De sleutel in een bewijs

Recommendations

Info

10 Eureka! 2 2 2 2 3 2 2 3 1 De vouwafbeelding υ • Als de drie hoekpunten alle hetzelfde nummer a hebben, knijpen we de hele deeldriehoek samen tot hoekpunt a van ∆123. • Als twee hoekpunten nummer a hebben en de derde b, klappen we de hele deeldriehoek als een opvouwbare Spaanse handwaaier dicht tot zijde ab van ∆123. • Als de drie hoekpunten alle verschillend genummerd zijn, spannen we de deeldriehoek als een vlies over ∆123 conform de Spernernummering. Merk op dat deze samenvouwing ∆ABC nergens scheurt! We kunnen een Spernernummering van een triangulatie van ∆ABC dus interpreteren als een continue afbeelding υ : ∆ABC → ∆123. Het lemma van Sperner zegt dat er altijd minstens één 123−driehoekje in de triangulatie zit. Met andere woorden, er is minstens één driehoekje dat niet wordt samengeknepen tot een hoekpunt of zijde, maar dat als een vlies over ∆123 wordt gespannen. Als we ∆ABC en ∆123 beschouwen als twee kopieën van een algemene driehoek ∆, vinden we dat de afbeelding υ nooit een (continue) afbeelding kan zijn van ∆ naar de rand van ∆. De Brouwer-sleutel was de non-existentie van een continue afbeelding van ∆ naar de rand van ∆, die beperkt tot diezelfde rand de identiteit is. Dit is bijna een weerspiegeling van de Sperner point of view, met dat verschil, dat de gevonden afbeelding υ : ∆ → ∆ beperkt tot de rand niet de identiteit hoeft te zijn... De enige observatie die hier nog gedaan moet worden is de volgende: υ is, beperkt 1tot de rand van ∆, weliswaar niet de identiteit, maar is wel homotoop met de identiteit. Hiermee wordt het volgende bedoeld: als je in ∆ABC van hoekpunt A Eureka! Universiteit Leiden v v v 1 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 De vouw-afbeelding v 1 1 over de zijde AB naar hoekpunt B loopt, passeer je alleen maar Spernernummers 1 en 2; dat is precies de belangrijkste voorwaarde voor een Spernernummering. Dat betekent precies, dat υ de zijde AB afbeeldt op de zijde 12 van ∆123, zonder hoekpunt 3 te passeren! Hetzelfde geldt voor de andere twee zijden. Met andere woorden, als je in ∆ABC één rondje loopt over de rand, is het beeld van deze wandeling onder υ een wandeling over de rand van ∆123 die ook precies één keer rond gaat! Het lemma van Sperner weerspiegelt dus het feit dat er geen continue afbeelding bestaat van B of ∆ naar zijn rand, die beperkt tot de rand bijna (d.w.z. homotoop met) de identiteit is. We vinden dus dat de sleutels in de twee op het eerste gezicht volkomen verschillende bewijzen nagenoeg dezelfde zijn: Het is onmogelijk het vlies van een drum (of driehoek) naar de rand te schuiven en tegelijkertijd ieder punt van het vlies dat op de rand ligt, • op zijn plaats te laten (algebraïsche topologie). • hooguit een klein stukje over de rand te verschuiven (Sperner). Hiermee is het doel van dit artikel bereikt. Wat de lezer echter nog zal intrigeren, is het bewijs van het lemma van Sperner. Hint: maak een wandeling, startend buiten de driehoek, door telkens over een 12−zijde heen te stappen tot je vastloopt. Waar stopt de wandeling als iedere 12−zijde hoogstens één keer gebruikt mag worden? Succes! De sleutel in een bewijs Zijn doctoraalexamen in de wiskunde haalde Hans Finkelnberg in 1985 (cum laude) aan de Universiteit leiden en hij promoveerde aan dezelfde universiteit in 1989. de jaren daarna, van 1991 tot 2002, werkte hij aan de middelbare school als docent wiskunde en informatica en roostermaker. Nu werkt hij bij een ICT bedrijf dat zich specialiseert in het maken van roosters en doceert hij enkele vakken bij de opleiding wiskunde. in zijn vrije tijd is hij bezig met Jiu-Jitsu.
Bescherm wat je bedenkt! De Franse uitvinder Nicéphore Niépce verkreeg al op 20 juni 1807 een tienjarig octrooi op de Pyréolophore, een machine aangedreven door ontbranding van een poeder in een kamer. Deze eerste verbrandingsmotor werkte ook echt, want Niépce bouwde een werkend prototype in een schip. De hier getoonde tekening van de motor vormde de basis van het octrooi dat cruciaal was voor de bescherming van de vinding. De Vries & Metman zorgt ervoor dat ook hedendaagse uitvindingen worden beschermd door octrooien. We bieden advies en begeleiding rond octrooiaanvragen, geheimhoudingsverklaringen, octrooirecherches en octrooi-inbreuk. Ook kunnen wij adviseren over de bescherming van merken en modellen. Heb je een goed idee, neem dan contact met ons op! OVERSCHIESTRAAT 180, 1062 XK AMSTERDAM TEL 020 51 10 930 Fonds documentaire de l’Institut national de la propriété industrielle (www.inpi.fr) NIEUWE STATIONSSTRAAT 10, 6811 KS ARNHEM TEL 026 35 53 160 MAIL@DVME.NL | WWW.DVME.NL
Page 1 and 2: Informatica Natuurkunde Sterrenkund
Page 3 and 4: Inhoud Colofon De sleutel in een be
Page 5 and 6: hoek meet tussen de waarneming van
Page 7 and 8: Geheimschrift na 200 jaar ontcijfer
Page 9: 1 Zo’n nummering noemen we een Sp
Page 13 and 14: dr. Bruce Draine to think there sho
Page 15 and 16: Ken je TOPdesk al? Onthoud deze wer
Page 17 and 18: Afhankelijk van het profiel van het
Page 19 and 20: Frederik Kaiser En de ontwikkeling
Page 21 and 22: De lobby voor een nieuwe sterrenwac
Page 23 and 24: De LeiDsCHe FLesCH De Flesschekamer
Page 25 and 26: De LeiDsCHe FLesCH niet uitermate s
Page 27 and 28: De LeiDsCHe FLesCH slapen. Ik denk
Page 29 and 30: Recensies Recensies Recensies Recen
Page 31 and 32: Puzzel Pijlen De puzzle is deze kee

De sleutel in een bewijs

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?