Appunti di Laboratorio di Calcolo Numerico con Matlab

Appunti di Laboratorio di Calcolo Numerico 

con Matlab 

Ing. Luca Paulon (paulon@dmmm.uniroma1.it ) 

1 Ing. Luca Paulon - Laboratorio di Calcolo Numerico

Riferimenti 

[1] Matlab help 

[2] MathWork web site 

[3] “Manualetto di Matlab”, 

[4] Calcolo Scientifico (Quarteroni, 4a edizione, Springer) 

[5] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlab.pdf 

[6] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlab.zip 

[7] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/esercizi.pdf 

[8] Esercizi di Calcolo Numerico (Gori, Lo Cascio, Pitolli) – 

Edizioni Kappa 

2 

Ing. Luca Paulon - Laboratorio di Calcolo Numerico

Sommario 

Day1 

Introduzione a Matlab: riferimenti; ambiente di sviluppo (IDE) di script. 

Tipi di variabili. Variabili predefinite. Variabili complesse. 

Esempi. 

Day2 

Operatori puntuali e funzioni vettoriali. Istruzione linspace. Realizzazione di 

una function. 

Esempi. 

Day3 

Realizzazione di una function. Output su schermo (disp). Istruzioni 

condizionali (if-else-end). Operatori relazionali e operatori logici. Cicli 

enumerativi (do-end). Ciclo while. 

Esempi. 

3 


Day4 

Matrici 

Day5 

Sistemi Lineari, metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel 

Day6 

Compito in classe 

Day7 

Correzione compiti e illustrazione di alcune domande di esame. 

4 


Day8 

Applicazioni Matlab: demo e toolbox. 

Day9 

Integrazione numerica (approssimazione di integrali) 

Day10 

Differenziazione numerica (approssimazione di derivate) 

Day11 

Correzione compiti e illustrazione di alcune domande di esame. 

5 


Appendice 0 

Concetti fondamentali di Calcolo Numerico 


Esempio di applicazione in matlab 


Gpu Computing 

6 


Day1: IDE di Matlab 

7 


Day1: IDE Workspace 

8 


Day1: Variables Types 

9 


Day1: variabili predefinite 

10 


Day1: variabili complesse 

Esempio 

11 


Day2-Day3: figure con grafici di funzioni 

N=50; 

x=linspace(0,1,N); 

func1=randn(N,1); 

func2=randn(N,1); 

subplot(2,1,1); 

title('funzione1'); 

Xlabel('Tempo'); 

Ylabel('Ampiezza '); 

plot(x, func1); 

subplot(2,1,2); 

title('funzione2'); 

Xlabel('Tempo'); 

Ylabel('Ampiezza '); 

plot(x, func2); 

12 


Day2 - Day3 

13 


Day2 - Day3 

14 


Day2 - Day3 (versione di matlab 2008 o superiore) 

ESECUZIONE DELLO SCRIPT – 

OPZIONE2 (dall’editor di matlab) 

1: richiamare il seguente menu a discesa dalla 

toolbar dell’editor di matlab 

2: clicca su ‘Edit Run config….’ 

3: inserisci il codice per il test dello 

script 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

4: esegui lo script 

-0.8 

-1 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 

15 


Day2-Day3 

ESECUZIONE DELLO SCRIPT – OPZIONE1(dalla 

command window di matlab) 

Dalla CommandWindow … 

16 


Day3 

Esempio. Il metodo di bisezione [4] 

Algoritmo 

Ripeti il seguente ragionamento fino a che le condizioni di arresto non sono 

soddisfatte: 

17 


Day3 

Esempio. Il metodo di bisezione [4]. L’errore (di troncamento) 

18 


Day3 

Implementazione del metodo di bisezione [4] 

19 


Day3 


20 


Day3 


21 


Day3 

Esempio. Il metodo di bisezione [4]. Applicazione ad un caso specifico 

22 


Day3 

Esempio. Il metodo di bisezione [4]. Applicazione ad un caso specifico 

23 


Day3 

Esercizio per casa. Eseguire il debug dell’implementazione del 

metodo di bisezione per correggere errori o apportare modifiche. 

Infine realizzare il profiling temporale del metodo di bisezione usando i 

comandi tic e toc. 

Esempio di uso di tic e toc 

Dal prompt dei comandi: 

>> tic; surf(peaks(40)); toc 

24 


Day4 

Verifica dell’ ‘Esercizio per casa’ relativo all’implementazione del 

metodo di bisezione. 

Esercizio: scrivere uno script per il test della funzione bisection per il 

caso specifico f(x) in figura 2.2 tale da graficare in uscita gli andamenti 

dell’ errore relativo e assoluto per tolleranze diverse. 

25 


Day4 - Matrici 

Definizione di matrici 

1. ‘manuale’ 

2. attraverso i comandi zeros, ones, diag 

Salvataggio/caricamento matrice di dati 

Definizione di matrici in singola precisione 

26 


Day4 

% Esempio: 

clear; 

n=10; 

B = 2*diag(ones(1,n)); 

C =diag(ones(1,n-1),1); 

D = diag(ones(1,n-1),-1); 

A = B – C – D 

27 


Day4 

% Calcolo del determinante 

det (A) 

% Calcolo della norma 1, 2, infinito 

nrm1 = norm (A,1) 

nrm2 = norm (A,2) 

nrmInf = norm (A,inf) 

28 


Day4 

% Calcolo dei numeri di condizionamento 1,2, infinito 

C1 = cond (A,1) 

C2 = cond (A,2) 

