2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
La derivazione deve seguire la consueta regola per tenere conto della velocità di trascinamento ω:
d = & + ω×
, tenuto conto della tempovarianza di T .
dt
M
Il calcolo dei momenti di inerzia, anche se semplice, conduce ad equazioni non lineari nelle
inclinazioni φx e φy, e con coefficienti periodici. La linearizzazione si può fare, posto di restare entro
piccole oscillazioni per cui sono trascurati i prodotti di angoli e velocità angolari fra loro, e con
l’approssimazione:
& φ = ω , & φ = ω , && φ = ω&
, y , che sarebbe stato scorretto introdurre prima. [3.42]
= && φ ω&
x x
y y
x x
y
Il risultato finale è:
- ⎡Mx⎤ = ⎡ Jx ⎢⎣My⎥⎦ ⎢⎣-Jyx -Jxy⎤⎡&&
φx⎤ 2Jxy
+
⎡
Jy φ
ω
⎥⎣⎢&& ⎦ y⎥⎦ ⎢⎣-J ζ+(Jx-J y )
J ζ+(Jx-J y)
⎤⎡ & φ 2 J sin t+Jζηcos
t
x⎤
ζξ ω ω
+
⎡
⎤
-2Jxy φ
ω
⎥⎢ &
⎦⎣ y⎥⎦
⎢⎣-Jζξcosωt+Jζηsinωt⎥⎦
[3.43]
⎡Jξ+ Jη Jξ−Jη + + J 2 t
⎡J⎤ 2 2 ξηsin
ω ⎤
x ⎢Jξ+
Jη Jξ−J ⎥
η
ove: ⎢Jy⎥ = − −Jsin2 t
2 2 ξη ω
⎢
⎥
, evidenzia la periodicità dei coefficienti.
⎢⎣Jxy ⎥⎦
Jξ−Jη ⎢ − + J cos2
t
2 ξη ω
⎣
⎥
⎦
Utilizzando i risultati [2.40] e [2.43] nella [2.38], si ha il modello lineare a coefficienti variabili:
T + αB] [Fg - A u&& - ωB u& - ω2c],
[3.44]
u = [ T α
T
o A o
⎡m0 0 0 ⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤ ⎡−meξ cosω t+ meη
sinωt⎤
0 m 0 0
ove: A = ⎢ ⎥ , B = ⎢0 0 0 0 ⎥ , c = ⎢ −meξ sinωt−meη cosωt⎥
0 0 Jx -J ⎢ xy
0 0 -2 Jxy J x y
⎥
ζ + J -J
J ⎢ ⎥
ξζ sinω+ t Jηζcosωt
⎢ ⎥
⎣ 0 0 -Jxy Jy
⎦ ⎢0 0 - Jζ+ Jx-Jy -2
⎣ Jxy
⎥
− t t
⎦ ⎣ Jξζ cosω + Jηζsinω
⎦
La prima matrice rappresenta gli effetti inerziali indotti dalle accelerazioni relative; la seconda
dà i contributi dovuti alla accelerazione complementare, mostrando come questi abbiano direzione
ortogonale rispetto ai contributi inerziali diretti ed elastici; il vettore ultimo evidenzia i contributi
dell’accelerazione di trascinamento, presenti se non vi è equilibratura statica (baricentro del disco
non coincidente con il centro di rotazione) e dinamica (rotazione attorno ad asse non principale
d’inerzia). Nella [3.44], oltre ai tre termini di eccitazione rotante, è presente la forzante statica Fg, se
il rotore ha asse orizzontale. Se è eseguita l’equilibratura statica: e = 0; se eseguita quella dinamica:
Jξη= Jηζ= Jζξ= 0, Jζ= JO; se il disco è simmetrico: Jξ= Jη= JD, quindi anche: Jx= Jy= JD, Jxy= 0. Non è nota la
soluzione generale della [3.44]; sono, di seguito, considerati alcuni casi particolari.
a) Effetti giroscopici con un rotore simmetrico con albero rigido. La cedevolezza è concentrata in parte
fissa (cuscinetti) e, per simmetria, lo sbilanciamenti è nullo; quindi:
⎡ux⎤ α x x
1 0 0 α ⎧ 12 0 0 0 0 ⎡u& ⎤ m 0 0 0 ⎡u
&
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎫
⎢uy y
⎥ 0 α1 -α12 0 ⎪ 0 0 0 0
0 0 0
=
⎢u& m uy
⎢ ⎥ −ω⎢ ⎥ ⎥
− ⎢ ⎢&& ⎪
⎢φx⎥ 0 -α12 α20 ⎨
⎥ ⎥
0 0 0 JO⎢& φx
0 0 JD0
φ ⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢&& [3.45a]
x
⎣φy⎦ α12 0 0 α ⎪ ⎥ ⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣0 0 -JO 0⎦⎢&
φ 0 0 0 J ⎪
y⎥ ⎣
D
⎣ ⎦ ⎦⎢&
⎣φ&
⎩ y⎥⎦⎭
Sfruttando la simmetria, il modello del quart’ordine è riconducibile ad uno del second’ordine nelle
variabili complesse: u = ux + juy, e: φ = φy - jφx , per cui si trova:
⎡u⎤ ⎣φ⎦ = ⎡α1 α12⎤⎧
0 0 u m 0 u
−ω j ⎡ ⎤⎡&⎤−⎡ ⎤⎡&&⎤
⎫
jωkt jωkt ⎣α12 α ⎨
2 ⎦ ⎣0 JO⎦⎢φ⎥ ⎣0 JD⎦⎢&&
φ ⎥⎬
, con soluzioni: u = a e , φ = b e [3.45b]
⎩ ⎣ &
k
k
⎦ ⎣ ⎦ && ⎭
che denota che i modi naturali del rotore simmetrico hanno polarizzazione circolare, cioè, sono
configurazioni che ruotano con velocità ω. Gli autovalori si ricavano in forma implicita:
2 ∗
2 α 1m+α2J∗± ( α1m−α2J∗ ) + 4α12m
J
ω = o
2 ∗ , avendo posto: J* = J − ω J
2(
αα - α ) mJ
D ω
[3.46]
o O
1 2 12
Si ricava ωo in funzione della velocità di rotazione ω, scegliendo valori del rapporto ω/ωo (e di J*),
quindi diagrammando le quattro radici ωk che ne seguono. Per ω = 0, si hanno quattro radici (due
dirette e due retrograde) e due per ω ⇒ ∞ , cioè:
2
ω1
⎫
2 ⎬
ω2
⎭ =
2
α 1m+α2JD± ( α1m−α2JD) + 4α12m
JD
2 α2
2
, ω =
2(
αα 1 2- α12)
mJ
∞ 2
[3.47]
D
( αα 1 2- α12)m
Per valori intermedi di ω, le radici di [3.46] hanno gli andamenti di FIG. 13a. Le pulsazioni del moto
retrogrado (rispetto alla direzione di ω) tendono a zero e, rispettivamente, a: - ω∞ ; quelle del moto
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
16