Esercizi 9: Geometria Affine ed Euclidea del piano.

Esercizi 9: Geometria Affine ed Euclidea del piano.
Esercizio 1: Sono dati nel piano affine E 2 i seguenti punti: A = (−1, 1); (5, 5) e C(3, 3); determinare:
• le equazioni (parametriche, cartesiane e se possibile segmentarie) della rette congiungenti
ognuna una coppia di punti;
• le equazioni (parametriche, cartesiane e se possibile segmentarie) delle rette uscenti da un
punto e parallela alla retta contenente gli altri due punti.
• le coordinate di un punto D tale che il quadrilatero ABDC sia un parallelogramma;
• le coordinate di un punto D tale che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma.
Esercizio 2: In un piano euclideo dotato di un riferimento cartesiano R(0, i, j) sono dati il punto
A(−2, −2) ed il vettore v = 2i + 4j; determinare
• le equazioni (parametriche, cartesiane e se possibile segmentarie) delle rette r ed s contenenti
A e rispettivamente parallela ed ortogonale al vettore v;
• le coordinate del punto B di intersezione della retta r con l’asse delle ordinate,
• le coordinate del punto C appartenente all’asse delle ascisse tale che il triangolo ABC sia
rettangolo in B;
• le coordinate del punto D appartenente all’asse delle ascisse tale che il triangolo ABD sia
rettangolo in D;
• le coordinate dei punti appartenenti alle rette r ed s vertici di un quadrato di area A = 50;
• le coordinate del punto E appartenente all’asse delle ascisse in modo che il triangolo ABE
sia isoscele su base AB (non esiste, perché?);
• le coordinate del punto F appartenente alla retta 2x−3y−14 = 0 in modo tale che il triangolo
ABF sia isoscele su base AB;
• le coordinate del punto H appartenente all’asse del segmento AB in modo che il triangolo
ABH abbia area A = 15
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Esercizio 3: Sia F il fascio di rette generato dalle rette r : {2x − 3y + 1 = 0} ed s : {x + y − 2 = 0}
e F ′ quello che ha per sostegno il punto K(−5, 3), determinare:
• l’equazione della retta di F passante per il punto K;
• l’equazione della retta di F parallela al vettore di direzione (−2, 5) t ;
• l’equazione della retta di F, orientata secondo le x crescenti, che forma con il semiasse negativo
delle x un angolo di α = 45 ◦ ;
• l’equazione della retta di F, orientata secondo le y crescenti, che forma con il semiasse positivo
delle y un angolo di α = 120 ◦ ;
• l’equazione della retta di F ′ ortogonale al segmento congiungente il punto A(1, −2) con il
punto B(−1, 3);
• l’equazione della retta di F ′ parallela al segmento congiungente il punto A(1, −2) con il punto
B(−1, 3);
• le equazioni delle rette di F ′ che formano con il semiassi coordinati negativi un triangolo di
area 2;
• l’equazione della retta di F che stacca sulle rette x−2y +4 = 0 ed x−2y −5 = 0 un segmento
di lunghezza l = 2 √ 3;
• le equazioni delle rette mutuamente ortogonali appartenenti ad F ′ che staccano sull’asse delle
x un segmento di lunghezza l = 15
2 ;
Esercizio 4: Scrivere le equazioni delle circonferenze che soddisfano le seguenti condizioni 1 :
• ha centro nel punto C(1 − 3) e raggio r = 2;
• ha centro nel punto C(1, −3) e passa per il punto A(3, −7);
• ha centro nel punto C(1, −3) ed è tangente alla retta 2x + 3y − 4 = 0;
• ha per diametro il segmento di estremi A(7, 3) e B(−5, −9);
• ha centro sulla retta 2x + y − 5 = 0 ed è tangente entrambi gli assi cartesiani;
• ha centro sulla retta 2x + y − 5 = 0 e stacca sulla retta x − y + 2 = 0 una corda di lunghezza
l = 4 √ 5;
• ha centro sull’asse delle ascisse, ha raggio r = 2 √ 5 ed è tangente la retta 2x + y − 5 = 0;
• ha centro sulla retta 3x − 4y + 2 = 0, ha raggio r = 5 ed è tangente l’asse delle ordinate.
1 La soluzione di alcuni quesiti può non essere unica.
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