PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 1 Corso di laurea in ...

2De l’Hospital (c.d.). Applicazione: la gerarchia degli infiniti (dimostrazione alternativa dei primi due limiti).Derivate di ordine superiore. Funzioni concave e convesse e loro posizione rispetto a rette tangenti e secanti.Punti di flesso (a tangente anche obliqua). Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano (c.d. almenoper n = 2, vedi nota integrativa). Sviluppi di Mac Laurin delle funzioni elementari: e x , senx, cosx, ln(1 + x);saperne dedurre lo sviluppo di Mac Laurin ad esempio delle funzioni ln(cosx), senxxe (senx) 2 . Applicazioni:calcolo dei limiti in presenza di forme indeterminate, criteri per i punti di massimo e minimo (enunciati innota integrativa). Studio del grafico di una funzione. Potenza di binomio e coefficienti binomiali. La formuladi Newton (c.d. vedi nota integrativa) Serie di Taylor: sviluppabilitá. Sviluppi in serie di Mac Laurindelle funzioni esponenziale, seno, coseno e logaritmo. Serie a termini complessi. Esponenziale complesso.Formula di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso. Valore principale del logaritmo complesso.Elevamento a potenza complessa.6. INTEGRALI Definizione di integrale (definito) di funzioni continue di una variabile. Significato geometrico:area del rettangoloide. Proprietá degli integrali: linearitá e monotonia rispetto all’ integranda,additivitá rispetto all’intervallo di integrazione. Relazione tra l’integrale del valore assoluto di una funzionee il valore assoluto dell’integrale della funzione (c.d. vedi nota integrativa) Teorema fondamentaledel calcolo integrale (c.d.) Funzioni primitive e integrali indefiniti. Alcuni integrali fondamentali. Metodidi integrazione per parti e per sostituzione (c.d.). La funzione integrale. Secondo teorema fondamentaledel calcolo integrale (c.d.) Teorema della media (c.d.) Estensione della definizione di integrale a funzionicontinue a meno di un numero finito di punti. Integrabilitá di funzioni illimitate o di funzioni su intervalliillimitati. Criteri di integrabilitá al finito e all’infinito. Funzioni assolutamente integrabili. Applicazione:una nuova dimostrazione della convergenza/divergenza della serie armonica generalizzata. Integrazione difunzioni razionali. Alcune sostituzioni speciali: integrazione di funzioni trigonometriche e irrazionali.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Equazioni differenziali a variabili separabili: teoremadi esistenza ed unicitá per il problema di Cauchy associato. Equazioni differenziali lineari: teoremadi esistenza ed unicita’ per il problema di Cauchy associato. La struttura dell’integrale generale (c.d. vedinota integrativa). Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Formula risolutiva (c.d.). Equazionidifferenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: l’integrale generale dell’ equazione omogenea(per il tramite dell’equazione caratteristica), l’integrale generale dell’ equazione completa (per il tramite delmetodo di somiglianza o del metodo di variazione delle costanti). Applicazione: vibrazioni meccaniche libere,smorzate o forzate. Il fenomeno della risonanza.8. FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Insieme di definizione. Definizione di insiemeaperto, insieme chiuso, insieme limitato o illimitato del piano. Proprietá topologiche degli insiemi apertie chiusi: unione e intersezione di aperti o chiusi. Distanza di due punti nel piano. Coordinate polarinel piano. Definizione di limite. Unicitá del limite. Operazioni sui limiti. Funzioni continue. Derivateparziali. Gradiente di una funzione. Derivata direzionale. Differenziabilitá. Relazione tra differenziabilitá econtinuitá (c.d.) Il teorema del differenziale totale. Relazione tra derivate parziali e derivate direzionali perfunzioni differenziabili: la formula del gradiente (c.d.). Piano tangente al grafico della funzione. Relazionetra differenziabilitá ed esistenza del piano tangente.