Complemento ortogonale e proiezioni - Sezione di Matematica

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La matrice canonica di P E è dunque⎛ ⎞BB t = 1 8 2 −2⎝ 2 5 4 ⎠ .9−2 4 5e si ha:⎛ ⎞ ⎛⎞xP E⎝y⎠ = 1 8x + 2y − 2z⎝ 2x + 5y + 4z ⎠ .9z −2x + 4y + 5ze) Non occorre fare molti calcoli. Sappiamo che P E è simmetrico, dunque diagonalizzabile; gliautovalori sono 0, di molteplicità geometrica 1 (infatti E(0) = KerP E = E ⊥ ), e 1, di molteplicitàgeometrica 2 (poichè E(1) = E). Il polinomio caratteristico è dunque −x(x − 1) 2 . □Esempio Determinare un endomorfismo ⎛ ⎞ f di R 3 con autovalori 0, 1 e tale che Imf è il sottospaziogenerato E dal vettore ⎝2⎠.11Soluzione. Un endomorfismo che verifica le condizioni è la proiezione ⎛ ⎞ ortogonale sul sottospazioE. Una base ortonormale di E è data dal vettore u = √ 1 1⎝2⎠. La matrice canonica di P E è61quindi⎛ ⎞uu t = 1 1 2 1⎝2 4 2⎠ .61 2 14 EserciziEsercizio 1. Sia W il sottospazio di R 2 avente equazione x + 2y = 0. Si denoti con P (v) laproiezione ortogonale di v ∈ R 2 su W .( 5a) Determinare P .4)( ( x xb) Determinare P , dove è il generico vettore di Ry)y)2 .c) Dimostrare che P definisce un endomorfismo simmetrico di R 2 , e trovare una base ortonormaledi R 2 formata da autovettori di P .6
( xSoluzione. b) P =y)1 5( ) 4x − 2y. □−2x + y⎛ ⎞ ⎛ ⎞22Esercizio 2. Sia E il sottospazio di R 3 generato dai vettori v 1 = ⎝2⎠ , v 2 = ⎝−1⎠.1 −2a) Trovare una base di E ⊥ .b) Trovare una base ortonormale di E, ed estendere tale base a una base ortonormale di R 3 .⎛ ⎞1c) Decomporre il vettore v = ⎝0⎠ nella somma w + w ⊥ , con w ∈ E e w ⊥ ∈ E ⊥ .0d) Trovare la matrice canonica dell’endomorfismo P W dato dalla proiezione ortogonale sulsottospazio W = E ⊥ .7
Page 2: Soluzione. Imponiamo al vettore gen

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