2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
III.3.3. Procedure approssimate per verifiche di massima.
La trattazione elementare delle velocità critiche degli alberi è basata sull’ipotesi dell’oscillazione
sincrona in un piano rotante con velocità ω (nel caso di disco singolo). Tenendo conto del moto
perturbato, in cui sono presenti le accelerazioni complementari (con coppie di precessione) e quelle
relative (con forze di inerzia per accelerazioni tangenziali), oltre alle accelerazioni di trasporto (con
forze centrifughe), il rotore appare animato, oltre che dalla rotazione rigida, da una oscillazione
ellittica sovrapposta (in particolare, circolare e lineare) di pulsazione λ. La trattazione di A. Foppl
considera un modello che aggiunge una massa meq oscillante secondo la legge della perturbazione
evidenziata: la presenza, in genere, di smorzamento, elimina l’effetto aggiunto, almeno per ogni
velocità lontana da quella critica; ciò autorizza la trattazione elementare con modelli piani per
molte verifiche di massima.
In sintesi, le vibrazioni delle trasmissioni sono riconducibili a due fatti: # la presenza di carichi
(forze motrici o resistenti) periodiche, che possono dare luogo a risonanze; # la presenza di regimi
di moto periodici, che possono dar luogo ad oscillazioni auto-eccitate. La periodicità degli ingressi,
in effetti, genera sempre moti parassiti, che coinvolgono frazioni, più o meno piccole, delle potenze
che transitano nelle trasmissioni: questo è fenomeno inevitabile, poiché le masse accolgono entità
variabili di energia cinetica e di energia potenziale, i continui deformabili. Le procedure di verifica
hanno l’obiettivo di accertare, appunto, che dette frazioni siano piccole (percentuali trascurabili, in
relazione alle potenze nominali in gioco); ciò significa che l’accertamento di frazioni non piccole
richiede al progettista di modificare la tipologia dei carichi forzanti, dei regimi operativi o dello
geometrie degli organi meccanici. La terza tipologia di modifiche è onerosa, quando la macchina è
costruita; le altre due fissano restrizioni di funzioni o di prestazioni, con conseguenti effetti sulle
attitudini operative dei macchinari. E’ chiaro l’interesse ad anticipare verifiche a progetto, prima
delle scelte costruttive definitive. Queste verifiche hanno finalità di massima, poiché è bene fissare
margini significativi al rischio di risonanze o auto-eccitazioni. Di qui l’interesse alla trattazione
elementare per la ricerca delle velocità critiche.
FIG. III.14. Bilanciamento statico e dinamico di un rotore rigido.
Naturalmente la conclusione richiamata è corretta se è possibile garantire equilibratura statica e
dinamica dei rotori. L’operazione può essere effettuata su banco prova e anche in esercizio, se sono
idoneamente strumentati i cuscinetti. Anche le procedure di bilanciamento si avvalgono di modelli
di riferimento con differenti livelli di complessità. Con i banchi prova, si può tendere a disporre di
rotori rigidi, concentrando la cedevolezza nei supporti. In presenza di eccentricità e di momenti
centrifughi di massa, le equazioni del moto nel referenziale ξ,η,ζ solidale al rotore sono:
Fξ= - meξω 2 +meηω 2 , Fη= - meηω 2 –meξω 2 , Mξ= - Jξζ ω& -Jηζω 2 , Mη= - Jηζ ω& +Jξζω 2 , Mζ= - Jζ ω& [3.51]
con baricentro G nel piano ξ,η. Il momento Mζ è applicato dall’esterno; le forze Fξ, Fη e le coppie
Mξ, Mη sono applicate ai supporti. Quando fosse annullato e, scompaiono le forze Fξ, Fη, e si dice di
avere eseguito il bilanciamento statico. Sia ha bilanciamento dinamico del rotore rigido, se sono nulli
anche i momenti Mξ, Mη (con attrito trascurabile, la coppia Mζ si annulla a velocità costante). Un
rotore rigido inizialmente sbilanciato può essere perfettamente equilibrato, disponendo due masse
m1 e m2, FIG. 14, in piani a distanze l1 e l2 dal baricentro e con eccentricità ξ1,η1 e ξ2,η2 rispetto all’asse
di rotazione, infatti:
m1ξ1= (- Jξζ+ meξl2)/l , m1η1= (- Jηζ- meηl2)/l ; m2ξ2= (Jξζ- meξl1)/l , m2η2= (Jηζ- meηl1)/l [3.52]
ove: l = l1+ l2. Le espressioni sono interpretabili in termini di vettori di bilanciamento con
ampiezze: m1r1 e m2r2 e posizioni angolari ϕ1 e ϕ2, che ruotano; viceversa, lo sbilanciamento equivale
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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