De sleutel in een bewijs

10
Eureka!
2
2 2
2
3 2
2
3 1
De vouwafbeelding υ
• Als de drie hoekpunten alle hetzelfde nummer a hebben,
knijpen we de hele deeldriehoek samen tot hoekpunt a van
∆123.
• Als twee hoekpunten nummer a hebben en de derde b, klappen
we de hele deeldriehoek als een opvouwbare Spaanse
handwaaier dicht tot zijde ab van ∆123.
• Als de drie hoekpunten alle verschillend genummerd zijn,
spannen we de deeldriehoek als een vlies over ∆123 conform
de Spernernummering.
Merk op dat deze samenvouwing ∆ABC nergens scheurt! We
kunnen een Spernernummering van een triangulatie van
∆ABC dus interpreteren als een continue afbeelding υ : ∆ABC
→ ∆123. Het lemma van Sperner zegt dat er altijd minstens één
123−driehoekje in de triangulatie zit. Met andere woorden, er
is minstens één driehoekje dat niet wordt samengeknepen tot
een hoekpunt of zijde, maar dat als een vlies over ∆123 wordt
gespannen. Als we ∆ABC en ∆123 beschouwen als twee kopieën
van een algemene driehoek ∆, vinden we dat de afbeelding υ
nooit een (continue) afbeelding kan zijn van ∆ naar de rand
van ∆. De Brouwer-sleutel was de non-existentie van een
continue afbeelding van ∆ naar de rand van ∆, die beperkt tot
diezelfde rand de identiteit is. Dit is bijna een weerspiegeling
van de Sperner point of view, met dat verschil, dat de gevonden
afbeelding υ : ∆ → ∆ beperkt tot de rand niet de identiteit hoeft
te zijn... De enige observatie die hier nog gedaan moet worden
is de volgende: υ is, beperkt 1tot
de rand van ∆, weliswaar niet
de identiteit, maar is wel homotoop met de identiteit. Hiermee
wordt het volgende bedoeld: als je in ∆ABC van hoekpunt A
Eureka! Universiteit Leiden
v
v
v
1
2
3 2
1
3
2
3 2
3
2
3 2
De vouw-afbeelding v
1
1
over de zijde AB naar hoekpunt B loopt, passeer je alleen maar
Spernernummers 1 en 2; dat is precies de belangrijkste voorwaarde
voor een Spernernummering. Dat betekent precies, dat
υ de zijde AB afbeeldt op de zijde 12 van ∆123, zonder hoekpunt
3 te passeren! Hetzelfde geldt voor de andere twee zijden.
Met andere woorden, als je in ∆ABC één rondje loopt over de
rand, is het beeld van deze wandeling onder υ een wandeling
over de rand van ∆123 die ook precies één keer rond gaat! Het
lemma van Sperner weerspiegelt dus het feit dat er geen continue
afbeelding bestaat van B of ∆ naar zijn rand, die beperkt tot
de rand bijna (d.w.z. homotoop met) de identiteit is.
We vinden dus dat de sleutels in de twee op het eerste gezicht
volkomen verschillende bewijzen nagenoeg dezelfde zijn:
Het is onmogelijk het vlies van een drum (of driehoek) naar de
rand te schuiven en tegelijkertijd ieder punt van het vlies dat op
de rand ligt,
• op zijn plaats te laten (algebraïsche topologie).
• hooguit een klein stukje over de rand te verschuiven
(Sperner).
Hiermee is het doel van dit artikel bereikt. Wat de lezer echter
nog zal intrigeren, is het bewijs van het lemma van Sperner.
Hint: maak een wandeling, startend buiten de driehoek, door
telkens over een 12−zijde heen te stappen tot je vastloopt. Waar
stopt de wandeling als iedere 12−zijde hoogstens één keer
gebruikt mag worden? Succes!
De sleutel in een bewijs
Zijn doctoraalexamen in
de wiskunde haalde Hans
Finkelnberg in 1985 (cum laude)
aan de Universiteit leiden en
hij promoveerde aan dezelfde
universiteit in 1989. de jaren daarna, van 1991 tot
2002, werkte hij aan de middelbare school als docent
wiskunde en informatica en roostermaker. Nu werkt
hij bij een ICT bedrijf dat zich specialiseert in het
maken van roosters en doceert hij enkele vakken bij
de opleiding wiskunde. in zijn vrije tijd is hij bezig met
Jiu-Jitsu.