2. Berekening van Waarskynlikheid 2.1 Waarskynlikheid ... - AdMaths

2. Berekening van Waarskynlikheid
As al die uitkomste van ‘n aktiwiteit ewekansig is, kan die waarskynlikheid dat die
gebeurtenis sal plaasvind deur die volgende formule bereken word:
n( A)
P(A) = , waar A = Gebeurtenis en S = Steekproefruimte
n( S )
In die praktyk wanneer ‘n eksperiment uitgevoer word, praat ons ook van die
Relatiewe Frekwensie.
Relatiewe Frekwensie = die werklike aantal kere wat die uitkoms voorkom
die aantal pogings
Die Waarskynlikheid is nie noodwendig dieselfde as die Relatiewe
Frekwensie nie.
Hoe meer kere ‘n eksperiment uitgevoer word, hoe nader kom die Relatiewe
Frekwensie aan die Waarskynlikheid.
Bv. die waarskynlikheid om ‘n skoppens uit ‘n pak kaarte te trek is 1
of 25%,
maar dit is slegs ‘n verwagting. In die praktyk sal elke vierde kaart egter nie
‘n skoppens wees nie. Hoe meer keer ‘n kaart getrek word, hoe nader sal die
Relatiewe Frekwensie aan 25% kom.
2.1 Waarskynlikheid van Enkel Gebeurtenisse
Eksperiment: Gooi van ‘n dobbelsteen S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Gebeurtenis A = kry ‘n getal minder as 3
Gebeurtenis B = kry ‘n 8
Gebeurtenis C = kry ‘n getal minder as 7
n( A)
2 1
P(A) = = = (ewekansige gebeurtenis)
n( S ) 6 3
n( B ) 0
P(B) = = = 0 (onmoontlike gebeurtenis)
n( S ) 6
n( C ) 6
P(C) = = = 1 (seker gebeurtenis)
n( S ) 6
2.2 Waarskynlikheid van Komplemente
Eksperimenrt: Gooi van ‘n dobbelsteen S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Gebeurtenis D = kry ‘n 4
Gebeurtenis E = kry ‘n priemgetal
4
1

P(nie D) = 1 – P(D) P(E' ) = 1 – P(E)
= 1 - 1
6
= 5
6
3
= 1 -
6
3
=
6
= 1
2
2.3 Waarskynlikheid van Gebeurtenisse verbind met “en”
bv. (D en F) . Ons kan dit ook skryf as P(D F)
Eksperiment: Gooi van ‘n dobbelsteen S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Gebeurtenis D = kry ‘n 4
Gebeurtenis E = kry ‘n priemgetal
Gebeurtenis F = kry ‘n ewe getal
P(D en F) = n(D en F) = 1
6
n(S)
P(D en E) = 0 omdat D en E onderling uitsluitende gebeurtenisse is
Definisie van onderling uitsluitende gebeurtenisse:
As A en B onderling uitsluitende gebeurtenisse is, dan is P(A en B) = 0
OF
As P(A en B) = 0, dan is A en B onderling uitsluitende gebeurtenisse
2.4 Waarskynlikheid van gebeurtenisse verbind deur “of” bv.
(D of F)
Eksperiment: Gooi van ‘n dobbelsteen S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Gebeurtenis D = kry ‘n 4
Gebeurtenis E = kry ‘n priemgetal
Gebeurtenis F = kry ‘n ewe getal
P(D of E) = P(D) + P(E) …………[OPTELREËL VIR
ONDERLING UITSLUITENDE
GEBEURTENISSE]
= 1
6
+ 3
6
= 4
6
= 2
3
2

P(D of F) = P(D) + P(F) – P(D en F) ..[ OPTELREËL VIR NIE
ONDERLING UITSLUITENDE
GEBEURTENISSE]
= 1
6
+ 3
6
- 1
6
= 3
6
= 1
2
LET WEL: As jy “of”sien, beteken dit jy moet altyd optel.
P(A of B) beteken P(A B)
Voorbeeld: In ‘n klas van 36 leerders in ‘n seunsskool, speel 20 krieket,
26 speel rugby en 4 speel nie krieket of rugby nie.
Indien ‘n leerder ewekansig gekies word, bereken die
waarskynlikheid dat hy:
S
1. rugby en krieket speel
2.
3.
slegs krieket speel
nie rugby of krieket speel nie
C R
4. rugby speel of krieket speel
5. nie rugby speel nie
6
14 12
Oplossing: n(S) = 36
Gebeurtenis C = speel krieket
Gebeurtenis R = speel rugby
Hierdie gebeurtenisse is nie onderling uitsluitend nie.
1. P(R en C) = n(R en C) = 14
36
n(S)
2. P(slegs krieket) =
n(slegs krieket)
n(S)
3. P(nie krieket of rugby nie) =
= 7
18
4
36 =
= 6 1
=
36 6
1
9
4
3

