2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
illustrato. L’oscillazione è, cioè, indotta dall’atto di moto: si definisce velocità critica di un albero il
numero di giri cui corrisponde una frequenza flessionale propria del sistema: la velocità critica è
pertanto indipendente dal momento trasmesso. Gli alberi, di dimensioni trasversali spesso piccole
rispetto alla lunghezza, hanno per lo più deformazioni flessionali più grandi di quelle torsionali: le
velocità critiche, quindi, si manifestano a frequenze relativamente basse: non sono infrequenti casi
di alberi che lavorano al di sopra della prima velocità critica (sono detti alberi flessibili). Però,
differentemente che per le frequenze di risonanza torsionali, non è necessario conoscere tutto lo
spettro delle frequenze proprie flessionali per due motivi: a) poiché le vibrazioni sono smorzate e
quindi le alte frequenze non sono pericolose (gli attriti viscosi sono proporzionali alla velocità); b)
poiché la frequenza fondamentale (la più bassa) è la più pericolosa (poco attenuata) e può essere
eccitata dal moto.
FIG. III.9. Disco rotante simmetrico con supporti privi d’attrito.
L’analisi del comportamento flessionale degli alberi può muovere dal caso di rotore simmetrico
assimilato ad unico disco, FIG. 9, con sospensioni simmetriche prive d’attrito. Queste ipotesi fanno
sì che, a velocità di rotazione costante, la deformata dell’albero rimane piana. Scelto un referenziale
fisso O(xyz), le oscillazioni del baricentro sono descritte dalle:
2
2
m ( && xe - ω cosωt)
+ k x = 0 , m( && xe - ω sinωt)
+ k y = 0 , con: kx = ky = k [3.28]
ove: m, massa del disco; k, elasticità flessionale; e, eccentricità di calettamento della massa.
E’ esplicita la forzante (armonica) data dall’atto di moto. L’integrale particolare è una oscillazione,
sincrona rispetto alla rotazione (il baricentro del disco rimane in un piano rotante con velocità ω),
che tende ad ampiezze illimitate se: ω = ωo = k m .
Il risultato vale in assenza di smorzamenti. In presenza di piccoli smorzamenti viscosi:
2
m ( && xe - ω cosωt)
+ h x& + k x = 0
Seguono gli integrali completi:
2
, m( && ye - ω sinωt
) + h y& + k y = 0 [3.29]
- t
x(t) = A e cos( 1
2
1- t+ ) + 1
e cos(
t
2 2 2
( o- ) +4 o
ζω
ζ ω ϕ
2 ω
2
ω − φ ) , con: k
2 2
ω =
2 2 2
o
ω ω ζ ωω
m , e: ζ = h
4km
[3.30a]
- t
y(t) = A e cos( 2
2
1- t+ ) + 2
e
2 2 2
( o- ) +4 o
sin(
t
ζω
ζ ω ϕ
2 ω
2 2 2
ω ω ζ ωω
ω − φ ) ,
2ζωω
o
ove: tanφ
= 2 2 ωo-ω [3.30b]
In realtà la presenza del termine viscoso introduce una componente di forza che è in quadratura
rispetto al termine inerziale e a quello elastico; dall’equilibrio, si constata che l’atto di moto non
può rimanere piano, quindi i risultati [3.30] sono solo approssimativamente corretti (tanto più veri
quanto più piccolo è il termine dissipativo).
III.3.1. Vibrazioni flessionali sincrone: alberi con una o più masse.
Le considerazioni introduttive introducono a modelli caratterizzabili da vibrazioni sincrone; il
sincronismo può presentarsi in relazione alla velocità di rotazione dell’albero o ad un suo multiplo.
Sfruttando questa proprietà, l’atto di moto è riconoscibile restare piano (le forze d’inerzia e quelle
di richiamo elastico sono in opposizione di fase) ed è facilmente ottenibile rispetto ad un sistema di
coordinate rotante O(ξηz), l’ultimo asse rimanendo inalterato, poiché il disco (per la simmetria del
tutto ruota senza mutare assetto). L’equazione di equilibrio del disco impone l'eguaglianza della
forza di campo (centrifuga) con la forza elastica di richiamo dell’albero. Se k è la costante elastica
flessionale, si ha subito:
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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