità che esca una certa faccia non è modificata dagli esiti dei lanci precedenti, la<br />
soluzione è:<br />
Successo = faccia 5; p(successo) = 1/6;<br />
p(6 successi) = 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 = (1/6) 6 = ,000021<br />
b. Un numero pari, nel caso del lancio di un dado, è un evento composto, dato che il successo è<br />
rappresentato dalle facce 2, 4 e 6. La probabilità del successo è quindi 3 / 6 = ,50.<br />
p(3 successi) = ,50 × ,50 × ,50 = (,50) 3 = ,125<br />
c. Se il successo è rappresentato dall'ottenere esattamente 8 volte la faccia 1 in 10 lanci, sono<br />
sequenze favorevoli tutte quelle che, indipendentemente dall'ordine, presentano esattamente<br />
8 volte la faccia 1. In questo caso dobbiamo avvalerci della distribuzione binomiale e<br />
utilizzare la formula:<br />
⎛n<br />
⎞<br />
p(<br />
k)<br />
= ⎜ ⎟ p<br />
⎝k<br />
⎠<br />
k n−k<br />
q<br />
dove k = numero successi, n = numero prove, p = probabilità a priori del successo, q = 1 – p,<br />
ovvero probabilità a priori dell’insuccesso. Ricordiamo che:<br />
⎛n<br />
⎞ n!<br />
⎜ ⎟ = =<br />
⎝k<br />
⎠ k!<br />
( n − k)!<br />
In questo caso la probabilità del successo è 1/6, per cui quella dell'insuccesso sarà 1 − 1/6 =<br />
5/6. Il numero di prove n è 10, quello di successi k 8, per cui:<br />
⎛10⎞<br />
8 10−8<br />
p ( 5)<br />
= ⎜ ⎟×<br />
1/<br />
6 × 5/<br />
6<br />
⎝8<br />
⎠<br />
Svolgiamo prima il coefficiente binomiale:<br />
Il risultato è quindi:<br />
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia<br />
n Ck<br />
p(5 successi) = 252 × ,000129 × ,401878 = ,013<br />
d. Se il successo è rappresentato dall'ottenere almeno 8 volte la faccia 1 in 10 lanci, significa<br />
che il successo è rappresentato non solo dall'ottenerla 8 volte, ma anche dall'ottenerla 9 e 10<br />
volte. Questo significa che per rispondere alla domanda non basterà calcolare la probabilità<br />
relativa ad 8 successi, ma dovremo calcolare anche quella relativa a 9 e 10, per cui avremo<br />
che:<br />
p(almeno 8 successi) = p(8 successi) + p(9 successi) + p(10 successi)<br />
ossia<br />
10⎞ 8 10−8<br />
⎛10⎞<br />
9 10−9<br />
⎛10⎞<br />
8 10−10<br />
⎛<br />
⎜ ⎟×<br />
1/<br />
6 × 5/<br />
6<br />
⎝8<br />
⎠<br />
+ ⎜ ⎟×<br />
1/<br />
6 × 5/<br />
6<br />
⎝9<br />
⎠<br />
+ ⎜ ⎟×<br />
1/<br />
6 × 5/<br />
6<br />
⎝10⎠
<strong>Esercizi</strong>o 3<br />
Risolviamo i coefficienti binomiali:<br />
⎛n<br />
⎞ ⎛n<br />
⎞<br />
mentre sappiamo già che gli altri due sono uguali a 10 e 1 perché ⎜ ⎟ = n e ⎜ ⎟ = 1,<br />
per<br />
⎝n<br />
−1⎠<br />
⎝n<br />
⎠<br />
cui avremo che:<br />
p(almeno 8 successi) = [45 × ,00000060 × ,02777778] + [10 × ,00000010 ×,16666667] +<br />
+ [1 × ,00000002 × 1] = ,000019<br />
Per risolvere questo esercizio dobbiamo innanzitutto costruire la tabella di contingenza richiesta in<br />
base alle informazioni fornite. Le femmine sono il 70% di 150, quindi ,70 × 150 = 105<br />
Completiamo la tabella:<br />
Titolo di studio<br />
Genere Licenza Media Diploma Laurea Totale<br />
Femmina 105<br />
Maschio 26 12<br />
Totale 50 60 150<br />
Titolo di studio<br />
Genere Licenza Media Diploma Laurea Totale<br />
Femmina 33 24 48 105<br />
Maschio 7 26 12 45<br />
Totale 40 50 60 150<br />
a. I maschi sono 45 su 150, per cui p(Maschio) = 45 / 150 = ,30<br />
b. I laureati sono 60 su 150, per cui p(Laureato) ) = 60 / 150 = ,40<br />
c. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi disgiunti (congiunzione "o"), per<br />
cui utilizzeremo il principio della somma. Prima, però, occorre valutare se gli eventi siano o<br />
meno mutuamente escludentisi, ossia, se vi siano elementi dello spazio campionario che li<br />
soddisfano entrambi. In effetti vi sono 12 maschi che sono anche laureati, la cui probabilità<br />
di essere estratti è 12 / 150 = ,08. La soluzione quindi è:<br />
p(M∪Laureato) = p(Maschio) + p(Laureato) − p(Maschio∩Laureato) =<br />
= ,30 + ,40 − ,08 = ,62<br />
d. La condizione "almeno diplomato" indica che possiamo considerare come successo sia i<br />
diplomati che i laureati, per cui il numero di casi favorevoli è 50 + 60 = 110. La soluzione<br />
quindi è:<br />
p(almeno diplomato) = p(Diplomato) + p(Laureato) = (50 / 150) + (60 / 150) = ,73<br />
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e. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), per<br />
cui utilizzeremo il principio del prodotto. Poiché l'estrazione è con reinserimento, gli eventi<br />
sono indipendenti fra loro, e dunque lo spazio campionario rimane invariato ad ogni<br />
