Diffusione della luce e dei raggi X in silice amorfa - La Sapienza

222.3. LA QUANTIZZAZIONE DELLE VIBRAZIONI ATOMICHE:IL CONCETTO DI FONONEpropagazione del suono nei cristalli. In molti testi di fisica dei solidi si trovascritto che due di queste hanno polarizzazione −→ ε (k, j) ortogonale al vettored’onda k e sono perciò dette trasversali, mentre la rimanente è polarizzataparallelamente a k e viene pertanto detta longitudinale. In realtà questo èvero rigorosamente solo in alcuni casi, infatti anche per un cubico semplicela polarizzazione della branca [5] dipende da k.In un cristallo con r > 1 sono sempre presenti le tre branche acustiche,mentre tutte le altre 3(r − 1) vengono dette ottiche in quanto si può dimostrareche modulano il momento di dipolo (manifestando quindi attivitàottica) lasciando invariata, per k = 0, la posizione del baricentro della cella.2.3 La quantizzazione delle vibrazioni atomiche:il concetto di fononeLe variabili di scostamento scritte nella forma (2.10) possono essere quantizzatesemplicemente imponendo le regole di commutazione usuali dellameccanica quantistica[û α l , ̂p β l ′ ]= i¯hδll ′δ αβ (2.11)in cui p è il momento coniugato al corrispondente spostamento e il simbolo”̂” indica che le grandezze sono operatori quantistici.Introducendo gli operatori di campo fononico â k,je â † definiti a partirek,jda ̂Q k,j e dal momento coniugato ̂P k,j attraverso le relazioni 1̂Q k,j (t) =√ ¯h (â †2ω (t) + â −k,j k,j (t)) = √ ¯hÂk,j (t) (2.12)k,j2ω k,ĵP k,j (t) = i√¯hωk,j2(√¯hωk,jâ † (t) − â −k,j k,j (t)) = i2̂B k,j(t)1 La definizione degli operatori di campo fononico è del tutto analoga a quella data nelcaso del campo elettromagnetico con l’unica differenza che qui le coordinate di campo sonodelle ”vere coordinate” e la loro evoluzione è solo approssimativamente quella dell’oscillatorearmonico. Al contrario la radiazione elettromagnetica può essere rappresentataattraverso coordinate di campo che obbediscono esattamente all’equazione differenzialedell’oscillatore.22