Studio geotecnico e termico di un impianto geotermico a sonda ...

32 Introduzione alla trasmissione del calore
in cui il fattore di proporzionalità k, denominato conduttività termica, è una propietà fisica
caratteristica del mezzo e ne definisce l’attitudine a condurre calore; il segno meno è introdotto
per tener conto che il calore si propaga nel senso delle temperature decrescenti. In base alla
relazione 2.17 si può definire il flusso termico specifico q ′′ come la quantità di calore che si
propaga per unità di tempo attraverso l’unità di area di una superficie isoterma nella direzione
normale. Si ha dunque:
q ′′ =−k ∂T
(2.18)
∂n
Per una superficie isoterma di area A, il flusso termico che la attraversa è in generale dato da:
∫
q=− k ∂T dA (2.19)
A ∂n
L’equazione 2.19 può essere espressa con le notazioni del calcolo vettoriale:
q ′′ =−k∇T · n (2.20)
in cui ∇T è il gradiente della distribuzione di temperatura nel punto considerato, e n il vettore
unitario in direzione normale alla superficie isoterma passante per il punto e orientato nel senso
delle temperature decrescente.
Il gradiente della distribuzione di temperatura ∇T , nel punto P, è un vettore orientato nella
direzione delle temperature crescenti normale alla superficie isoterma passante per P. Si può
pertanto anche definire un vettore flusso termico specifico ponendo:
q ′′ =−k∇T (2.21)
Il vettore flusso termico q ′′ è anch’esso normale alla superficie isoterma nel punto P, ma orientato
nella direzione delle temperature decrescenti. I due campi vettoriali q ′′ e ∇T sono sovrapposti
e coincidenti a meno del verso e dell’intensità.
Si definiscono linee di flusso quelle linee che in ogni punto hanno come tangente il gradiente
locale di temperatura. L’insieme delle linee di flusso che partono da un contorno chiuso definisce
un tubo di flusso; in regime stazionario il flusso termico che si propaga attraverso di esso
è costante su ogni sezione.
Su una superficie generica s passante per il punto P, il flusso termico specifico q ′′ è dato da
q ′′ = q ′′· s (2.22)
essendo s il vettore unitario normale alla superficie generica considerata nel punto P.
La legge di Fourier espressa dalla 2.21 è valida per la conduzione in solidi isotropi e la sua
applicazione pratica richiede la misura in laboratorio della conduttività temica k, su campioni
rappresentativi dei mezzi interessati. Nel caso di mezzi anisotropi il vettore flusso termico non
è necessariamente parallelo al gradiente di temperatura ∇T e quindi il flusso termico non è
normale alle superfici isoterme. Infatti, la conduttività termica nei mezzi isotropi è la stessa in
tutte le direzioni, mentre nei mezzi anisotropi, manifesta variazioni direzionali [16].