estrazione.<br />
p(1a = M ∩ 2a = F) = p(M) × p(F) = (45 / 150) × (105 / 150) = ,21<br />
f. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), per<br />
cui utilizzeremo il principio del prodotto. Poiché l'estrazione è senza reinserimento, gli<br />
eventi non sono indipendenti fra loro, e dunque lo spazio campionario cambia ad ogni<br />
estrazione. In questo caso particolare, però, oltre allo spazio campionario ad ogni estrazione<br />
successiva cambia anche il numero di eventi favorevoli, dato che se si è estratto un maschio<br />
alla prima estrazione, alla seconda estrazione ci sarà un soggetto in meno ma anche un<br />
maschio in meno, per cui:<br />
p(1a = M ∩ 2a = M) = p(1a = M ∩ [2a = M|1a = M]) = (45 / 150) × (44 / 149) = ,09<br />
g. Il modo più semplice è quello di considerare che la condizione "né maschio né laureato" nel<br />
caso in questione identifica come successi le sole femmine diplomate e con licenza media,<br />
che sono 33 + 24 = 57.<br />
Oppure potremmo considerare che:<br />
p(né Maschio né Laureato) = 57 / 150 = ,38<br />
p(Non Maschio) = 1 − p(Maschio) = 1 − ,30 = ,70;<br />
p(Non Laureato) = 1 − p(Laureato) = 1 − ,40 = ,60;<br />
Poiché gli eventi non sono mutuamente escludentisi, calcoliamo anche la probabilità:<br />
p(Non Maschio∩Laureato) = 1 − ,08 = ,92<br />
Per cui:<br />
p(Non Maschio ∪ Non laureato) =<br />
= p(Non Maschio) + p(Non Laureato) − p(Non Maschio∩Laureato) =<br />
= ,70 + ,60 − ,92 = ,38<br />
<strong>Esercizi</strong>o 4<br />
a. Poiché utilizziamo tutti i test a disposizione, la soluzione si ottiene col calcolo della<br />
permutazioni (nPn), ossia n!. In questo caso n = 8, per cui:<br />
8P8 = 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320<br />
b. Come riportato nell'Approfondimento 3.1, il quadrato latino bilanciato viene costruito a<br />
partire dal seguente algoritmo:<br />
1 n 2 n−1 3 n−2 4 n−3 5 n−4 etc.<br />
Le sequenze successive vengono ottenute sommando 1 ad ogni cifra della prima riga. Poiché<br />
in questo caso n = 8 avremo che la prima sequenza è:<br />
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1 8 2 7 3 6 4 5<br />
A partire da questa prima sequenza aggiungiamo altre sette righe, e il numero in ogni cella è<br />
uguale a quello superiore nella stessa colonna più uno. Naturalmente, ogni volta che la cifra<br />
nella cella superiore nella colonna è 8, il conteggio riparte da 1:<br />
1 8 2 7 3 6 4 5<br />
2 1 3 8 4 7 5 6<br />
3 2 4 1 5 8 6 7<br />
4 3 5 2 6 1 7 8<br />
5 4 6 3 7 2 8 1<br />
6 5 7 4 8 3 1 2<br />
7 6 8 5 1 4 2 3<br />
8 7 1 6 2 5 3 4<br />
In questo modo di soddisfa la condizione che ogni test è preceduto e seguito da ognuno degli<br />
altri lo stesso numero di volte<br />
c. Per gruppi distinti si intende il numero di gruppi distinti per la presenza di almeno un<br />
elemento, ossia le combinazioni. Essendo i test 8, avremo che:<br />
d. Per categorie ordinate si intende il numero di gruppi distinti per la presenza di almeno un<br />
elemento e per l'ordine degli elementi, ossia le disposizioni. Essendo i test 8, avremo che:<br />
e. In questo caso dobbiamo tenere conto del fatto che i quattro test per la validità di costrutto<br />
convergente possono essere disposti in 4! modi, e che a loro volta i quattro test per la<br />
validità di costrutto discriminante possono essere disposti in 4! modi. A questo punto basta<br />
moltiplicare i due risultati per ottenere la soluzione al quesito: 4! × 4! = 576.<br />
f. In questo caso possono andare bene i seguenti ordini (NB: C = convergente; D =<br />
discriminante):<br />
C D C D C D C D<br />
D C D C D C D C<br />
g. Ora, i quattro test per la validità convergente possono essere disposti nelle rispettive caselle<br />
in 4! modi, e lo stesso vale per i quattro test per la validità discriminante. Quindi, avremo<br />
che per ognuna delle due sequenze illustrate i modi possibili sono 4! × 4! = 576. Poiché le<br />
sequenze sono due: 576 × 2 = 1152.<br />
<strong>Esercizi</strong>o 5<br />
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a. Per campioni distinti per almeno un elemento si intendono le combinazioni. Poiché siamo<br />
nel caso senza ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente formula:<br />
C k<br />
n<br />
Per cui, dato che n = 30 e k = 10, avremo:<br />
n!<br />
=<br />
k!<br />
( n − k)!<br />
b. Per campioni distinti per almeno un elemento si intendono le combinazioni. Poiché siamo<br />
nel caso con ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente formula:<br />
