2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
III.4.2. Utilizzazione di metodi approssimati.
Le procedure oggi più usate (con l’ausilio di calcolatori) fanno ricorso alla discretizzazione della
struttura, quindi, risolvono numericamente sistemi alle differenze finite (spesso mediante elementi
finiti). I risultati che si ottengono sono tanto più efficaci, quanto meglio la discretizzazione modella
la dinamica corrente, in relazione non solo alla definizione locale delle forme, ma anche dei vincoli
e delle condizioni di carico. Gli sviluppi non sono trattati in questo luogo. Le procedure numeriche
per modelli quasi-continui sono integrate, o sostituite, da metodi approssimati, che hanno, tuttavia,
evidenza fisica diretta.
Una classe di procedure consiste nel rimpiazzare il continuo (con infiniti gradi di libertà) con un
numero finito di masse inerziali, interconnesse da elementi locali deformabili. Lo schema ad inerzie
e cedevolezze concentrate è impostabile mediante modelli matriciali, che evidenziano le sconnessioni
fra i corpi inerziali in termini di caratteristiche iperstatiche di sollecitazione, la cui entità è calcolata
imponendo la verifica di congruenza alle sconnessioni stesse. Nel modello multicorpo, i parametri
inerziali m, Iij sono concentrati nel baricentro e la somma delle mobilità stabilisce i gradi di libertà.
Se si può disporre dei coefficienti di influenza K-1 (o della matrice dinamica D [3.56]), si hanno dati
sufficienti per descrivere la dinamica della struttura. Lo schema di calcolo è ibrido, poiché basato
sulla deformabilità distribuita dei corpi per ricavare le cedevolezze, mentre i bilanci dinamici sono
effettuati in punti (a più mobilità) concentrati. In genere, strutture a travi sono descritte da vettori;
quelle ad involucro, da matrici a rete; per solidi qualsivoglia, lo schema ibrido è poco conveniente.
Per analisi dirette, il criterio energetico è sempre approccio efficiente. In luogo della [3.57], si ha
(la struttura a trave è analoga, salvo l’uso di integrazione semplice):
EC= 1 2
(u)
2
ω ∫∫ u µ dA , EP= 1
(u)
A
2 ∫∫ u κ dA
; rQ=( ) ( )
A
∫∫ u κ (u) dA u µ (u) dA
A ∫∫ [3.62]
A
Per il calcolo della pulsazione fondamentale, basta ricercare il valore rQ minimo. Per: u = ϕhk (o ϕk),
2
2
modo di vibrare dell’ordine indicato, rQ prende il valore: ω (o ω ); per ogni altra funzione u che
soddisfa alle condizioni al contorno, u è una stima per eccesso delle pulsazioni proprie. E’ possibile
impostare un algoritmo iterativo capace di convergere a stime migliori, con l’approssimazione
desiderata.
I modi di vibrare per una trave sono visualizzabili come sinussoidi; per una lastra, appaiono
due famiglie di sinussoidi. Possono aversi modi trasversali, longitudinali, flessionali e torsionali e
combinazioni fra di essi, che dipendono dalle condizioni al contorno. Sono di utili, a volte, i modi
per strutture illimitate; nelle tabelle delle FIG. 17 e FIG. 18, sono date le velocità d’onda, che, appunto,
corrispondono alla propagazione di onde elastiche quando gli effetti di contorno scompaiono.
I risultati dei metodi approssimati forniscono spesso al progettista informazioni sufficienti. In
effetti, i comportamenti vibratori sono ritenuti fenomeni non desiderati; poiché grandi ampiezze si
hanno solo in vicinanza di risonanze dei primi modi di vibrare, occorre modificare la struttura per
spostare le pulsazioni naturali, rispetto ai contenuti spettrali forzanti. Un aumento di rigidezza (ad
esempio, inserendo sagomature o nervature) senza appesantimento fa innalzare la frequenza, con
possibilità di portarsi oltre le bande d’attenzione. L’aumento delle masse a parità di cedevolezza
ha effetto opposto. L’aumento di smorzamento induce limitati spostamenti delle risonanze (verso
le basse frequenze); è, però, riferimento corrente per ridurre le conseguenze alle basse armoniche,
se non si può impedire il ricoprimento con gli spettri forzanti. Questi provvedimenti sono fattibili
a partire da valutazioni delle frequenze proprie quali quelle date dai metodi energetici con modelli
aventi un numero di gradi di libertà ridotto.
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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