Studio geotecnico e termico di un impianto geotermico a sonda ...

34 Introduzione alla trasmissione del calore
in cui la grandezza a = k/ρc è denominata diffusività termica ed è di interesse rilevante nel
caso di regime termico non stazionario.
La diffusività termica a[m 2 /s] può essere misurata direttamente o calcolata in base ai termini
che la definiscono. Il significato fisico di questa grandezza può essere correlato alla rapidità
con la quale una variazione di temperatura alla superficie di un mezzo si propaga al suo interno,
nel senso che più elevata è la diffusività, più rapidamente la temperatura interna risente delle
variazioni di temperatura superficiali.
Nell’equazione 2.25 il termine ∇ 2 T rappresenta il laplaciano della temperatura, che in coordinate
cartesiane è espresso da
∇ 2 T = ∂T
∂x 2 + ∂T
∂y 2 + ∂T
∂z 2 (2.26)
In coordinate cilindriche r, z, θ, in riferimento alla figura si ottiene:
e per la propagazione della sola direzione r:
∇ 2 T = ∂2 T
∂r 2 + 1 ∂T
r ∂r + 1 ∂ 2 T
r 2 ∂θ 2 + ∂2 T
∂z 2 (2.27)
∇ 2 T = ∂2 T
∂r 2 + 1 ∂T
r ∂r
(2.28)
2.4.4 Condizioni ai limiti spazio-temporali
Le equazioni generali prima ricavate descrivono una intera classe di fenomeni di conduzioni.
Lo studio di un particolare processo richiede che, nelle equazioni precedenti, venga associata
la descrizione matematica delle peculiari condizioni che caratterizzano il processo stesso.
Tali condizioni, riferite a un dominio spazio-temporale definito, sono le cause che determinano
l’evoluzione del fenomeno, tipicamente irreversibile, da una situazione iniziale di allontanamento
dell’equilibrio termico.
La precisazione delle caratteristiche del processo richiede la conoscenza di:
a) geometria del mezzo in cui avviene il processo di conduzione: forma e dimensioni;
b) proprietà termofisiche del mezzo (k, c, ρ) e distribuzione delle sorgenti termiche interne;
c) distribuzione all’istante iniziale della temperatura in tutto il mezzo;
d) condizioni al contorno superficiali relative all’interazione tra il mezzo e l’ambiente.
La distribuzione di temperatura all’istante iniziale, necessaria per lo studio dei processi in
transitorio, è fornita in generale dalla funzione:
T 0 (x,y,z)
per τ=0
e, più semplicemente, quando la temperatura iniziale è uniforme, da T 0 = costante (per τ=0).