Leibniz: Arithmetische Kreisquadratur 1673--1676 - Gottfried ...

N. 1 arithmetische kreisquadratur 1673–1676 13
construxerit neque numeris sive rationalibus sive surdis exacte exhibuerit, inter se fore
ut numeros rationales.
C o n t i n u a t i o D e m o n s t r a t i o n i s T h e o r e m a t i s I I I
Lemmate ergo praecedente demonstrato, ad Theorematis ipsius III tii demonstrationem,
nihil aliud desideratur, quam ut ostendamus, si in fig. 4. curva ACF BBL sit arcus 5
circuli, AD tangens in A, et AE axis, diametri portio; tunc Curvae Resectarum terminatricis,
AπδS, relationem ad omnia puncta Lineae Rectae AT , vel quod eodem redit,
parallelae ejus SW , aut perpendicularium AW , T S. ejusmodi aequatione exprimi posse,
quae patiatur ut sumtis in Trilineo AT SδπA[,] T S velut basi, AT velut altitudine et
A∆ = AD = Eδ, resectis Circuli, v e l u t a b s c i s s i s (y), 〈AE =〉∆δ = A〈G〉 sinubus 10
ve〈rsis ad〉 Resectas respondentibus; v e l u t a p p l i c a t i s (〈x〉) hujus F i g u r a e
R e s e c t a r 〈 u m 〉 AδδEA ad Rectangulum Aδ. complementi Aδδ∆A ut inquam, his
factis valor ipsius x absolute ac pure sine asymmetria enuntietur; vel quod idem est, ut
magis Geometrice ac minus Algebraice loquamur, nihil aliud requiritur quam ut ostendamus
positis abscissis, A∆ v. g. AΥ et AΠ ut commensurabilibus, etiam applicatas ∆δ, 15
v. g. Υ et Ππ fore commensurabiles. Hoc enim ostenso sequetur per Lemma 2. etiam portiones
complementi Figurae Resectarum abscissas, Aδ∆A, v. g. AΥA et AπΠA fore commensurabiles.
Cumque etiam rectangula Aδ v. g. A, Aπ quippe ex commensurabilibus
facta, sint commensurabilia, ipsae portiones figurae Resectarum, quippe differentiae inter
commensurabilia, complementa nimirum et Rectangula erunt commensurabiles, quare, 20
et Segmenta ACA, ACF A, etc., quorum dupla portionibus figurae resectarum aequalia
sunt commensurabilia erunt.
Aequationem autem quae ipsius x valorem pure atque absolute exprimat, haberi
posse, sic ostendo: Demonstratum est T h e o r e m a t e 2. resectam circuli esse ad radium,
ut sinus versus est ad sinum rectum. Posito ergo Resectam circuli AD = A∆ sive 25
abscissam complementi figurae Resectarum esse = y, Radium circuli esse a. sinum versum
AE esse x. erit ex natura circuli sinus rectus EB = √ 2ax − x 2 , et sequetur ex theor.
1 neqve . . . exhibuerit erg. L 6 portio; (1) resectaeqve (a) sint ut numeri (b) AD (aa) vel (bb)
= Eδ (aaa) sint ut (bbb) v. g. (aaaa) AI ad A (bbbb) AI = H ad AP = Rπ, ut numerus ad numerum
(2) f i g u r a R e s e c t a r u m (3) tunc L