Cinf = cond (A,inf) 

% Calcolo degli autovalori e degli autovettori 

[ V, W ] = eig(A); 

% Calcolo del raggio spettrale 

29 

rho = max (abs(W)) 


Day4 

% Calcolo del terzo autovalore e del corrispondente autovettore 

lambda3 = W(3,3) 

v3 = V(:,3) 

% Verifica che la matrice degli autovettori diagonalizza A 

Vinv = inv(V); 

e = W–Vinv *A*V 

normErr = norm ( e, 2) 

30 

% Verifica che la matrice degli autovettori diagonalizza A 

ordineErr = normErr / eps 


Day5 – Sistemi Lineari 

Il metodo di Jacobi (vedi script jacobi.m) 

Esercizio: test del metodo di jacobi (vedi jacobi_test.m) 

Esercizio: realizzare un test più articolato 

31 


Day5 – Sistemi Lineari 

il metodo di Gauss-Seidel (vedi script gaussseidel.m) 

Esercizio: realizzare un test semplice del metodo di Gauss 

Seidel 

Esercizio: confrontare i due metodi 

32 


Day6 – Compito in classe sui sistemi lineari 

Tradurre in linguaggio matlab le soluzioni degli esercizi 2.20 

e 2.30 riportate nel file “esercizi.pdf ”. Scrivere ogni 

soluzione in script diversi. 

NB: la teoria è fondamentale … , ad esempio sapere per i metodi 

iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel: 

33 


Day 7 – Correzione compiti e 

illustrazione delle domande di esame 

http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlabesame.pdf 

34 


Day8 – Applicazioni Matlab 

CommandWindow 

GUI = Graphics User 

Interface 

SCRIPT 

Dettaglio per una applicazione Matlab 

Modello a “strati” (layers) di un 

sistema composto da utente, 

hardware e software 

35

Day8 – Applicazioni Matlab - Demo 

Esempio: Discrete Time Fourier transform. 

Nella command window digitare sigdemo1 

36

Day8 – Applicazioni Matlab - Demo 

Esempio: Discrete Time Fourier transform. 

37

Day8 – Applicazioni Matlab - Toolbox 

Esempio: Signal Processing (SP) Toolbox. 

Digitare SPtool nella command line 

38 

MainWindow (finestra principale) della GUI 

del toolbox SPtool

Day8 – Applicazioni Matlab - Toolbox 

Esempio di elaborazione di un segnale con il toolbox SPTool 

INPUT 

ELABORAZIONE (FILTRAGGIO) 

OUTPUT 

Filtro “passa basso” 

39

Day8 - Applicazioni Matlab - Toolbox 

Esempio2: il toolbox symbolic 

Polinomio di Taylor 

40 


Day 9 – Integrazione numerica 

41 



Esempio 1: distribuzione di probabilità normale (o gaussiana) 

L’area rappresenta la probabilità che il numero S (per esempio si pensi ad S come l’altezza in 

metri di una persona) sia compreso nell’intervallo [1.8, 1.9]. 

Problema: calcolare la suddetta probabilità (risolvendo numericamente l’integrale definito) 

42 



Il metodo dei trapezi (semplice e composito) 

cioè 

43 



Il metodo dei trapezi (semplice e composito) 

Implementazione in matlab (vedi [4]) del metodo dei trapezi 

44 



Il metodo del punto medio o rettangoli (semplice e composito) 

cioè 

45 



Implementazione in matlab (vedi [4]) del metodo composito del punto medio (rettangoli) 

46 



Il metodo di Simpson (semplice e composito) 

47 



Implementazione in matlab del metodo di Simpson ( vedi [4] ) 

48 



49 


Day 10 – Differenziazione numerica 

(approssimazione delle derivate) 

In generale, e quindi anche nel caso della differenziazione numerica, ci possono 

essere diversi metodi che si possono usare per i calcoli, ciascuno con le proprie 

ipotesi di applicabilità e i propri vantaggi e svantaggi, che occorre conoscere 

bene. Sperimentalmente (cioè attraverso le implementazioni, per esempio in 

matlab) si procede, fissata una applicazione da sviluppare, nel confronto di essi 

considerando tempi di esecuzione, errore di approssimazione, etc. Infine si 

decide il migliore, se ne esiste uno, da utilizzare. 

50 




Esempio 1 

51 



Il metodo della differenza finita in avanti. 

Implementazione in matlab (realizzare uno script per esercizio) 

… 

52 



Il metodo della differenza finita all’indietro. 


… 

53 



Il metodo della differenza finita intermedia. 


… 

54 




Esempio 2 

55 




Svolgimento 

(usare gli script realizzati) 

56 


Day 11 – Correzione compiti e 

illustrazione delle domande di esame 

http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlabesame.pdf 

57 


Appendice 0 [vedi 4] 

58 



59 



60 



61 



62 



63 



64 



65 



66 


Appendice 1: un semplice esperimento con Matlab 

Realizzazione di uno script per la simulazione di una tensione 

sinusoidale disturbata dalla presenza di due o più “spike” 

15 

spike1 

spike2 

Matlab 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

67 


Appendice 2: GPU computing 

68 



69 


Ringraziamenti 

% Il dipartimento Me.Mo.Mat. , il Laboratorio di Informatica ed in 

particolare la Prof.ssa F. Pitolli 

% Tutti gli studenti del corso ( per la pazienza e la dedizione dimostrate 

durante le lezioni in laboratorio ) 

70

Appunti di Laboratorio di Calcolo Numerico con Matlab

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?