C k<br />
n<br />
Per cui, dato che n = 30 e k = 10, avremo:<br />
⎛n + k −1⎞<br />
( n + k −1)!<br />
( n + k −1)!<br />
= ⎜ ⎟ =<br />
=<br />
⎝ k ⎠ k!<br />
[( n + k −1)<br />
− k]!<br />
k!<br />
( n −1)!<br />
c. Per campioni distinti per almeno un elemento e per l'ordine degli elementi si intendono le<br />
disposizioni. Poiché siamo nel caso senza ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente<br />
formula:<br />
D k<br />
n<br />
Per cui, dato che n = 30 e k = 20, avremo:<br />
n!<br />
=<br />
( n − k)!<br />
d. Per campioni distinti per almeno un elemento e per l'ordine degli elementi si intendono le<br />
disposizioni. Poiché siamo nel caso con ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente<br />
formula:<br />
k<br />
n D k = n<br />
Per cui, dato che n = 30 e k = 20, avremo:<br />
n D<br />
k<br />
20<br />
= 30<br />
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e. I modi che hanno gli studenti di disporsi tutti attorno ad un tavolo rappresentano le<br />
permutazioni circolari, la cui formula è:<br />
n Pcircolati n<br />
= ( n −1)!<br />
= ( 30 −1)!<br />
=<br />
f. Se vogliamo calcolare in quanti modi gli studenti possono disporsi negli otto posti della<br />
prima fila dell'aula, dobbiamo considerare che occorre fare gruppi di 8 studenti da un<br />
insieme di 30 che siano distinti sia da almeno un elemento che dall'ordine di questi elementi.<br />
Per cui, si tratta di disposizioni:<br />
<strong>Esercizi</strong>o 6<br />
Avendo quattro alternative di risposta, delle quali solo una corretta, la probabilità che ha lo studente<br />
di rispondere correttamente solo per caso è 1/4 = ,25, che costituirà la probabilità del successo.<br />
Conseguentemente, la probabilità dell'insuccesso, ossia della risposta errata, sarà 1 − ,25 = ,75.<br />
a. La probabilità di rispondere correttamente alle prime sei domande corrisponde a rispondere<br />
correttamente alla prima domanda, e alla seconda, e alla terza, e alla quarta, e alla quinta, e<br />
alla sesta domanda, e non rispondere correttamente e alla settima, e all'ottava, e alla nona e<br />
alla decima domanda. Trattandosi di eventi congiunti e indipendenti, dobbiamo utilizzare il<br />
principio del prodotto. Non c'è bisogno di fare riferimento alla distribuzione binomiale<br />
perché vi è una sola sequenza "vincente".<br />
p(risposta corretta alle prime dodici domande) =<br />
= ,25 × ,25 ×,25 × ,25 ×,25 × ,25 ×,75 ×,75 ×,75 ×,75 = (,25) 6 × (,75) 4 = ,000077<br />
b. Determinare la probabilità di rispondere correttamente a sei domande ci obbliga a fare<br />
riferimento alla distribuzione binomiale, dato sono varie le sequenze "vincenti".<br />
Considerando che C = corretta, e E = errata potremmo avere: CCECECECEC,<br />
CCECEEECCC, CCCCECECEE, etc. Il numero di queste sequenze è dato dal coefficiente<br />
binomiale (ossia, le combinazioni). Considerando poi che p = ,25 e q = ,75, avremo che:<br />
dove<br />
p(6 risposte corrette) =<br />
Quindi avremo che<br />
⎛n<br />
⎞ k<br />
n−k<br />
⎛10⎞<br />
6<br />
p(<br />
k)<br />
= ⎜ ⎟ p q = p(<br />
6)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25 , 75<br />
⎝k<br />
⎠<br />
⎝6<br />
⎠<br />
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29!<br />
⎛n<br />
⎞ k n−k<br />
⎛10⎞<br />
p(<br />
k)<br />
= ⎜ ⎟ p q = p(<br />
6)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25<br />
⎝k<br />
⎠<br />
⎝6<br />
⎠<br />
10−6<br />
6 10−6<br />
, 75<br />
= 210×<br />
, 000244×<br />
, 316406 = , 016222
c. Rispondere correttamente ad almeno 6 domande significa che possiamo considerare un<br />
successo o il risultato 6, o il risultato 7, o il risultato 8 o il risultato 9 o il risultato 10, per cui<br />
possiamo utilizzare il principio della somma, dato che si tratta di eventi disgiunti. Abbiamo<br />
già calcolato la probabilità di sei risposte corrette al punto (b), per cui calcoliamo p(7), p(8),<br />
p(9) e p(10), ossia le barre scure nella figura:<br />
Probabilità<br />
,30<br />
,25<br />
,20<br />
,15<br />
,10<br />
,05<br />
,00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Numero risposte corrette<br />
⎛10⎞<br />
6 10−6<br />
p ( 6)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25 , 75 = 210×<br />
, 000244×<br />
, 316406 = , 016222<br />
⎝6<br />
⎠<br />
⎛10⎞<br />
7 10−7<br />
p ( 7)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25 , 75 , dove<br />
⎝7<br />
⎠<br />
per cui p(7) = 120 × ,000061 × ,421875 = ,003090<br />
⎛10⎞<br />
8 10−8<br />
