PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 1 Corso di laurea in ...

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 1Corso di laurea in Ingegneria ElettronicaUniversitá degli Studi di Roma “La Sapienza”Docente Dott.ssa Luisa Moschinia.a. 2006/20071. NOZIONI FONDAMENTALI INSIEMI: elementi, appartenenza, inclusione, unione, intersezione,differenza, insieme vuoto, insieme delle parti, complementare di un insieme, prodotto cartesiano. Rappresentazionedegli insiemi. INSIEMI NUMERICI: I numeri naturali N e il principio di induzione (enunciatoin nota integrativa). La disuguaglianza di Bernoulli (c.d. vedi nota integrativa). Gli interi relativi Z. Ilcampo ordinato dei numeri razionali Q e la loro rappresentazione decimale. Il campo ordinato dei numerireali R. √ 2 é un numero irrazionale (c.d.) come esempio di dimostrazione per assurdo. Il valore assoluto e ladisuguaglianza triangolare (c.d.). Gli intervalli, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore,l’assioma di Dedekind e le sue conseguenze: densitá dei razionali nei reali, esistenza (ed unicitá) della radicen− esima aritmetica per numeri reali positivi e definizione di potenze ad esponente reale e base reale positiva.Esponenziali e logaritmi, loro proprietá. Disequazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni di secondogrado. Equazioni/disequazioni esponenziali e logaritmiche, razionali e irrazionali.2. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI C. Il complesso coniugato, il modulo e le sue proprietá,parte reale e parte immaginaria, l’argomento (principale). Forma algebrica e forma trigonometrica di unnumero complesso. Formula di De Moivre e radice n−esima (complessa) (c.d.). Equazioni polinomiali inC: la forma risolutiva per equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale dell’algebra. Risoluzioni dialcune equazioni nel campo complesso. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Interpretazionegeometrica delle operazioni di somma e prodotto.3. SUCCESSIONI E SERIE La nozione di limite di una successione. Unicitá del limite (c.d.) Successionilimitate e successioni convergenti. La struttura di R ampliato (=R ∗ ). Successioni divergenti e irregolari (oindeterminate). Successioni monotone: teorema di esistenza del limite. La successione geometrica e il numerodi Nepero (c.d.). Operazioni sui limiti e forme indeterminate (o di indecisione). Teorema del confronto(c.d.), teorema della permanenza del segno (c.d.) e teorema sull’algebra dei limiti (c.d.). Successioni infinitee infinitesime e loro ordine. Il fattoriale di n. La gerarchia degli infiniti (c.d. vedi nota integrativa). Stimeasintotiche. Il limite di n√ n (c.d. vedi nota integrativa). I limiti notevoli di a −1 n sen(a n ) e a −2n (1 − cos(a n ))per ogni successione a n → 0 per n → +∞ (c.d. pg 161/162 del libro M. Bramanti, C.Pagani e S.Salsa).La serie geometrica e la serie di Mengoli. Applicazione: Frazione generatrice di un numero decimale illimitatoperiodico (vedi foglio esercitazione n. 2). Serie convergenti e loro condizione necessaria (c.d.). Serie atermini non negativi: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico, criterio della radice e criteriodel rapporto (c.d. vedi nota integrativa), criterio di Cauchy (enunciato in nota integrativa). La seriearmonica generalizzata. Serie a termini di segno qualsiasi: relazione tra convergenza assoluta e convergenzasemplice (c.d. vedi nota integrativa) Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Serie somma e suaconvergenza/divergenza.4. FUNZIONI: LIMITI E CONTINUITÁ Definizione di funzione. Insieme di definizione o dominio,insieme immagine o codominio. Grafico di una funzione, funzioni limitate, funzioni pari o dispari, funzioniperiodiche. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche (o biettive). Limiti (anche destro e sinistro), continuitá,asintoti (verticali, orizzontali, obliqui). Funzioni monotone e loro relazione con invertibilitá (c.d. vedi notaintegrativa), limiti e continuitá. Discontinuitá di salto: gradino di Heaviside. FUNZIONI ELEMENTARI:funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche ed iperboliche. Continuitá della funzionesin x su R (c.d. vedi nota integrativa) Alcune elementari operazioni sul grafico di una funzione. Funzionicomposte e funzione inversa. Le funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Funzioni iperboliche inverse.Funzioni continue e loro proprietá: teorema di esistenza degli zeri (c.d.), teorema di Weierstrass, teoremadei valori intermedi (c.d.). Proprietá fondamentali dei limiti: confronto, permanenza del segno, algebra deilimiti. Cambio di variabile nel calcolo del limite e continuitá della funzione composta (c.d.). Limiti notevoli.Gerarchia degli infiniti e stime asintotiche.5. CALCOLO DIFFERENZIALE Definizione di derivata e suo significato geometrico. Retta tangente algrafico della funzione. Relazione tra derivabilitá e continuitá (c.d.). Algebra delle derivate (somma/prodotto(c.d.)