Complemento ortogonale e proiezioni - Sezione di Matematica

Supponiamo ora che dim E = k. Dalla c) abbiamo KerP E = E ⊥ , che ha dimensione n − k.Dunque:• 0 è un autovalore di P E con molteplicità geometrica n − k.Osserviamo poi che v ∈ E se e solo se P E (v) = v. Quindi:• 1 è un autovalore di P E con molteplicità geometrica k.Non ci sono altri autovalori (altrimenti la somma delle molteplicità geometriche sarebbemaggiore di n, il che è impossibile). Poiché P E è diagonalizzabile (in effetti, è simmetrico) lamolteplicità algebrica di ogni autovalore deve uguagliare la sua molteplicità geometrica. Dunqueil polinomio caratteristico di una proiezione ortogonale è:dove k è la dimensione del sottospazio.3 Esempip(x) = (−1) n x n−k (x − 1) k ,Esempio È dato il sottospazio E : x − 3y = 0 di R2 .a) Determinare l’endomorfismo P E dato dalla proiezione ortogonale su E.( 1b) Decomporre il vettore v = nella somma v = w + w−2)⊥ con w ∈ E e w ⊥ ∈ E ⊥ .Soluzione. a) Una base ortonormale di Eè u = √ 1 ( ) 3dunque la matrice canonica di P 10 1E è( ) xSi ha P E = 1 y 10( ) 9x + 3y.3x + yuu t = 110( 1b) Per definizione, w = P E = 1 −2 10conclusione: ( 1=−2)1 10)( 31)( ) 9 3.3 1e quindi w ⊥ =( 3+1)7 ( 1.10 −3)( 1− w =−2)1 10( ) 7. In−21□Esempio Sia E il sottospazio di R 3 cosi’ definito:E = {(x, y, z) ∈ R 3 : x − 2y + 2z = 0}.4