p ( 8)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25 , 75 , dove<br />
⎝8<br />
⎠<br />
per cui p(8) = 45 × ,000015 × ,562500 = ,000386<br />
⎛10⎞<br />
9 10−9<br />
⎛10<br />
⎞<br />
⎛n<br />
⎞<br />
p ( 9)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25 , 75 , dove ⎜ ⎟ = 10 , poiché ⎜ ⎟ = n , per cui p(9) = 10 × ,000004 ×<br />
⎝9<br />
⎠<br />
⎝9<br />
⎠<br />
⎝n<br />
−1⎠<br />
,750000 = ,000029<br />
⎛10⎞<br />
10 10−10<br />
⎛10<br />
⎞<br />
⎛n<br />
⎞<br />
p ( 10)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
25 , 75 , dove ⎜ ⎟ = 1,<br />
poiché ⎜ ⎟ = 1,<br />
per cui p(10) = 1 × ,000001 × 1 =<br />
⎝10⎠<br />
⎝10⎠<br />
⎝n<br />
⎠<br />
,000001<br />
Avremo quindi che:<br />
p(almeno sei risposte corrette) = p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10) = ,016222 + ,003090 +<br />
,000386 + ,000029 + ,000001 = ,019728<br />
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d. Rispondere correttamente a meno di 3 domande significa che possiamo considerare un<br />
successo o il risultato 2, o il risultato 1, o il risultato 0, per cui possiamo nuovamente<br />
utilizzare il principio della somma, dato che si tratta di eventi disgiunti. In questo caso,<br />
poiché p ≠ q la distribuzione non è simmetrica, per cui non possiamo sfruttare le probabilità<br />
già calcolate al punto (c) per l'altra coda della distribuzione.<br />
( 2)<br />
⎛10⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝2<br />
⎠<br />
Probabilità<br />
,30<br />
,25<br />
,20<br />
,15<br />
,10<br />
,05<br />
,00<br />
2 10−2<br />
p = , 25 , 75 , dove<br />
per cui p(2) = 45 × ,062500 × ,100113 = ,281568<br />
⎛10⎞<br />
( 1)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1<br />
⎠<br />
,075085 = ,187712<br />
1 10−1<br />
p = , 25 , 75 , dove 10<br />
⎛10⎞<br />
( 0)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
⎠<br />
,056314<br />
<strong>Esercizi</strong>o 7<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
⎛10<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝1<br />
⎠<br />
⎛10<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝0<br />
⎠<br />
0 10−0<br />
p = , 25 , 75 , dove 1<br />
Avremo quindi che:<br />
Numero risposte corrette<br />
⎛n<br />
⎞<br />
, poiché ⎜ ⎟ = n , per cui p(1) = 10 × ,250000 ×<br />
⎝1<br />
⎠<br />
, poiché 1<br />
0 =<br />
⎛n ⎞<br />
⎜ ⎟ , per cui p(0) = 1 × 1 × ,056314 =<br />
⎝ ⎠<br />
p(meno di tre risposte corrette) = p(2) + p(1) + p(0) = ,281568 + ,187712 + ,056314 =<br />
,525593<br />
a. In primo luogo dobbiamo risalire alla tabella di contingenza Punteggio Sopra/Sotto Cut-off<br />
× Diagnosi in base ai dati a disposizione. Ricordiamo che la sensibilità è la proporzione di<br />
soggetti con punteggi al test al di sopra del cut-off che hanno il disturbo (nella tabella<br />
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a<br />
a + c<br />
), mentre la specificità è la proporzione di soggetti con punteggi al di sotto del cut-off<br />
d<br />
che non hanno il disturbo (nella tabella<br />
b + d<br />
).<br />
Diagnosi effettiva<br />
Cut-off Sì No<br />
Sopra a = ?? b = ??<br />
Sotto c = ?? d = ??<br />
Totale dei malati<br />
a + c = 50<br />
Totale dei non malati<br />
b + d = 350<br />
Totale sopra cut-off<br />
a + b = ??<br />
Totale sotto cut-off<br />
c + d = ??<br />
a<br />
Poiché sappiamo che<br />
a + c<br />
=,84 e che a + c = 50, otteniamo a come a = ,84 × (a + c) = ,84 ×<br />
d<br />
50 = 42. Allo stesso modo ricaviamo d, poiché<br />
b + d<br />
=,80 e b + d = 350, d = ,79 × (b + d) =<br />
,80 × 350 = 280. Per differenza dai totali di colonna ricaviamo c e b, e i totali marginali di<br />
riga:<br />
Diagnosi effettiva<br />
Cut-off Sì No<br />
Sopra a = 42 b = 70<br />
Sotto c = 8 d = 280<br />
Totale dei malati<br />
a + c = 50<br />
Totale dei non malati<br />
b + d = 350<br />
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400<br />
Totale sopra cut-off<br />
a + b = 112<br />
Totale sotto cut-off<br />
c + d = 288<br />
Per calcolare il potere predittivo positivo (PPP) e il potere predittivo negativo (PPN), ossia<br />
la proporzione di soggetti con disturbo sul totale di quelli con punteggio superiore al cut-off<br />
e ossia la proporzione di soggetti senza disturbo sul totale di quelli con punteggio inferiore<br />
al cut-off, rispettivamente, utilizziamo le formule:<br />
400<br />
a 42 d 80<br />
PPP = = = , 38 PPN = = = , 97<br />
a + b 112<br />
c + d 100<br />
b. Per rispondere a questa domanda dobbiamo utilizzare il teorema di Bayes:<br />
