Classificazione delle quadriche mediante gli autovalori. - Sezione di ...

Esercizi aggiuntivi, a.a. 2011-2012.
Agg. 1
Determinare l’equazione esplicita della parabola la cui direttrice ha equazione y = 2 e il cui fuoco è (6, 7).
Soluzione. Come primo metodo utilizziamo la definizione classica di parabola. Essa è, in questo esercizio, il
luogo dei punti (x, y) tali che √ (x − 6) 2 + (y − 7) 2 = |y−2|. Otteniamo x 2 −12x+36+y 2 −14y+49 = y 2 −4y+4,
cioè
y = 1
10 x2 − 6 5 x + 81
10 .
Partendo invece dall’equazione generale y = ax 2 + bx + c, dobbiamo risolvere il sistema
⎧
⎪⎨
⎪⎩
− b
2a = 6
4ac−b 2 +1
4a
= 7
4ac−b 2 −1
4a
= 2
( √ ) (√ )
Soluzione. Effettuando il cambiamento di coordinate x = 1 2 X − 3Y , y =
1
2 3X + Y (avendo calcolato
gli autovalori, ecc.), si ottiene una parabola in forma canonica, Y = −4X 2 (in questo caso il vertice coincide
con la nuova origine, ma ciò che importava era unicamente la scomparsa del monomio in XY ). Utilizzando le
note formule abbiamo: F X,Y = ( 0, −
16) 1 , mentre la direttrice ha equazione Y =
1
( 16
. Sostituendo le nuove coordinate
del fuoco nelle formule a disposizione, otteniamo F x,y =
√3 )
32 , − 1 32
. Per trovare l’equazione originale della
direttrice occorrono invece le formule inverse, facilmente ottenibili mediante( la trasposta √ ) della matrice ( √ utilizzata )
(infatti in questo caso inversa e trasposta coincidono). Abbiamo: X = 1 2 x + 3y , Y =
1
2 − 3x + y . La
( √ )
1
vecchia equazione è quindi:
2 − 3x + y =
1
16 , ecc. .
F8. Calcolare la proiezione ortogonale di v = (1, 2, 3, 3) su T { = 〈(1, 2, 0, 0), (0, 1, 1, 2)〉. Calcolare, poi, la
proiezione del medesimo vettore sul sottospazio T ′ 2x1 − x
di equazioni
2 − x 3 + x 4 = 0
.
2x 3 − x 4 = 0
Soluzione. T ha dimensione uguale a 2. La base data non è ortogonale. Adeguando il secondo vettore al
primo – dunque sottraendo dal secondo vettore la sua proiezione ortogonale sul primo vettore – otteniamo il
“nuovo” secondo vettore, così: (0, 1, 1, 2) − 2 5 (1, 2, 0, 0) = ( − 2 5 , 1 5 , 1, 2) . Consideriamo, per facilitare i calcoli, il
multiplo (−2, 1, 5, 10). Siamo ora pronti per proiettare v sul “piano” dato (si tratta infatti di un’entità immersa
in uno spazio a 4 dimensioni, ma sempre generata da due vettori, quindi “con ∞ 2 punti” 1 ). Otteniamo:
P(v, T ) = P(v : (1, 2, 0, 0)) + P(v : (−2, 1, 5, 10)) = 5 45
5
(1, 2, 0, 0) +
130 (−2, 1, 5, 10) = ( 4
13 , 61
26 , 45
26 , 13) 45 . Test: v
meno questo vettore dev’essere ortogonale alla base data (...).
Per quanto riguarda T ′ , determiniamo prima una sua base ortogonale e poi procediamo come sopra. Il sistema
omogeneo ha rango uguale a 2, quindi ammette ∞ 4−2 soluzioni (due parametri, ecc.). Anziché effettuare gli
usuali calcoli e infine sostituire i parametri, possiamo fortuitamente notare che i vettori della base di T sono
soluzioni di questo sistema. Dunque T ′ = T ; i due quesiti sono modi diversi di formulare la stessa richiesta. È
importante notare che qualunque altra base ortogonale di T ′ avrebbe portato alla stessa proiezione.
G26. Dato v = (2, 3, 6), determinare una base del nucleo dell’applicazione lineare che associa a un vettore di
R 3 la sua proiezione ortogonale lungo v, orientata secondo il verso di v.
