Skyrius 3 Bulio funkcijos - techmat.vgtu.lt

¢¢ £¥§¢ ¨ ¢ £© § ¥§¢ ¨£© ¤© ¤¡§ ©¡ ¢ £ ¡ ¢©¨¤¡§ ©¡ ¢ £ ¡ ¢©¨ © ¥¤¡ ¢ £© ¤¡ ¢£ © ¨§¡ ¢ ¨£© §¡ ¢ ¨ ©©¡§ © ¤¡§ © ¤¡§ © ¤¡ §¤© ¤ ©¡ ¥¤£¡¡3.4. PILNOSIOS FUNKCIJŲ SISTEMOS 15Todėl egzistuoja toks rinkinys ¥¤¥¥¦¤ , kad £ ¨¥¤ ¥¥¦¤ ¡ . Apibrėžkimefunkcija˛¢ £ ¥§¢ ¨ ¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¦¤ ¥¥¦¤ ¢ £ ¡ ¢ ¨ © ¤¡ ¢ £ © §¡ ¢ ¨ ¦¡ Parodykime, kad funkcijaTurime ¢ £©§ ¥§¢ ¨ ©¤ ©¤¡§ ¦£ ¢ £©§¤ ¡ ¢ ¨ ©¤ ©¤¡ ¢ £ ©§¤ ©§¡ ¢©¨ ©¤ ©¨¢ £ ¡ ¢ ¨© © © ¢ £ ¡ ¢©¨Bendruoju atveju nustatyti funkciju˛sistemos pilnuma˛leidžia Posto 5 teorema.TeoremaBulio funkciju˛sistema yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po viena˛funkci-£ją, nepriklausančią kiekvienai klasei , ¤£ , , £¢ , ¢¡ , t. y. galima nurodyti bent£ £ ¤ (¥¡ ¥¦¡¥§¦ ¥¢¥©¨ jei neturi nė vienos nekeičiančios nulio £ £ £ £ £¢¡§£¡ £¥¤¢ ¦¡tokias¥¦¡¥§¦ ¥©¨ £¥¦¡¥§¦ ¥¢( ¤ ¥©¨ ),¡kad viena˛funkcija˛kuri nėra nekeičianti nulio, nėra nekeičianti vieneto ir t. t.Įrodymas. Būtinumas. Tarkime, kad ) (pavyzdžiui,funkcijos, tai ) ir sistema yrapilnoji. Tada yra visu˛Bulio funkciju˛aibė. Bet , o nesudaro visųBulio funkciju˛aibės. Taigi gavome prieštaravima˛ir būtinumas įrodytas.Pakankamumas. Kadangi () tai galima rastifunkcijas¡ £Įrodykime, kad šios penkios funkcijos leidžia išreikšti funkcijas ¢ ir ¢ £ ¡ ¢ ¨ , t. y. irvisas Bulio funkcijas.1) Konstantu ˛ ¡ ir konstravimas. ¥¥§¢ ¡¥¦¡¥¥¦¡ ¡ ¢¥§¢ ¢ ¡ £¡¥¦¡¥¥¦¡ ¢¢ ¡¥¦¡¥¥¦¡ ¢ Tarkime . Galimi du atvejai: . Tada– konstanta. Antraj ˛ a˛konstanta˛gauname . Antruojuatveju . Tada . Taikome funkcijai pirmaj ˛ a˛lema˛irgauname konstanta. ˛ Kadangi mes turime funkcija ¢ ˛ , gauname ir kita˛konstanta.˛2) Turime konstantas ¡ , ir taikome ¢ funkcijai antraj ˛ a˛lemą. Gauname funkciją¢ .¡ ¥ £ ¡¡ ¥ ¢ ¡£¢¥ ¡¡¢¡¤£¥ 5 Emil Leon Post (1897 – 1954) – amerikiečių matematikas ir logikas.