p(<br />
Disturbo)<br />
× p(<br />
> cutoff | Disturbo)<br />
p(<br />
Disturbo | > cutoff ) =<br />
p(<br />
Disturbo)<br />
× p(<br />
> cutoff | Disturbo)<br />
+ p(<br />
NonDisturbo)<br />
× p(<br />
> cutoff | NonDisturbo)<br />
Poiché il testo riferisce che la probabilità di osservare un soggetto con disturbo nella<br />
popolazione generale è il 9%, abbiamo p(Disturbo), e p(NonDisturbo) = 91%. Sappiamo poi<br />
che p(>cutoff|Disturbo) = Sensibilità = ,84 e p(>cutoff|NonDisturbo) = 1 − Specificità = 1 −<br />
,80 = ,20, avremo che:<br />
, 09×<br />
, 84<br />
p<br />
( Disturbo | > cutoff ) =<br />
= , 29<br />
, 09×<br />
, 84+<br />
, 91×<br />
, 20
<strong>Esercizi</strong>o 8<br />
a. In questo caso utilizziamo la distribuzione binomiale, e calcoliamo la probabilità di ottenere<br />
almeno 10 successi in 12 prove, il che equivale a dire la probabilità di estrarre 10, 11 e 12<br />
studenti che svolgono attività sportiva.<br />
Probabilità<br />
,30<br />
,25<br />
,20<br />
,15<br />
,10<br />
,05<br />
,00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Numero studenti che svolgono attività sportiva<br />
Sommeremo quindi p(10), p(11) e p(12). In questo caso, poiché p = ,54, avremo che q = 1 −<br />
,54 = ,46.<br />
⎛12⎞<br />
10 12−10<br />
p ( 10)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
54 , 46 , dove<br />
⎝10⎠<br />
per cui p(10) = 66 × ,002108 × ,211600 = ,029444<br />
⎛12⎞<br />
( 11)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝11⎠<br />
× ,460000 = ,006284<br />
⎛12<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝11⎠<br />
11 12−11<br />
p = , 54 , 46 , dove 12<br />
⎛12⎞<br />
( 12)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝12⎠<br />
,000615.<br />
⎛12<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝12⎠<br />
12 12−12<br />
p = , 54 , 46 , dove 1<br />
Avremo quindi che:<br />
⎛n<br />
⎞<br />
, poiché ⎜ ⎟ = n , per cui p(11) = 12 × ,001138<br />
⎝n<br />
−1⎠<br />
⎛n<br />
⎞<br />
, poiché ⎜ ⎟ = 1,<br />
per cui p(12) = 1 × ,000615 × 1 =<br />
⎝n<br />
⎠<br />
p(almeno 10 studenti che svolgono attività sportiva) = p(10) + p(11) + p(12) = ,029444 +<br />
,006284 + ,000615 = ,036343<br />
b. In questo caso utilizziamo sempre la distribuzione binomiale, ma dato l'ampio campione a<br />
disposizione sfruttiamo la possibilità di approssimare la distribuzione binomiale alla<br />
distribuzione normale standardizzata. Per fare questo dobbiamo calcolare media e<br />
deviazione standard della distribuzione binomiale, che sono:<br />
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μ = n × p = 1200 × ,54 = 648 e σ = n×<br />
p × q = 1200 × , 54×<br />
, 46 = 17,<br />
26<br />
A questo punto basta convertire in punti z il valore 680 ricordando di sottrarre 0,5 per la<br />
correzione di continuità (vedi Approfondimento 3.3):<br />
X − μ 675,<br />
5 − 648<br />
z = =<br />
= 1,<br />
59<br />
σ 17,<br />
26<br />
La risposta al quesito la troviamo sulle tavole di z determinando l'area al di là di z (vedi<br />
Figura 3.34 nel testo) per z = 1,59, che è ,0559.<br />
c. I successi relativamente a questa domanda sono rappresentati da 4, 5 e 6 studenti su 8, per<br />
cui dovremo sommare le probabilità p(4), p(5) e p(6).<br />
⎛8<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝4<br />
⎠<br />
Probabilità<br />
,30<br />
,25<br />
,20<br />
,15<br />
,10<br />
,05<br />
,00<br />
4 8−4<br />
p ( 4)<br />
= , 54 , 46 , dove<br />
per cui p(4) = 70 × ,085031 × ,044757 = ,266504<br />
( 5)<br />
⎛8⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝5⎠<br />
5 8−5<br />
p = , 54 , 46 , dove<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Numero studenti che svolgono attività sportiva<br />
, per cui p(5) = 56 × ,045917 × ,097336 = ,250282<br />
⎛8<br />
⎞ 6 8−6<br />
p ( 6)<br />
= ⎜ ⎟,<br />
54 , 46 , dove<br />
⎝6⎠<br />
per cui p(6) = 28 × ,024795 × ,146905 = ,146905<br />
Avremo quindi che:<br />
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p(fra i 4 e i 6 studenti che svolgono attività sportiva) = p(4) + p(5) + p(6) = ,266504 +<br />
,250282 + ,146905 = ,663692<br />
d. Anche in questo caso utilizziamo l'approssimazione della distribuzione binomiale alla<br />
distribuzione normale standardizzata. Per fare questo dobbiamo calcolare media e<br />
deviazione standard della distribuzione binomiale per 800 studenti, che sono:<br />
μ = n × p = 800 × ,54 = 432 e σ = n×<br />
p × q = 800 × , 54×<br />
, 46 = 14,<br />
10<br />
A questo punto basta convertire in punti z i valori 400 e 450 ricordando di sottrarre 0,5 al<br />
