2. Dimensionamento dinamico - Meccanica e costruzione delle ...

COSTRUZIONE DI MACCHINE II
NOTE SU DIMENSIONAMENTO DINAMICO DI ORGANI MECCANICI
Per calcolare il secondo autovalore, si tiene conto che i modi di vibrare sono fra loro ortogonali; la
procedura iterativa è, quindi, ripetuta con vettori di tentativo che presentino due nodi. E così di
seguito, fino all’ordine dell’approssimazione desiderato. La convergenza è data dal tipo di modello
per l’unicità di soluzione e ortogonalità dei modi.
Nel caso conservativo, partendo dalle [3.54], la procedura si presta a una variante. Infatti:
2 n n
n n
EC= 1
2
ω ∑∑ m qq %% , EP= 1
i j ij i j 2 ∑∑ k qq
i j ij i j %% ; rQ=( n n n n
∑∑ k qq %%
i j ij i j ) ( ∑∑ m qq %%
i j ij i j ) [3.57]
Il quoziente (di Rayleigh) è funzione di vettori (reali, nel caso conservativo), che, comunque scalati,
danno sempre uguale rQ. In particolare: rQ
2
2
≥ ω ; quindi: rQmin= ω . Se: q% , corrisponde allo iesimo
1
1
2
modo, allora: rQ= ω , con buona approssimazione. Per strutture che abbiano noti coefficienti di
i
influenza, le relazioni [3.57] sono scritte in conformità, secondo quanto richiamato prima.
La presenza di smorzamenti modifica le procedure, per la presenza di sfasamenti fra i vettori,
che comportano la riformulazione delle relazioni con variabili complesse (con linearità preservata,
e smorzamenti di tipo viscoso, derivabili da funzioni di dissipazione). Per le vibrazioni flessionali,
di solito, il caso conservativo fornisce indicazioni significative; le procedure iterative richiamate
sono, quindi, speso usate. Per le vibrazioni torsionali degli alberi, come precedentemente discusso,
vi è il vantaggio di avere modelli a catena, che portano a matrici tridiagonali, che presentano più
agevole risoluzione.
III.4. VIBRAZIONI DI COMPONENTI A PARAMETRI DISTRIBUITI.
Con i modelli dell’elasticità lineare, in condizioni di piccoli spostamenti e piccole deformazioni
(gradienti degli spostamenti) ed assenza di forze esterne, si scrive:
2
µ && u+ κ u=0
, ( κ − ω µ )φ=0 % , da integrare con le condizioni al contorno [3.57]
deflessione operatore µ operatore κ parametri
fune trasversale ρ A N
asta longitudinale ρ A
2
∂
2
∂z
∂
∂ z
(EA ∂
∂ z
ρ densità ; ν modulo di Poisson
) h=h(x,y) spessore ; A=A(z) area trasversale
2
∂
trave flessionale ρ A N (EJx 2 ) Jx (Jo) momento d’area diametrale (polare)
∂z
barra torsionale ρ Jo
membrana trasversale ρ h n
lastra flessionale ρ h
∂
∂ z
(GJo
∂
∂ z
) N (n) caratteristica normale (per unità di spessore)
2
∇ (D 2
2
∇ E (G) modulo di elasticità normale (tangenziale)
3
∇ ) D= Eh / 12(1 − ν ) ;
2 2 2 2
∂ ∂
∇ = 2 + 2
∂x ∂y
FIG. III.16. Tabella di operatori per tipici corpi elastici.
In FIG. 16, sono raccolte particolarizzazioni del modello per tipologie uni- e bi-dimensionali. Anche
ora, le soluzioni ϕ esistono solo per valori discreti di jωk, radici del determinante dei coefficienti.
La presenza di smorzamento può essere modellata aggiungendo alla [3.57] il termine viscoso, con
il che gli auto-valori sk non sono più immaginari puri, ma, di solito, complessi coniugati. Il modello
con forzanti porta ad equazioni del tipo:
µ && u+ κ u=F(z,t)
, µ && u+ κ u=f(x,y,t)
, con assegnata distribuzione in spazio e tempo dei carichi [3.58]
Hanno interesse le risposte in presenza di forzanti armoniche applicate in un punto della struttura.
2.4.1. Modellazioni generali e procedure.
I modelli [3.57] e [3.58] non sono facilmente integrabili. In base alle tipologie riassunte in FIG. 16,
è possibile distinguere i casi unidimensionali, che anno una infinità semplice di auto-valori (e autovettori),
da quelli bidimensionali, con doppia infinità di auto-valori (e auto-vettori). Fra i primi, si
riconoscono modelli del primo ordine, FIG. 17, da quelli del secondo ordine, FIG. 18. Per i secondi,
A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC
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