2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
⎡A11 A12 0 0 M
⎤ ⎡θ1⎤ ⎢
A21 A22 A23 0
⎥ 2
⎢ ⎥
⎢
M
θ Aii = Js i + (hi−1+ hi+ c i)s+ ki−1+ ki
⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢ 0 A32 A33 A ⎥
;
34 M
⋅ ⎢θ⎥ 3 = 0 A i,i−1=− ( shi−1+ k i 1)
[3.19]
−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢L L L L L L L L ⎥ ⎢ M ⎥
A i,i+ 1 =− (shi+ k i)
⎢ 0 An,n−1 A ⎥
⎣ M
⎢ ⎥
n,n⎦ ⎣θn⎦ L’integrale generale è, cioè, una combinazione lineare di esponenziali, con argomento (complesso),
corrispondente alle radici del determinante dei coefficienti Aij delle variabili (angolari) θi. Occorre,
inoltre, conoscere le condizioni iniziali (posizioni e velocità angolari) e gli integrali particolari,
dipendenti dalle forzanti Mi.
1 2 i i+1 n
FIG. III.5. Trasmissione con n volani: equilibrio dello i esimo volano.
L’equazione caratteristica associata al modello lineare [3.18] dà luogo ad un sistema algebrico
(nella variabile s) di grado 2n, a coefficienti reali. In presenza di deboli smorzamenti, le radici sono
complesse, con piccola parte reale (negativa): sk’ = σk + j ωk, e: sk” = σk – j ωk; il moto oscillatorio è,
cioè, comunque attenuato. Il caso ideale: hj = cj = 0 , comporta: σk = 0; e la soluzione è una forma
d’onda formata da armoniche non smorzate. Per particolari condizioni iniziali, è possibile separare
le componenti, cioè, attivare di volta in volta un singolo modo di vibrare. Questi sono in numero di
n, o meno, in caso di radici multiple.
Il modello [3.18] è denominato tridiagonale: in termini matriciali, oltre alla diagonale principale,
sono presenti i termini immediatamente contigui (tutti gli altri termini sono nulli), che forniscono,
per il volano in esame, le azioni di quello precedente e di quello seguente. La risposta in frequenza
del sistema (multivariabile) solitamente è dedotta supponendo di applicare una forzante armonica
ad un solo volano, per analizzare l’atto di moto indotto su ciascun volano, a transitorio esaurito. In
corrispondenza delle frequenze proprie, il caso ideale porta ad oscillazioni di ampiezza illimitata,
infatti gli autovalori si riducono a coppie di immaginari puri: sk = ± jωk. Con piccoli smorzamenti, si
ha risonanza a pulsazioni lievemente inferiori: ωrk = k 1- k ζ ω , per ζk < 1, cioè, l’ampiezza del moto
oscillatorio è amplificata. Nelle trasmissioni meccaniche, il fenomeno può essere critico, poiché gli
attriti debbono essere sempre convenientemente piccoli.
E’ solitamente corretto passare dall’equazione [3.17] (modello non lineare), all’equazione [3.18].
Più difficile è stabilire l’ordine del modello, cioè, la quantità di accumuli di energia potenziale ed
elastica (numero di volani inerziali e di connessioni elastiche) effettivamente attivati dalle forzanti
presenti. Secondo il criterio dell’equivalenza tecnica, sarà possibile ridurre l’ordine fino ad avere
comportamenti dinamici che rimangono entro i limiti prescritti; ogni aumento d’ordine porta solo
modelli con numero d’autovalori superiore al necessario. E’, quindi, buona norma procedere per
approssimazioni successive, con riduzioni drastiche all’inizio, salvo aggiungere possibili accumuli
se l’equivalenza tecnica non fosse accertata. Di qui l’interesse a modelli con pochi volani, perché
spesso utilizzabili a fronte di forzanti, contraddistinte da bande armoniche sufficientemente strette.
III.2.2. Modelli per linee di trasmissione con due o più rotori.
Il modello elementare di partenza è il bipendolo (di torsione), che presenta due volani connessi
da un elemento elastico, FIG. 6. Esso ha un solo modo di vibrare. La pulsazione propria è calcolata
per il caso a smorzamento nullo. Dalla [3.18], in assenza di forzanti, si hanno:
J1 s 2θ1 = k (θ2 - θ1) , J2 s 2θ2 = k (θ1 - θ2) ; ove: s 2 =
d
dt
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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2
[3.20]
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