2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
= a F ... a F ... a F
i i1 1 ii i in
η + + + + n , (i = 1, 2 , .. , n) ; − η − η
j j j j j
sostituendo, è trovato il sistema di equazioni:
2 2 2
a (m s+ c s) η+ ... + [a (m s+ c s)+1] η+ ... + a (m s+ c s)
η=
0
i1 1 1 1 ii i i i in n n n
2
F= ms c s , s≡
d [3.34]
dt
, (i = 1, 2 , .. , n) [3.35]
Occorre ora trovare le radici del determinante in s; anziché immaginarie pure, saranno complesse
coniugate, dando luogo, comunque, a risonanze poiché il moto flessionale degli alberi è sempre
poco smorzato.
Per trovare coefficienti di influenza aik, basta, in base alla definizione, applicare carichi unitari e
trovare gli effetti incrociati, relativamente ai diversi punti di calettamento dei dischi. Se l’albero è
assimilato ad una trave appoggiata alle estremità, per esempio:
1 3 2
a = l βξ(1−β −ξ ik
6
2 bk x
) per bi > bk e x < bi essendo β = , ξ = .
l l
m
F=mg
q=µg
FIG. III.11. Effetto della massa dell’albero sul moto di un disco rotante.
Per tener conto della massa distribuita (dell’albero), si può ricorrere a modelli continui e quindi
a sistemi di equazioni alle derivate parziali, oppure, data la difficoltà di questo approccio, a metodi
approssimati, con modelli di compromesso in grado di vibrare in modo sufficientemente prossimo
al sistema originale. Come per le vibrazioni torsionali, anche ora, è possibile far ricorso al criterio
energetico. A titolo di esempio, si può valutare la velocità critica di un albero pesante, con un disco
calettato in mezzeria, rotante su due appoggi; gli effetti inerziali della massa calettata e distribuita
dipendono dall’entità della deflessione dell’albero e, a loro volta, modificano l’inflessione. L’idea
della procedura muove del fatto che fra i sistemi conservativi virtuali (congruenti con i vincoli),
sono effettivi quelli equilibrati. Quindi, dato il rotore con disco di massa m in mezzeria ed albero di
massa distribuita per unità di lunghezza µ, FIG. 11, si calcola la freccia statica, per effetto del peso
proprio concentrato:
3
3
mgl 3
η(z) = z 4 z
48EJ
[ -
3
( ) ] ; η( l mgl
) = ηm =
l l
2 48EJ
, η(z) = 4 3
ηm [ z- z
3
( ) ] [3.36]
l l
Posto che questa sia la deformata piana del moto oscillatorio sincrono, si ricavano le:
η ( l
2 ,t) = ηm cos ωt , η& ( l
2 ,t) = - ηm ω sin ωt , η&& ( l
2 ,t) = - ηm ω2 cos ωt
η (z,t) = η (z) cos ωt , η& (z,t) = - η(z) ω sin ωt , η&& (z,t) = - η(z)
ω2
cos ωt
Le accelerazioni massime si hanno quando: cos ωt = 1, pertanto l’energia cinetica massima è:
l2
3
2 2 2 2
EC = 1 1
2 2
2
m( ηω ) + 2 m 2
µ ∫ [ η(z) ω]dz
= 1 17
2 2
m
0
2
( η ω ) [ m+
35
µ l]
= 1 mgl
17
2
(
48EJ
ω ) [ m+
35
µ l]
L’energia potenziale massima, a sua volta, è valutata tramite la:
EP = 2
3 2
1 k( l
2 2 ) η m = 1 48EJ
mgl
2 l3
( 48EJ
) , essendo: k( l
2 ) = 48EJ
l3
, quindi: ω o = ± 48EJ
l 3( m+
17 [3.37]
µ l)
Non considerare la massa distribuita fa trovare una velocità critica per eccesso. Viceversa, se tutta
massa del rotore (disco ed albero) fosse concentrata in mezzeria, si sarebbe stimato un valore per
difetto. Il risultato [3.37] può essere migliorato, introducendo il carico dinamico (in base alla freccia)
e ricalcolando le EC ed EP; i due valori devono essere uguali (per la conservazione dell’energia); se
vi è uno sbilanciamento, le frecce vanno ricalcolate, finché il bilanciamento è raggiunto. Va notato
che le stime di ωo variano poco (il risultato iniziale si scosta di 1-5 % da quello finale) e può essere
sufficiente la procedura richiamata.
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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