4. P(C R) = P(C) + P(R) – P(C R)
5. P(R') = 1 – P(R)
= 1 - 26
36
= 10
36
= 5
18
= 20 26 14
+ -
36 36 36
= 32
36
= 8
9
[of net 10
36
Oefening 2 (Gebruik Venn Diagramme waar nodig)
1
[ of net 1 - ] …..vanaf 3
9
vanaf Venn Diagram]
1. ‘n Standaard pak kaarte word goed geskommel en een kaart word getrek.
Gebeurtenis K = die kaart is ‘n Heer(Koning)
Gebeurtenis H = die kaart is ‘n Hartens
Gebeurtenis QS = die kaart is ‘n Vrou(Queen) van Skoppens(Spades)
Bepaal die volgende(vereenvoudig):
1.1 P(K) 1.2 P(H) 1.3 P(QS)
1.4 P(steekproefruimte) 1.5 P(nie H) 1.6 P(nie QS)
1.7 P(K en H) 1.8 P(K en QS) 1.9 P(K of QS)
1.10 P(K of nie H)
2. 300 motors is geparkeer in ‘n parkeergebied. 145 van hierdie motors is
Toyotas.
Wat is die waarskynlikheid dat die eerste motor wat die parkeergebied
verlaat ‘n …
2.1 Toyota is? 2.2 nie ‘n Toyota is nie?
3. Luzaan het 14 enkel sokkies in ‘n laai. Tussen hulle is vier blou en drie wit
sokkies. Bepaal die waarskynlikheid dat die eerste sokkie wat van die laai
geneem word ,die volgende kleur is…
3.1 blou 3.2 nie blou nie 3.3 wit
3.4 nie wit nie 3.5 blou of wit 3.6 nie blou of wit nie
4

4. ‘n Partytjie is deur 26 persone bygewoon. Lemoenkoeldrank (L) en
Coke (C) was beskikbaar vir die gaste. Almal het van hierdie koeldrank
gedrink. Nege gaste het slegs Lemoenkoeldrank gedrink en 12 het slegs
Coke gedrink. As ‘n ewekansige gas gekom het om nog ‘n koeldrank te
kry, wat was die waarskynlikheid dat die persoon vir die volgende sou
vra…
4.1 Coke? 4.2 Lemoen? 4.3 Coke of Lemoen?
5. ‘n Houer met 20 gekleurde lekkers word tussen vriende gedeel. In die
houer is daar 4 geel, 5 oranje, 2 groen, 3 swart en 6 rooi lekkers.
5.1 Stefan neem ‘n lekker sonder om te kyk. Wat is die
waarskynlikheid dat hy ‘n oranje of groen lekker sal neem?
5.2 Amber hou nie van swart en oranje lekkers nie, maar sy hou van al
die ander soorte. Wat is die waarskynlikheid dat sy ‘n lekker sal
kry waarvan sy hou?
6. Kaarte word van 1 tot 18 genommer en in ‘n houer geplaas en geskud.
‘n Kaart word getrek en dan weer teruggesit.
Mr V
6.1 Skryf neer die volgende gebeurtenisse:
O = onewe getal word getrek
F = faktor van 9 word getrek
M = veelvoud van 3 word getrek
6.2 Stel O, F en M in ‘n Venn Diagram voor.
6.3 Bereken P(O).
6.4 Bereken P(O en F).
6.5 Bereken P(O of F).
6.6 Bereken P(M).
6.7 Bereken P(M en F).
6.8 Bereken P(M of F of O).
6.9 Bereken die waarskynlikheid dat die nommer wat getrek word nie
onewe is nie, nie ‘n faktor van 9 is nie en nie ‘n veelvoud van 3 is
nie.
5