Soluzione. Una tale applicazione ha per codominio R 1 , e trasforma (x, y, z) in (x,y,z)×(2,3,6)
v
, cioè in
2x+3y+6z
7
. Il suo nucleo è il piano di equazione 2x + 3y + 6z = 0 – ciò era prevedibile, perché si trattava
del sottospazio ortogonale a v. Esplicitando la variabile z otteniamo la forma parametrica ( s, t, − s 3 − 2) t , da
cui possiamo selezionare la base {( (
1, 0, − 3) 1 , 0, 1, −
1
2)}
. Abbiamo trovato, in effetti, due vettori linearmente
indipendenti e ortogonali a v. Per semplificare la presentazione potremmo moltiplicare tali vettori per opportuni
scalari.
Classificazione delle quadriche mediante gli autovalori.
Una quadrica è l’insieme dei punti di R 3 (abbiamo fissato un riferimento) che sono soluzioni di una data
equazione polinomiale di grado 2. Imitando il caso 2-dimensionale, scriviamo una tale equazione come a 11 x 2 +
1 Per analogia col caso tridimensionale, un piano immerso in uno spazio a 4 dimensioni dovrebbe sentirsi a disagio – o forse
più “libero” – come si sentirebbe un binario diritto di una ferrovia, improvvisamente portato in aria da una gru: la dimensione
intrinseca del binario resta uguale a 1, ma cambia la dimensione dell’ambiente intorno (da 2 a 3); notiamo, con l’occasione, che in
aria esistono infiniti binari perpendicolari a quello appeso alla gru, perché la codimensione aumenta di uno.
1

a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy +2a 13 xz +2a 23 yz +2a 14 x+2a 24 y +2a 34 z +a 44 = 0. Nel caso delle coniche, la conoscenza
del segno (eventualmente “nullo”) di ciascun autovalore della matrice quadratica A consente di identificare
un’iperbole o un’ellisse o una parabola. Il modulo di ciascun autovalore è poi cruciale per avere informazioni
sulla “forma” (ad es. sull’eccentricità, sulla distanza tra fuoco e direttrice, ecc.). Anche per i polinomi di
grado 2 in 3 variabili è possibile ruotare e/o traslare opportunamente il riferimento (ora però nello spazio)
per giungere a una forma canonica facilmente gestibile, e i segni degli autovalori giocano di nuovo un ruolo
essenziale per la classificazione – notiamo che la matrice A diventa 3 × 3, ma è sempre simmetrica e consente
quindi una diagonalizzazione mediante una base ortogonale di autovettori (teorema spettrale). In questo caso,
però, abbiamo 5 diverse configurazioni non degeneri, e non 3, al variare del segno dei tre (non più due) autovalori,
e con la condizione che il determinante della matrice 4 × 4 (A ′ ) non sia nullo. Inoltre ora anche il segno del
determinante di A ′ acquista importanza.
Se gli autovalori sono concordi siamo in presenza di un ellissoide; esso non ha punti reali se det(A ′ ) > 0,
quindi consideriamo solo il caso negativo. Se invece il segno di due autovalori è diverso da quello del terzo
autovalore, abbiamo un iperboloide, oltretutto ellittico o iperbolico se det(A ′ ) è rispettivamente negativo o
positivo. L’aggettivo “ellittico” si riferisce alla “percezione tattile” che avremmo se afferrassimo la quadrica in
esame; sarebbe facile afferrarla, perché ogni suo punto è l’apice di una superficie “a muso d’aereo”, più o meno
affusolato, intorno al punto (tuttavia la presa risulta difficile nei punti dove la curvatura è piccola). In altri
termini, su ogni punto di una superficie ellittica è possibile appoggiare una piastrellina, sufficientemente piccola,
che sia “tangente” alla superficie e non tocchi altri punti. Se la superficie è invece iperbolica, ogni suo punto è
nel mezzo di una “sella”, e non è possibile appoggiare una piastrellina, comunque piccola, senza che la superficie
si fenda. Punti “di sella” si trovano ad esempio in tutta la parte interna di una ciambella, quella più vicina al
foro, o nel tratto in cui un tubo curva, più precisamente nella parte interna della curva (i punti esterni sulla
parte di tubo curvata restano invece ellittici).
