2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
con costante ko. E’ immediato verificare che la trasmissione del momento si sdoppia sui due rami
con il vincolo di avere uguali angoli: Mr = (ko + ko) θr = kr θr, cioè per elementi in parallelo sono da
sommare le costanti elastiche. La valutazione, poi, della k mc
∗ è effettuata con la [3.27b].
Il criterio energetico implica una relazione fra quantità scalari; non è, cioè, subito applicabile se
si vogliono trovare più accumuli. La generalizzazione della procedura è impostata con l’approccio
lagrangiano, una volta prescelto il numero di gradi di libertà introdotto. Alternativamente si può
ricorrere ad una procedura per approssimazioni successive. Infatti, i modi di vibrare sono distinti
dal numero di nodi, partendo da una deformata con un nodo (ed i volani ripartiti in due gruppi, in
opposizione di fase), fino al modo di ordine n, con nodi interposti fra ogni volani (ciascuno, cioè, in
opposizione di fase rispetto al precedente); la procedura iterativa prevede di scegliere deformate
che soddisfino le condizioni sul numero di nodi e scrivere i bilanci d’energia potenziale e cinetica
per possibili configurazioni, tenuto conto che devono essere nel contempo verificate le condizioni
di equilibrio dei momenti [2.18]; in difetto, si provvederà a ritoccare i valori dei parametri, finché
saranno simultaneamente verificati bilanci energetici e condizioni d’equilibrio. La procedura è più
oltre ripresa, con esempi per la costruzione di modelli per lo studio delle vibrazioni flessionali.
III.2.4. Criteri di progetto e procedure di validazione.
I problemi connessi allo studio delle vibrazioni torsionali di un sistema sono essenzialmente i
seguenti: (1) formulazione del modello ridotto del sistema; (2) risoluzione analitica o numerica, con
individuazione degli autovalori (e degli autovettori); (3) verifica dell’equivalenza tecnica del modello
per le condizioni operative del sistema. Nella scelta del modello, ruolo importante hanno: l’ordine
ed i valori dei parametri (inerzie, elasticità e, eventualmente, dissipazioni). La linearità dei modelli
è importante perché consente la sovrapposizione degli effetti (cioè, la descrizione della dinamica
con funzioni di trasferta, dipendenti dai parametri del modello, non dalle forzanti). Il ricorso a
strumenti di calcolo automatico permette di trattare modelli non lineari, o meglio, di introdurre
modelli a linearità locale, da aggiornare a seconda delle condizioni di funzionamento; in questo
caso, autovalori (ed autovettori) sono anch’essi proprietà locali.
La ricerca delle frequenze proprie torsionali è necessaria: - se il momento motore è variabile nel
tempo.(motrici periodiche, a funzionamento intermittente con picchi di accelerazione, ecc.); - se è
variabile nel tempo il carico (utente periodico, presenza di urti, funzionamento discontinuo con
bruschi assorbimenti di potenza, ecc.). In entrambi i casi il flusso della potenza è aperto ed occorre
solo accertare il comportamento della macchina nell’intorno delle pulsazioni critiche che cadono
entro la banda del funzionamento previsto. La procedura di verifica prevede:
• l’analisi in serie di Fourier della forzante (coppie motrici e coppie resistenti) previste;
• la costruzione del modello equivalente ed il calcolo degli autovalori (ed autovettori);
• la verifica di idoneità della macchina (posta la congruenza dei modelli utilizzati).
Esiste un terzo caso per il quale è necessaria la conoscenza delle proprietà dinamiche: quello dei
servosistemi ad elevate prestazioni; per essi, le bande di frequenza eccitanti possono interessarne
le frequenze proprie, e le prestazioni effettive sono progettate in base a modifiche apportate agli
anelli di retroazione (con interventi più agevoli che non se si dovesse agire sulle catene dirette). Il
dimensionamento è, in questo caso, detto attivo, poiché implica la scelta di componenti (e guadagni)
in modo da compensare effetti non voluti.
Nei sistemi con flusso di potenza senza retroazioni, una volta trovate le frequenze di risonanza
del sistema, occorre solo essere sicuri che esse non abbiano ad essere attivate dalle armoniche dei
momenti (motore o resistente) applicati. La verifica comporta confrontare la trasformata di Fourier
della forzante con la risposta in frequenza della trasmissione (o meglio, del modello equivalente,
che, per la linearità, ha integrale generale dato da una combinazione lineare di esponenziali): si
potrà accertare che le armoniche di eccitazione agenti siano differenti dalle frequenze di risonanza.
Se la verifica mostra dati incerti (per esempio, prossimità fra componenti armoniche di ingresso e
basse risonanze; le risonanze di ordine superiore appaiono in zone di risposta in frequenza molto
attenuate) occorre migliorare la scelta del modello, per avere un più affidabile posizionamento delle
zone critiche.
L’idoneità dei modelli, ai fini della particolare verifica costruttiva effettuata, è sempre compito
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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