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132 Veronica <strong>Gavagna</strong> si trova infatti lo schema seguente, in cui non si può far a meno di notare una stretta parentela con il triangolo di Tartaglia, posto alle carte 69v e 71v della Seconda Parte del General Trattato. 1 2 3 3 4 6 5 10 10 6 15 20 7 21 35 35 8 28 56 70 9 36 84 126 126 10 45 120 210 252 11 55 165 330 462 462 Triangolo di Stifel ce. 2 ce. cu. 3 3 cu. ce.ce. 4 6 4 ce.ce. p o rel. 5 10 10 5 p o rel. ce.cu. 6 15 20 15 6 ce.cu. 2 o rel. 7 21 35 35 21 7 2 o rel. ce.ce.cu. 8 28 56 70 56 28 8 ce.ce.cu. 3 o rel. 9 36 84 126 126 84 36 9 3 o rel. Triangolo di Tartaglia Prima di passare ai criteri di definizione di questi schemi, premettiamo che tanto Stifel quanto Tartaglia usano i rispettivi triangoli numerici per costruire i coefficienti binomiali e se ne servono nell’estrazione delle radici n-sime di numeri naturali e razionali positivi, ma in modo diverso. Nel caso di Stifel, l’estrazione della radice n-sima di un numero N si fonda sulla possibilità di trovare due interi positivi a e b tali che N 5 (10a 1 b) n . Mentre il numero a è la radice che meglio approssima (per difetto) N, resta da de-
L’insegnamento dell’aritmetica nel “General Trattato” 133 terminare il numero b, la cui migliore approssimazione espressa in termini moderni è data, secondo Stifel, da Dunque b 1 5 N 2 10n a n 1 n 1210 n21 a n21 " n N 5 10a 1 b 1 5 10a 1 N 2 10n a n 1 n 1210 n21 a n21 L’uso dei coefficienti binomiali diventa a questo punto importante per la verifica del risultato, dal momento che bisogna sviluppare il binomio (10a 1 b1) n per capire di quale grado sia l’approssimazione di . La trattazione di Stifel è estremamente stringata e accompagnata da un numero davvero esiguo di esempi (cc. 38v-46v di un volume in 4°), mentre Tartaglia dedica all’estrazione delle radici ben 50 carte (cc. 23v-73v). Come abbiamo detto, in questa dettagliatissima esposizione l’autore esamina l’estrazione della radice n-sima per n 5 2, ..., 10, analizzando per ogni ordine il caso dell’estrazione di radice dei numeri naturali (distinguendo l’approssimazione per difetto dall’approssimazione per eccesso) e dei razionali positivi e dando, nel caso della radice quadrata e cubica, anche un’intepretazione geometrica dell’algoritmo usato. Non entreremo qui nei dettagli, limitandoci a osservare che, in generale, per calcolare la radice n-sima di un numero N, si devono trovare due numeri a e b tali che N 5 (a 1 b) n " ; ancora una volta, a è la radice intera che meglio approssima e il problema si riduce a dover dare una stima di b. L’approssimazione proposta da Tartaglia è, in termini moderni, n N " n N " n N 5 a 1 N 2 an n21 a k51 a n b ak k
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Page 3 and 4: L’insegnamento dell’aritmetica
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