Come terza possibilità, cioè se un autovalore è nullo, abbiamo un paraboloide, anche qui ellittico o iperbolico
se det(A ′ ) è rispettivamente negativo o positivo (equivalentemente, se i due autovalori non nulli sono
concordi o discordi). I cinque “prototipi” di equazione, ottenuti con autovalori nulli o di modulo unitario, sono
rispettivamente:
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 (in effetti questo ellissoide è una sfera con centro nell’origine; la sfera sta all’ellissoide
come la circonferenza sta all’ellisse...), x 2 +y 2 −z 2 +1 = 0 (iperboloide ellittico: consiste di due parti sconnesse!),
x 2 +y 2 −z 2 −1 = 0 (iperboloide iperbolico), x 2 +y 2 −2z = 0 (paraboloide ellittico), x 2 −y 2 −2z = 0 (paraboloide
iperbolico).
Notiamo che un ellissoide è, in effetti, sempre un ellissoide ellittico. A cosa si riferisce, invece, la radice
che precede “-oide”? Una prima analisi mostrerebbe che esiste un legame con le “sezioni” contenute nella
superficie in esame. Tagliando un ellissoide con un piano, si ottengono sempre ellissi. Sezionando un iperboloide
è molto facile ottenere anche iperboli. Sezionando un paraboloide si possono ottenere parabole (ma non solo).
In realtà, la definizione della radice di “-oide” è ben più precisa, e si riferisce al comportamento asintotico della
quadrica. Un iperboloide ha un “cono asintotico” a cui esso tende, un ellissoide è invece limitato nello spazio, un
paraboloide non ha alcuna delle due precedenti proprietà (è illimitato, pur non possedendo un cono asintotico,
un destino analogo a quello della parabola nei confronti di iperbole ed ellisse).
Se det(A ′ ) è nullo, abbiamo un più ampio ventaglio di possibilità rispetto all’analogo contesto 2-dimensionale.
Nel caso in cui i tre autovalori siano non nulli, otteniamo un cono. Esso si riduce al solo punto (0, 0, 0) se gli
autovalori sono concordi, mentre acquista le fattezze di un cono vero e proprio se essi sono discordi. Ad esempio
l’equazione x 2 +2y 2 −z 2 = 0 identifica un cono il cui asse è l’asse z. Sezionando tale quadrica con piani paralleli al
piano xy otteniamo ellissi. Se invece un autovalore è nullo, dovendo escludere la forma non degenere di equazione
λ 1 x 2 + λ 2 y 2 − 2z = 0 (paraboloide), abbiamo necessariamente un’equazione del tipo λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + c = 0. Se
c ≠ 0 – ed esistono soluzioni reali – si tratta di un cilindro con generatrici parallele all’asse z. Le sezioni
perpendicolari alle generatrici sono uguali alla conica avente la medesima equazione. Se c = 0 il rango di A ′ si
abbassa a 2 (per coni e cilindri infatti esso era uguale a 3). In tutti i casi in cui tale rango vale meno di 3 la
quadrica perde totalmente la curvatura (in molti casi essa degenera in due piani o in un piano). Notiamo che
i coni e i cilindri non hanno punti ellittici né iperbolici, perché appoggiandovi una piastrellina – e ciò è sempre
possibile – essa non toccherebbe solo il punto scelto, ma un intero segmento.
Lo studio della curvatura di una superficie è un argomento principe in corsi più avanzati di geometria.
E21. Classificare la quadrica di equazione 2xy + 2xz + 2yz + σ = 0 , al variare di σ in {−1, 0, 1}.
⎛
⎞
0 1 1 0
Soluzione. La relativa matrice M(σ) è uguale a ⎜ 1 0 1 0
⎟
⎝ 1 1 0 0 ⎠ . Gli autovalori della matrice quadratica
0 0 0 σ
sono −1 (con molteplicità doppia) e 2. Quindi per σ = 1 otteniamo un iperboloide (gli autovalori sono discordi)
2

iperbolico (det(A ′ ) = 2). Con un’opportuna rotazione possiamo ottenere l’equazione 2X 2 − Y 2 − Z 2 + 1 = 0.
L’iperboloide è invece ellittico se σ = −1, mentre per σ = 0 otteniamo un cono. Scrivendo la sua equazione
nella forma X 2 = 1 2 Y 2 + 1 2 Z2 è facile convincersi che l’asse del cono è l’asse X, il vertice è l’origine e le sezioni
normali all’asse sono circonferenze. Sezionandolo con un piano otteniamo una conica (una conica si definisce
infatti come...). Ad esempio il piano Y = 4, messo a sistema con l’equazione del cono, realizza un’iperbole (in
modo analogo, una circonferenza nello spazio può essere definita come l’intersezione di una sfera con un piano
idoneo).
3