Kapittel 1 Algebra

9 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
3.7 Utseende til ein graf
a) f ′ 2
(x) = −
(x + 2) 2 har ingen nullpunkt, altså har grafen ikkje topp- eller botnpunkt. f ′ (x)
er alltid negativ, difor er grafen avtar grafen alltid.
b) f ′ (x) = − 10x
(x 2 + 5) 2 har eitt nullpunkt i x = 0. f ′ (x) er positiv for x < 0 og negativ for x > 0,
altså har grafen eit toppunkt i x = 0.
c) f ′ (x) = ln x + 1 − 1 har eitt nullpunkt i x = 1 (det er ikkje mogleg å finne ved symbolsk
x
rekning; du kan berre finne det ved «prøving og feiling»). Den deriverte er negativ for x < 1
og positiv for x > 1, så det er eit botnpunkt.
d) f ′ (x) = xe x har eitt nullpunkt (i x = 0), og er negativ for x < 0 og positiv for x > 0. Altså er
det eit botnpunkt.
3.8 Såpeboblar
Dersom r er ein funksjon av t kan vi setje V(t) = 4 3 πr(t)3 , og den deriverte vert
V ′ (t) = 4πr 2 r ′ (t)
Vi veit at V ′ (t) = 10, og då vert
r ′ (t) = V′ (t)
4πr 2 = 10
4πr 2
Vi får då r ′ (1) = 10/(4π1 2 ) = 0, 80 (cm/s) og r ′ (5) = 0, 03 cm/s.
3.9 Bakteriekultur
a) Tilveksten er bestemt av den deriverte: f ′ (t) = −0, 072t 2 + 0, 72t. Vi får då f ′ (3) ≈ 1, 512,
f ′ (8) ≈ 1, 152 og f ′ (12) ≈ −1, 728.
b) Det er flest bakteriar når tilveksten er 0 (etter det vert tilveksten negativ, og det vert færre
bakteriar), altså når f ′ (t) = 0. Vi løyser likninga:
−0, 072t 2 + 0, 72t = 0 ⇒ −0, 72t(0, 1t − 1) = 0 ⇒ t 1 = 0 ∨ t 2 = 10
Ut frå føresetnadane i problemformuleringa kan vi berre ha t mellom 1 og 17, så t 2 = 10 er
einaste løysing.
NB! Vi kan også argumentere for at det er færrast bakterier når tilveksten er lik 0. Vi manglar
difor eitt viktig poeng for at argumentasjonen ovanfor er rett. Kva poeng er det
c) Tilveksten er størst når den deriverte av tilveksten er lik 0, altså når f ′′ (t) = −0, 144t + 0, 72 =
0, eller når t = 5. Dette er også ein «lovleg» verdi for t, så vi kan bruke den.
d) No må vi løyse likninga −0, 024t 3 + 0, 36t 2 + 15 milliardar = 0. Dette kan vi (innanfor vårt
pensum) ikkje gjere for hand; vi må bruke kalkulator / datamaskin. Teikn til dømes ein graf
Uansett korleis du gjer det får du t ≈ 16, 53 timar, altså litt over 16 timar og 31 minutt.
«Seksten og ein halv time» er presist nok svar.