/quoziente). Regola della catena (c.d.). Regola di derivazione delle funzioni inverse. Punti angolosi,flessi o punti a tangente verticale, cuspidi. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat (c.d.).Punti stazionari. Massimi e minimi relativi ed assoluti, flessi a tangente orizzontale. Ricerca degli estremidi una funzione. Teorema del valor medio o di Lagrange (c.d.). Test di monotonia (c.d.) Applicazione:monotonia di “alcune” successioni. Teorema di caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Teorema di1

2De l’Hospital (c.d.). Applicazione: la gerarchia degli infiniti (dimostrazione alternativa dei primi due limiti).Derivate di ordine superiore. Funzioni concave e convesse e loro posizione rispetto a rette tangenti e secanti.Punti di flesso (a tangente anche obliqua). Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano (c.d. almenoper n = 2, vedi nota integrativa). Sviluppi di Mac Laurin delle funzioni elementari: e x , senx, cosx, ln(1 + x);saperne dedurre lo sviluppo di Mac Laurin ad esempio delle funzioni ln(cosx), senxxe (senx) 2 . Applicazioni:calcolo dei limiti in presenza di forme indeterminate, criteri per i punti di massimo e minimo (enunciati innota integrativa). Studio del grafico di una funzione. Potenza di binomio e coefficienti binomiali. La formuladi Newton (c.d. vedi nota integrativa) Serie di Taylor: sviluppabilitá. Sviluppi in serie di Mac Laurindelle funzioni esponenziale, seno, coseno e logaritmo. Serie a termini complessi. Esponenziale complesso.Formula di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso. Valore principale del logaritmo complesso.Elevamento a potenza complessa.6. INTEGRALI Definizione di integrale (definito) di funzioni continue di una variabile. Significato geometrico:area del rettangoloide. Proprietá degli integrali: linearitá e monotonia rispetto all’ integranda,additivitá rispetto all’intervallo di integrazione. Relazione tra l’integrale del valore assoluto di una funzionee il valore assoluto dell’integrale della funzione (c.d. vedi nota integrativa) Teorema fondamentaledel calcolo integrale (c.d.) Funzioni primitive e integrali indefiniti. Alcuni integrali fondamentali. Metodidi integrazione per parti e per sostituzione (c.d.). La funzione integrale. Secondo teorema fondamentaledel calcolo integrale (c.d.) Teorema della media (c.d.) Estensione della definizione di integrale a funzionicontinue a meno di un numero finito di punti. Integrabilitá di funzioni illimitate o di funzioni su intervalliillimitati. Criteri di integrabilitá al finito e all’infinito. Funzioni assolutamente integrabili. Applicazione:una nuova dimostrazione della convergenza/divergenza della serie armonica generalizzata. Integrazione difunzioni razionali. Alcune sostituzioni speciali: integrazione di funzioni trigonometriche e irrazionali.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Equazioni differenziali a variabili separabili: teoremadi esistenza ed unicitá per il problema di Cauchy associato. Equazioni differenziali lineari: teoremadi esistenza ed unicita’ per il problema di Cauchy associato. La struttura dell’integrale generale (c.d. vedinota integrativa). Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Formula risolutiva (c.d.). Equazionidifferenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: l’integrale generale dell’ equazione omogenea(per il tramite dell’equazione caratteristica), l’integrale generale dell’ equazione completa (per il tramite delmetodo di somiglianza o del metodo di variazione delle costanti). Applicazione: vibrazioni meccaniche libere,smorzate o forzate. Il fenomeno della risonanza.8. FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Insieme di definizione. Definizione di insiemeaperto, insieme chiuso, insieme limitato o illimitato del piano. Proprietá topologiche degli insiemi apertie chiusi: unione e intersezione di aperti o chiusi. Distanza di due punti nel piano. Coordinate polarinel piano. Definizione di limite. Unicitá del limite. Operazioni sui limiti. Funzioni continue. Derivateparziali. Gradiente di una funzione. Derivata direzionale. Differenziabilitá. Relazione tra differenziabilitá econtinuitá (c.d.) Il teorema del differenziale totale. Relazione tra derivate parziali e derivate direzionali perfunzioni differenziabili: la formula del gradiente (c.d.). Piano tangente al grafico della funzione. Relazionetra differenziabilitá ed esistenza del piano tangente.