Leibniz: Arithmetische Kreisquadratur 1673--1676 - Gottfried ...

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allgemeinen Form (prop. VII) in N. 14 und gibt für ihn einen klassischen Widerspruchsbeweis.
Der speziellere Segmentsatz (prop. VIII) erscheint bereits in N. 1 und geht auf
die infinitesimalmathematischen Studien von 1673 zurück (vgl. VII, 4). Die prop. IX–XI
sind Anwendungen von prop. VII und stellen weitere Beziehungen zwischen einzelnen
Flächen der ursprünglichen und der durch die Transmutation erzeugten Kurve her.
Der Abschnitt der Anwendungen auf spezielle Kurven bzw. Kurventypen beginnt
mit zwei Sätzen zur Zykloide: Die Quadratur der Retorta der Zykloide (prop. XII) geht
auf N. 20 und 30 zurück, die Quadratur eines speziellen Zykloidensegments (prop. XIII)
hat Leibniz auf andere Weise bereits 1673 bewiesen (VII, 4 N. 17). Dies gilt auch für
die folgende prop. XIV über den Sekans, die besagt, dass die Flächen unter der Kurve
den Winkeln der zugehörigen Kreissektoren proportional sind (vgl. VII, 4 N. 34). Die
Satzgruppe prop. XV–XXV befasst sich mit der Quadratur der einfachen analytischen
Kurven, also vor allem der höheren Hyperbeln und Parabeln. Leibniz hebt im Scholium
nach prop. XXV hervor, dass er diese bekannten Quadraturen als Erster streng und
umfassend beweist. Ansätze für die Einbeziehung dieses Themas in die Abhandlung zur
Kreisquadratur finden sich schon in III, 1 N. 73, besonders hinsichtlich der Quadratur
der höheren Parabeln, die für die Quadratur der Terme der Kreisreihe erforderlich ist
(prop. XXIV–XXV). Neu hinzugekommen ist hier ab N. 20 vor allem die Behandlung
der Quadratur unendlich langer Figuren endlichen Flächeninhalts (prop. XX–XXIII). Im
Scholium zu prop. XXIII verteidigt Leibniz den Einsatz fiktiver unendlich kleiner und
unendlicher Größen, den er für weniger fehleranfällig hält als die Indivisiblenmethode.
Im dritten Teil befasst sich die erste Hälfte der Sätze mit der Anwendung der Transmutation
auf den Kreis. Zunächst formuliert Leibniz die Verhältnisgleichung zur Summe
der geometrischen Reihe (prop. XXVI), die er bereits Ende 1672 in III, 1 N. 2 verwendet.
Die prop. XXVII–XXIX befassen sich dann mit der figura segmentorum des Kreises. Um
deren Ordinate auszudrücken, verwendet Leibniz seit N. 1 eine Verhältnisgleichung. In
N. 28 variiert er diese Formel, wobei ihm ein Fehler unterläuft, den er in prop. XXVII
zunächst übernimmt und dann korrigiert. Die prop. XXX–XLIII sind der Herleitung der
Kreisreihe, dem Vergleich mit anderen unendlichen Reihen, z. B. für die Hyperbel, gewidmet
und gipfeln in der Formel für die allgemeine Kegelschnittreihe (prop. XLIII), die
auf N. 31 zurückgeht. Leibniz teilt sie Oldenburg in seinem Brief vom 27. August 1676
mit (III, 1 N. 892 S. 575). In prop. XXXIV bezeichnet Leibniz die Kreisreihe als Differenz
zweier harmonischer Reihen. Im modernen Sprachgebrauch ist dies nicht zulässig, da die
beiden harmonischen Reihen divergieren. Nach der Auffassung von Leibniz sind jedoch
selbst konvergente unendliche Reihen nie als Ganzes gegeben, und ihre Summen stellen