valore inferiore a aggiungere 0,5 a quello superiore:<br />
X − μ 399,<br />
5 − 432<br />
X − μ 450,<br />
5 − 432<br />
z 1 = =<br />
= −2,<br />
30 z 2 = =<br />
= 1,<br />
31<br />
σ 14,<br />
10<br />
σ 14,<br />
10<br />
Poiché un valore è negativo e uno è positivo, siamo nella situazione di Figura 3.37, per cui<br />
dovremo sommare le aree comprese fra z e la media per i due valori:<br />
p(400 < S < 450) → p(−2,30 < z < 1,31) = p(−2,30 < z < 0) + p(0 < z < 1,31) = ,4893 +<br />
,4049 = ,8942<br />
e. In questo caso siamo in una situazione diversa dai precedenti, perché prima si "lavorava" sul<br />
numero di eventi, adesso sulla proporzione. Questo implica che per poter sfruttare<br />
l'approssimazione alla distribuzione normale standardizzata z dobbiamo calcolare l'errore<br />
standard della proporzione, in base alla formula:<br />
σ P =<br />
n×<br />
π × ( 1−<br />
π )<br />
=<br />
n<br />
π × ( 1−<br />
π )<br />
n<br />
dove π = ,54. Per cui nel nostro caso avremo che:<br />
σ P =<br />
n×<br />
π × ( 1−<br />
π )<br />
=<br />
n<br />
π × ( 1−<br />
π )<br />
=<br />
n<br />
, 54×<br />
( 1−,<br />
54)<br />
= , 05<br />
100<br />
Ora, per trasformare la proporzione ,60 in probabilità dobbiamo utilizzare la formula:<br />
z =<br />
P − π<br />
π ( 1−<br />
π )<br />
n<br />
, 60−,<br />
54<br />
= = 1,<br />
2<br />
, 05<br />
La risposta al quesito è data dall'area al di là di z = 1,20, che è ,1151.<br />
f. La situazione è analoga alla precedente, salvo la necessità di trasformare in punti z due<br />
proporzioni. Poiché l'ampiezza campionaria è diversa dal punto (e), dobbiamo ricalcolare<br />
l'errore standard della proporzione:<br />
σ P =<br />
n×<br />
π × ( 1−<br />
π )<br />
=<br />
n<br />
π × ( 1−<br />
π )<br />
=<br />
n<br />
, 54×<br />
( 1−,<br />
54)<br />
= , 035<br />
200<br />
Ora, per trasformare le proporzioni in probabilità dobbiamo utilizzare la formula:<br />
, 58−,<br />
54<br />
, 62−,<br />
54<br />
z 1 = = 1,<br />
14 z<br />
2 = = 2,<br />
29<br />
, 035<br />
, 035<br />
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La situazione è analoga a quella della Figura 3.38 in quanto entrambi i valori di z sono<br />
positivi:<br />
p(,58 < P < ,62) → p(1,14 < z < 2,29) = p(0 < z < 2,29) − p(0< z < 1,14) = ,4890 − ,3729 =<br />
,1161<br />
g. La formula per calcolare l'intervallo di fiducia di una proporzione campionaria è la seguente:<br />
π − z ×<br />
π ( 1−<br />
π )<br />
π ( 1−<br />
π )<br />
< P < π + z ×<br />
n<br />
n<br />
Sappiamo che per un intervallo di fiducia al 95% il valore di z da utilizzare è 1,96 (valore di<br />
z che lascia al di là di sé (1−,95)/2 = ,025), mentre per un intervallo di fiducia al 99% il valor<br />
di z è 2,58 (valore di z che lascia al di là di sé (1−,99)/2 = ,005) (vedi Figura 3.49). A questo<br />
punto basta sostituire i dati nella formula:<br />
Campione di 20 soggetti<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54 −1, 96 ×<br />
< P < , 54 + 1,<br />
96 × = IF95% = , 32 < P < , 76<br />
20<br />
20<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54 − 2,<br />
58 ×<br />
< P < , 54 + 2,<br />
58×<br />
= IF99% = , 25 < P < , 83<br />
20<br />
20<br />
Campione di 200 soggetti<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54 − 2,<br />
58×<br />
< P < , 54 + 2,<br />
58×<br />
= IF99% = , 45 < P < , 63<br />
200<br />
200<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54 −1, 96 ×<br />
< P < , 54 + 1,<br />
96 × = IF95% = , 47 < P < , 61<br />
200<br />
200<br />
h. La formula per calcolare l'intervallo di fiducia della proporzione della popolazione a partire<br />
da quella campionaria è la seguente:<br />
<strong>Esercizi</strong>o 9<br />
P(<br />
1−<br />
P)<br />
P − z × < π < P + z ×<br />
n −1<br />
P(<br />
1−<br />
P)<br />
n −1<br />
Per trovare l'intervallo di fiducia al 98% abbiamo bisogno di trovare quel valore di z di là del<br />
quale l'area di probabilità vale ,01, dato che (1 − ,98) / 2= ,01. Tale valore è z = ± 2,33. Dato<br />
che P = ,54 e n = 150, avremo che:<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
, 54 − 2,<br />
33×<br />
< π < , 54 + 2,<br />
33×<br />
150 −1<br />
, 44 < π < , 64<br />
, 54(<br />
1−,<br />
54)<br />
150 −1<br />
a. Poiché la variabile è misurata su scala ad intervalli equivalenti e la distribuzione dei<br />
punteggi è normale, possiamo fare riferimento alla distribuzione normale standardizzata z.<br />
Per cui, il primo passo è trasformare in punti z i punteggi 38 e 42:<br />
