Kijken en Zien - Bètasteunpunt Utrecht

Hoofdstuk 3. Donkeradaptatie Kijken en Zien!
dp/dt is de afgeleide van p naar de tijd (t). Dit kan ook geschreven worden als p t+1, p’(t) of ∆p.
De uitdrukking dp/dt duidt de verandering per tijdseenheid van de hoeveelheid ongebleekte
pigment moleculen aan. Je kunt in bovenstaande functie (5) de functies voor absorptie (3) en
regeneratie (4) invullen. Hiermee vind je de verandering door absorptie en regeneratie per
tijdeenheid. Het invullen van de functies levert de volgende differentiaalvergelijking op:
dp /dt = - a * p + r * (1-p) = r - (a + r) * p (6)
Je hebt nu een formule die weergeeft hoe de fractie ongebleekt pigment verandert in de tijd. Je
kunt nu voorspellingen doen over de hoeveelheden ongebleekt pigment in bepaalde situaties.
3.3.4. Dezelfde lichtsterkte
Als je lang in dezelfde lichtsterkte verblijft dan raken regeneratie en absorptie in evenwicht. Dan
verandert de hoeveelheid ongebleekt pigment niet meer.
Vraag 3-3 Wat betekent dat voor de waarde van dp /dt?
Je kunt dan onderstaande vergelijking opstellen.
r = (a + r) * p (7)
De fractie ongebleekt pigment (p) is dan:
p = r / (a + r) (8)
3.3.5. Van licht naar donker
Wanneer je enige tijd in een felle lichtbron kijkt is de fotonenstroom (n) heel groot, omdat de
absorptiecoëfficiënt (a) afhankelijk is van n is a ook heel groot. Dat betekent dat a >>> r. In dat
geval is vrijwel al het pigment gebleekt en kunnen we zeggen dat:
p ≈ 0 (9)
op dat moment geldt (zie 6):
dp /dt = r (10)
Als je op dat moment het licht uitdoet, zodat de fotonenstroom (n) nul wordt, dan zal de
absorptiecoëfficiënt (a) ook nul worden. Er zijn immers geen fotonen meer om te absorberen. De
differentiaalvergelijking kan je dan vereenvoudigen tot (zie 6):
dp /dt = r – r * p (11)
3.4 Verwerkingsopgaven
Vraag 3-4 Wat is de oplossing van differentiaalvergelijking (11)?
We kunnen een oplossing in een paar stappen vinden.
a De oplossing is een functie van de tijd, p = f(t). Die functie f(t) voldoet aan de
differentiaalvergelijking mits de afgeleide van f(t) dezelfde functievorm heeft als f(t) zelf, dus
df(t)/dt = f(t). Welke functie ken je die, die eigenschap heeft? Als je het niet weet laat je nog
even gewoon f staan met als eigenschap: df(t)/dt = k * f(t), waarin k een willekeurige
constante is.
b Vervang p door f(t) in (11) en bewijs dat dit geen goede oplossing is.
c Zou een iets ingewikkelder functie zoals g(t) = m + f(t), waarin m een constante is, aan de
differentiaalvergelijking kunnen voldoen? Als dat correct is moeten de constanten ‘k’ en ‘m’ uit
te drukken zijn in de absorptie en de regeneratiecoëfficiënten van de differentiaalvergelijking (r
en a). Wat is de afgeleide van g(t)?
d Stel dat gelijk aan g(t) en vindt een uitdrukking voor k en m.
e Formuleer nu de oplossing van de differentiaalvergelijking als p = ...
f Wat is de beginwaarde van p? Dat wil zeggen p(t) wanneer t=0.
g Wat is de eindwaarde van p? Dat wil zeggen p(t), wanneer t → oneindig.
h Hoe lang duurt het voor de hoeveelheid ongebleekt pigment terug is op 67% van het totaal?
Dus op welk tijdstip ‘t’ geldt: p(t) = 0.67 * p(oneindig)?
26