Kapittel 1 Algebra

9 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
k) f (x) = ln x
e x
l) f (x) = e3x
x
m) f (x) = ln x + x
ln x − x
3.7 Utseende til ein graf
Undersøk for kvar funksjon om grafen til f (x) har topp- eller botnpunkt, og vis i kva intervall
grafe veks eller avtar (monotonieigenskaper). Teikn ei skisse av grafen.
a) f (x) = 2
x + 2
b) f (x) = 5
x 2 + 5
c) f (x) = (x − 1) · ln x
d) f (x) = (x − 1) · e x
3.8 Såpeboblar
Henta frå coSinus 2mx, utgitt av J.W.Cappelens Forlag AS, 2001
Lille Vigleik blåser såpebobler. Vi forutsetter at såpeboblene er kuleformet, slik at volumet
V er gitt ved V = 4 3 πr3 der radien r er en voksende funksjon av tiden t. Bruk kjerneregelen til
å vise at
V ′ (t) = 4πr 2 r ′ (t)
Tenk deg at Vigleik blåser luft med en fart på 10 cm 3 /s, slik at vekstfarten til V er 10 cm 3 /s.
Finn vekstfarten til r når r = 1 cm og når r = 5 cm.
3.9 Bakteriekultur
Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, 1994.
På eit gitt tidspunkt er det i ein bakteriekultur 15 milliardar bakteriar. Det kjem noko gift
opp i kulturen, og ein kan rekne at talet på bakteriar t timar etter dette er gitt ved
f (t) = −0, 024t 3 + 0, 36t 2 + 15 milliardar.
Denne funksjonen gjeld i tidsrommet frå ein time til 17 timar etter at gifta kom opp i kulturen,
det vil seie for t ∈ [1, 17].
a) Kor stor er tilveksten av bakteriar etter 3 timar Etter 8 timar Og etter 12 timar
b) Når er det flest bakteriar i kulturen
c) Når er tilveksten av bakteriar størst
d) Kor lang tid tar det før talet på bakteriar er redusert til 5 milliardar
3.10 Geometri
Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, 1994.
Gavlen i eit hus har form som ein likebeint trekant med høgd 6 m og grunnlinje 10 m. Vi
skal setje inn eit rektangulært vindauge i gavlen, og ønskjer at vindauget skal ha størst mogleg
flateinnhald.