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39 − 50<br />
42 − 50<br />
z 1 = = −1,<br />
1 z 2 = = −0,<br />
8<br />
10<br />
10<br />
La situazione è la stessa della Figura 3.39, in cui entrambi i valori di z sono negativi. La<br />
soluzione, quindi è rappresentata da:<br />
p(39 < SE < 42) → p(−1,1 < z < −0,8) = p(0 < z < 1,1) − p(0 < z < 0,8) = ,3643 − ,2881 =<br />
,0762<br />
33 − 50<br />
b. Trasformiamo 33 in punti z: z = = −1,<br />
7<br />
10<br />
Dobbiamo trovare l'area di probabilità al di là di z = 1,7, come nel caso della Figura 3.35.<br />
L'area che cerchiamo è ,0446.<br />
77 − 50<br />
c. Trasformiamo 77 in punti z: z = = 2,<br />
7<br />
10<br />
Dobbiamo trovare l'area di probabilità al di là di z = 2,7, come nel caso della Figura 3.34.<br />
L'area che cerchiamo è ,0035.<br />
47 − 50<br />
55 − 50<br />
d. Trasformiamo 47 e 55 in punti z: z 1 = = −0,<br />
3 , z 2 = = 0,<br />
5<br />
10<br />
10<br />
Come nel caso della Figura 3.37, dobbiamo sommare le aree comprese fra z e la media per i<br />
due valori:<br />
p(47 < SE < 55) → p(−0,3 < z < 0,5) = p(−0,3 < z < 0) + p(0 < z < 0,5) = ,1179 + ,1915 =<br />
,3094<br />
e. In questo caso non dobbiamo farci ingannare dal fatto che ci venga indicato che sono stati<br />
estratti 50 soggetti: vogliamo innanzitutto sapere la probabilità che un soggetto abbia un<br />
punteggio medio compreso fra 51 e 53. Quindi, basta calcolare questa probabilità e<br />
moltiplicarla poi per 50 per rispondere al quesito.<br />
Trasformiamo 51 e 53 in punti z:<br />
51−<br />
50<br />
53−<br />
50<br />
z 1 = = 0,<br />
1 , z 2 = = 0,<br />
3<br />
10<br />
10<br />
La situazione è analoga a quella della Figura 3.38 in quanto entrambi i valori di z sono<br />
positivi:<br />
p(51 < SE < 53) → p(0,1 < z < 0,3) = p(0 < z < 0,3) − p(0< z < 0,1) = ,1179 − ,0398 = ,0781<br />
A questo punto per rispondere alla domanda basta moltiplicare 50 × ,0781 = 3,91 ≈ 4. Circa<br />
4 soggetti su 50 avranno un punteggio di SE compreso fra 51 e 53.<br />
f. In questa situazione, invece, abbiamo effettivamente a che fare con una media campionaria,<br />
per cui facciamo riferimento alla distribuzione delle medie campionarie. Questo significa<br />
che per trasformare a punti z una media dovremo utilizzare la formula:<br />
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M − μM M − μM<br />
z = =<br />
σ σ<br />
M<br />
n<br />
dove μM e σM sono rispettivamente la media e la deviazione standard della distribuzione<br />
delle medie campionarie. Nel primo caso il valore è uguale a quello della popolazione<br />
(quindi μM = μ = 50), nel secondo caso di tratta dell'errore standard, che è uguale ala<br />
deviazione standard della popolazione diviso la radice quadrata dell'ampiezza campionaria.<br />
Poiché M1 = 51 e M2 = 53:<br />
51−<br />
50<br />
53 − 50<br />
z 1 = = 0,<br />
71 , z 2 = = 2,<br />
12<br />
10<br />
10<br />
50<br />
50<br />
p(51 < M < 53) → p(0,71 < z < 2,12) = p(0 < z < 2,12) − p(0< z < 0,71) = ,4830 − ,2611 =<br />
,2219<br />
g. In questo caso sapere che vengono estratti 500 campioni non ci interessa inizialmente. La<br />
situazione è simile a quella del punto (e). Innanzitutto dobbiamo calcolare la probabilità di<br />
estrarre un campione di 30 soggetti con media compresa fra 49 e 52:<br />
51−<br />
50<br />
53 − 50<br />
z 1 = = 0,<br />
55 , z 2 = = 1,<br />
64<br />
10<br />
10<br />
30<br />
p(51 < M < 53) → p(0,55 < z < 1,64) = p(0 < z < 1,64) − p(0< z < 0,55) = ,4495 − ,2088 =<br />
,2407<br />
Poiché la probabilità di estrarre un campione di 30 elementi con media compresa fra 51 e 53<br />
è ,2407, su 500 campioni possiamo aspettarcene con la stessa caratteristica 500 × ,2407 =<br />
120,35 ≈ 120.<br />
h. Il rango percentile di un punteggio è la percentuale di valori al di sotto di esso in una<br />
distribuzione di punteggi. Per calcolare quanti punteggi sono inferiori a 75, trasformiamo<br />
questo valore in punti z e calcoliamo l'area sottostante la distribuzione normale<br />
standardizzata da meno infinito a quel valore di z:<br />
75 − 50<br />
z = = 2,<br />
55<br />
10<br />
In questo caso dobbiamo trovare l'area compresa fra 0 e z = 2,55 e aggiungervi l'area<br />
compresa fra 0 e meno infinito (vedi Figura 3.34). Nel secondo caso conosciamo già la<br />
risposta, perché è la metà dell'area sottostante la distribuzione normale, ossia ,5000. Nel<br />
primo caso basta trovare sulle tavole di z l'area compresa fra 0 e 2,55, che è ,4946, per cui<br />
