De sleutel in een bewijs

8
Eureka!
De stelling komt uit de topologie en de eenheidsschijf B mag
vervangen worden door een willekeurige vervorming er van,
onder voorwaarde dat we B, die we even laten bestaan uit
Harry Potter-rubber, niet scheuren, puncteren of met zichzelf
verlijmen. Zo mogen we op de plaats van B ook een driehoek
zetten (met rand en binnendeel) of de kaart van Terschelling.
De stelling zegt dan eigenlijk het volgende: neem een rubberen
kaart van Terschelling, vouw en rek hem willekeurig zonder te
scheuren (dat is de betekenis van de continuïteit van f) en leg
hem vervolgens ergens op Terschelling neer. Dan zegt Brouwer
dat er minstens één punt op de kaart is dat op het punt op
Terschelling wordt neergelegd dat hij op de kaart aanwijst.
De stelling kan op verschillende manieren worden bewezen,
zoals op de masterclass ook is gedaan: met algebraïsche
topologie of met het combinatorische Lemma van Sperner.
Het is niet de doelstelling van dit artikel deze bewijzen te
behandelen, maar te laten zien dat in beide bewijzen dezelfde
’sleutel’ wordt gebruikt, terwijl dat op het eerste gezicht totaal
niet duidelijk is.
De ’sleutel’ van een bewijs
Een bewijs van een stelling van enig niveau is zelden een
monotone technische aanéénschakeling van feiten, gelijkheden
en conclusies. Het fascinerende van zo’n bewijs is juist dat er
een zekere cadans in zit. Vaak is aan te wijzen waar dé sleutelopmerking
wordt gemaakt of hét sleutelfeit wordt gebruikt. Dit
is wat hierboven wordt bedoeld met de ’sleutel’ van een bewijs.
Eureka! Universiteit Leiden
De sleutel in een bewijs
Afgelopen voorjaar is tijdens de jaarlijkse wiskundemasterclass
voor scholieren de bekende Dekpuntstelling
van Brouwer behandeld. De stelling zegt het volgende:
Stelling 1. Zij f : B → B een continue afbeelding van de
eenheidsschijf naar zichzelf. Dan heeft f een dekpunt.
Dat wil zeggen, er bestaat een punt x in B waarvoor
geldt: f (x) = x.
DooR HAnS FInkElnBErG
Het is in de regel niet zo, dat twee verschillende bewijzen van
een stelling altijd gebruik maken van dezelfde ’sleutel’. Bij de
twee bewijzen van Brouwer is dat echter op een bijzonder fraaie
en onverwachte manier juist wel het geval. Laten we eerst eens
kijken naar de sleutels in beide bewijzen.
Brouwer middels algebraïsche topologie
Het belangrijkste onderdeel van dit bewijs is de volgende
observatie. Stel dat Brouwer juist niét geldt. Dan bestaat er dus
een f : B → B met als eigenschap dat voor iéder punt x geldt:
x ≠ f (x). Met behulp van deze afbeelding f maken we een
schaduwafbeelding g van B naar de cirkelrand S1 van B: het
beeld onder g van x krijgen we door in f (x) een lampje te plaatsen.
Juist omdat f (x) altijd een ander punt is dan x, werpt x een
schaduw op de rand van B. Dit schaduwpunt is per
definitie g(x). Wat gebeurt er, als we het schaduwbeeld g(a)
bepalen van een willekeurig punt a dat al op de rand zelf lag?
Juist, dat is a zelf. Met andere woorden, we hebben, uitgaande
van het bestaan van een f zonder dekpunt, een continue afbeelding
g : B → S1 gemaakt die beperkt tot de rand de identiteit
is: voor alle a ∈ S1 geldt: g(a) = a. Tot hier alleen maar wat
technische constructies zonder diepgang. Maar, laten we eens
nadenken over wat g dus eigenlijk doét. Het bestaan van g zegt
dat het volgende mogelijk is: bij een drum met een willekeurig
rekbaar vlies (geleend uit een Harry Potter film) het vlies zó
rekken en verschuiven, dat hij in zijn geheel op de rand komt
te liggen; en dit zónder het vlies te scheuren en zonder hem
los te maken van de rand... Dat dit onmogelijk is, hetgeen met
algebraïsche topologie wordt aangetoond, geeft dan een bewijs
voor Brouwer.
De sleutel in het algebraïsch topologische bewijs van Brouwer
is de onmogelijkheid het rubber van een drum volledig naar de
rand te schuiven/rekken zonder het van de rand los te maken.
Het lemma van Sperner
Voor het lemma van Sperner kijken we naar een (gelijkzijdige)
driehoek ∆ABC met een triangulering. Ieder hoekpunt van
een sub-driehoekje voorzien we van een cijfer uit {1, 2, 3}.