Kapittel 5

!
!
Test deg selv 5
5.66
Den ukjente siden (hypotenusen) har lengden x meter. Vi bruker setningen til Pytagoras:
x 2 = 3,75 2 + 6,00 2
x = 3,75 2 + 6,00 2
x = 7,075
Den tredje siden har lengden 7,08 m.
(Lengden skal oppgis med tre siffer fordi de to kjente katetene som er utgangspunktet for
utregningen også er oppgitt med tre siffers nøyaktighet).
5.67
For å kunne utføre a) og b) må vi først finne den tredje siden. Den tredje siden er en katet i en
rettvinklet trekant og vi kan derfor bruke setningen til Pytagoras siden vi kjenner lengden til
de to andre sidene. Den ukjente siden har lengden x meter.
a)
x 2 + 35 2 = 57 2
x 2 = 57 2 " 35 2
x = 57 2 " 35 2
x = 44,99
Den tredje sida til tomta har lengden 45 m. (To siffer).
Omkretsen til tomta: 45 m + 35 m + 57 m = 137 m
Gjerdet til tomta blir 137 m.
b)
Arealet til tomta:
g " h
2
Arealet til tomta er 790 m 2 .
= 45m " 35m
2
= 787,5m 2
(Arealet ! til tomta er her oppgitt med to siffers nøyaktighet fordi målene som er utgangspunkt
for utregningene er oppgitt med to siffers nøyaktighet. Skulle dette kommet tydeligere fram
kunne vi ha skrevet 7,9 "10 2 m 2 , men det føles unaturlig her).
5.68
Vi måler lengden til den lengste siden. Vi finner at den er 5,7 cm. I virkeligheten skal den
være 57 m ! = 5700 cm.
Vi får: 5700 cm : 5,7 cm = 1000.
Målestokken til tegningen i oppgave 5.67 er 1 : 1000.
(Fasiten i boka sier 1 : 100 og det er altså feil!)

!
!
5.69
a)
! A = ! F og ! B = ! D og ! C = ! E
BC AB AC 176
f = = = = = 1,63
DE DF EF 108
Sidene i den store trekanten er 1,63 gang lengre enn i den lille.
DF = 70 m! 1,63 = 114m
EF = 46 m! 1,63 = 75m
b) Størrelsesforholdet mellom arealene
2 2
= f = =
1,63 2,66
5.70
a)
Lengdene av sidene i et kvadrat er s og arealet er A1. Vi har da at A1 = s 2 . I et annet kvadrat
med areal A2 er sidene doble så lange som i det første kvadratet. Disse sidene har altså lengde
2s.
Vi får da: A2 = 2s" 2s = 4s 2 = 4 A1 Arealet blir altså fire ganger større hvis vi dobler lengden av sidene.
b) !
Til løsningen av denne oppgaven bruker vi vekstfaktor i forbindelsen med prosentregningen.
En økning av arealet på 50 % tilsvarer en vekstfaktor på 1,5. Vi kaller det første arealet A1 og
det andre A2. Vi har da at A2 = 1,5A1.
2 2
og
.
A 1 = s 1 " s 1 = s 1
Vi får da:
!
A 2 = s 2 " s 2 = s 2
Vi kaller vekstfaktoren sidene øker med når arealet øker med 50 % for f. Vi har da at
A 2 =1,5A 1
s 2 " s 2 =1,5s 1 " s 1
2
fs1 " fs1 =1,5s 1
f 2 2 2
" s1 =1,5s1
f 2 2
" s1 2
s1 f 2 =1,5
f = 1,5
f =1,22
= 1,5s 2
1
2
s1 Vekstfaktoren er 1,22. Det tilsvarer en økning på 22 %.
Hvis arealet av et kvadrat øker med 50 %, øker lengden av sidene med 22 %.
!
s 2 = fs 1 .

!
!
5.71
Figuren er en rettvinklet trekant, men vi kan ikke benytte oss av Pytagoras siden bare lengden
av én side er kjent. Derimot kjenner vi størrelsen på en vinkel utenom den rette. Vi kan derfor
bruke en av de trigonometriske funksjonene. Vi kjenner lengden av hypotenusen og den
ukjente lengden vi skal finne er motstående katet til den kjente vinkelen. Vi kan derfor bruke
sinusfunksjonen til å finne x. Vi får:
x
= sin25°
25
x " 25
= 25 " sin25°
25
x = 25 " sin25°
x =10,57
x er 10,6 m
5.72
Vi kjenner lengden av de to katetene og kan derfor finne tangens til vinkelen v.
Tangens til vinkelen er
v = tan
!
"1 ( 7,5
) = 40,76°
8,7
Vinkelen er 41 grader
5.73
7,5
. Når vi kjenner tangens kan vi finne vinkelen ved hjelp av
8,7
a) Frihåndstegning av ei fyrstikkeske i parallellperspektiv
!
tan "1 .

)
c)
OPPRISS
GRUNNRISS
OPPRISS
GRUNNRISS
SIDERISS
SIDERISS

!
5.74
a)
b)
29,7
= 1, 4 " ! Nei, forholdet mellom sidelengdene er forskjellig fra 1,618.
21
29,7 29,7 ! x
29,7 1,618 ! x
= 1,618 "
= 1,618!
x " =
x
x
1,618 1,618
A4-arket måtte vært 21,0cm – 18,4 cm = 2,6 cm smalere.
5.75
a) Vinklene til en regulær femkant = 180
o
360
! = 108
5
Vinklene til en regulær tikant = 180° " 360°
10 =144°
o o
" x =
18, 4
Prøver en kombinasjon med en tikant: 360° "144° = 216° 216° :108° = 2
Dette ser lovende ut. Det er mulig å lage et fullstendig hjørne med én regulær tikant og
to regulære femkanter. ! Dessverre er det likevel ikke mulig å fylle planet med slike.
Det oppdager en ved prøving.
!
!
Det er ikke mulig å fylle hele planet med regulære fem- og tikanter.
b) Prøver med trekanter og kvadrater.
o
o 360 o
Vinklene til en regulær trekant = 180 ! = 60
3
o
o 360 o
Vinklene til et kvadrat = 180 ! = 90
4
° ° °
2! 90 + 3! 60 = 360 To kvadrater og tre regulære trekanter går.
Prøver med trekanter og sekskanter.
o
o 360 o
Sidekantene til en regulær sekskant = 180 ! = 120
6
° ° °
2! 120 + 2! 60 = 360 To regulære sekskanter og to regulære trekanter går.
(En regulær sekskant og fire regulære trekanter går også).
Prøver med trekanter, kvadrater og sekskanter.
1"120° + 2" 90° +1" 60° = 360°
En regulære sekskant, to regulære firkanter og en regulær trekant går.