avremo che la proporzione di punteggi inferiori a 75 è ,4946 + ,5000 = ,9946.<br />
Il valore ,9946 rappresenta la proporzione di punteggi inferiori a 75. Il rango<br />
percentile viene calcolato moltiplicando questa proporzione per 100: ,9946 × 100 = 99,46,<br />
che è la risposta al quesito.<br />
Nel caso del punteggio 23, invece, ci basta calcolare l'area al di là di z perché 23 è sotto alla<br />
media (vedi per esempio la Figura 3.35)<br />
23 − 50<br />
z<br />
= = −2,<br />
7<br />
10<br />
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50
L'area al di là di z = 2,7 è ,0035, che moltiplicato per 100 è uguale a ,0035 × 100 = 0,35, che<br />
la soluzione al quesito.<br />
i. Il punteggio che rappresenta il primo quartile (Q1) della distribuzione di valori è quello che<br />
lascia dietro di sé il 25% di tutti gli altri. Dobbiamo quindi trovare quale valore di z ha<br />
un'area al di là di esso uguale a ,2500, e dal punto z risalire al punteggio di SE. Dalle tavole<br />
di z vediamo che è il valore z = 0,67 ad avere un'area di (circa) ,2500 fra sé e più infinito. In<br />
questo caso, però, siamo nella parte della distribuzione normale standardizzata in cui i valori<br />
sono negativi, in quanto p < ,5000, e quindi z < 0. Il valore va quindi preso col segno meno<br />
(situazione simile all'esempio in Figura 3.35). Se quindi:<br />
− μ<br />
=<br />
σ<br />
X<br />
z , avremo che X = z × σ + μ , per cui X = −0<br />
, 67 × 10 + 50 = 43,<br />
3<br />
Il punteggio 43,3 è quindi il primo quartile della distribuzione dei punteggi di SE.<br />
Un ragionamento analogo ci permette di ottenere il punteggio che rappresenta il 90°<br />
percentile. Il 90° percentile è quel punteggio che lascia dietro di sé il 90% degli altri<br />
punteggi. Questo significa che dobbiamo trovare il punto z che possiede la caratteristica di<br />
avere prima di sé un'area uguale a ,9000. Poiché ,9000 > ,5000, sarà un valore di z positivo,<br />
e ci basterà trovare quel valore per cui l'area compresa fra 0 e il valore è ,4000, dato che<br />
l'area compresa fra 0 e meno infinito è ,5000 (Figura 3.34). Il valore di z con queste<br />
caratteristiche è 1,28, per cui:<br />
X = z × σ + μ → X = 1 , 28×<br />
10 + 50 = 62,<br />
8<br />
Il punteggio di SE 6,28 rappresenta dunque il 90° percentile.<br />
j. In questo caso dobbiamo utilizzare la formula:<br />
σ<br />
σ<br />
μ M − z × < M < μM<br />
+ z ×<br />
n<br />
n<br />
I valori di z da inserire nella formula sono quelli che lasciano al di là di sé (1 − ,96) / 2 = ,02<br />
e (1 − ,98) /2 = ,01, ossia 2,05 e 2,33, per cui:<br />
10<br />
10<br />
IF al 96% : 50 − 2,<br />
05×<br />
< M < 50 + 2,<br />
05×<br />
→ 44 , 71<<br />
M < 55,<br />
29<br />
15<br />
15<br />
10<br />
10<br />
IF al 98% : 50 − 2,<br />
33×<br />
< M < 50 + 2,<br />
33×<br />
→ 43 , 98 < M < 56,<br />
02<br />
15<br />
15<br />
Se la popolazione fosse stata finita con N = 300 avremmo dovuto applicare la correzione<br />
popolazioni finite, per cui:<br />
σ N − n<br />
σ N − n<br />
μ M − z ×<br />
< M < μ M + z ×<br />
n N −1<br />
n N −1<br />
10<br />
IF al 96% : 50 − 2,<br />
05×<br />
15<br />
44 , 83 < M<br />
< 55,<br />
17<br />
300 −15<br />
10<br />
< M < 50 + 2,<br />
05×<br />
300 −1<br />
15<br />
300 −15<br />
→<br />
300 −1<br />
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
10<br />
IF al 98% : 50 − 2,<br />
33×<br />
15<br />
44 , 13 < M < 55,<br />
87<br />
300 −15<br />
10<br />
< M < 50 + 2,<br />
33×<br />
300 −1<br />
15<br />
300 −15<br />
→<br />
300 −1<br />
k. Poiché n > 30, la formula per il calcolo dell'intervallo di fiducia della media della<br />
popolazione a partire da quella campionaria è:<br />
s<br />
s<br />
M − z × < μ M < M + z ×<br />
n −1<br />
n −1<br />
L'intervallo di fiducia è al 94%, per cui il valore di z di cui abbiamo bisogno è quello che<br />
lascia al di là di sé un'area di probabilità uguale a (1 − ,94) / 2 = ,03, ossia z = ±1,88.<br />
L'intervallo di fiducia per la media della popolazione è dunque:<br />
10<br />
10<br />
50 −1, 88×<br />
< μ M < 50 + 1,<br />
88×<br />
→ 51 , 45 < μ M < 48,<br />
55<br />
200 −1<br />
200 −1<br />
Si noti che in realtà abbiamo trovato l'intervallo di fiducia della media della distribuzione<br />
campionaria delle medie per campioni di ampiezza 200 (μM), ma poiché sappiamo che<br />
questo coincide con la media della popolazione, possiamo sostituire μ nella soluzione:<br />
51 , 45 < μ<br />
< 48,<br />
55<br />
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia