Signalbehandling Formelsamling

SignalbehandlingFormelsamlingMattias DahlSven Johansson20 augusti 2003Version 1.00Department of Telecommunications and Signal ProcessingBlekinge institute of TechnologySE-372 33 RonnebySweden

Innehåll1 Grundläggande samband och begrepp 31.1 Standardsignaler ............................ 31.1.1 Tidskontinuerligafunktioner.................. 31.1.2 Tidsdiskretafunktioner..................... 31.2 Kretsmodeller SISO (en insignal, en utsignal)Tidsdiskretakretsar........................... 41.2.1 FIR-filter ............................ 41.2.2 IIR-filter............................. 51.2.3 IIRKanoniskform-direktformI ............... 51.2.4 IIR Kanonisk form - direktform II . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Några beräkningsmetoder ....................... 61.3.1 Faltning ............................. 61.3.2 TillståndsbeskrivningavDifferensekvation .......... 61.3.3 Tillståndsekvation ....................... 71.3.4 Systemfunktion......................... 71.4 Analog sinussignal genom linjärt,kausaltfilter............ 81.4.1 Komplex,icke-kausalinsignal ................. 81.4.2 Komplex,kausalinsignal.................... 81.4.3 Reell,icke-kausalinsignal ................... 81.4.4 Reell,kausalinsignal ...................... 81.5 Tidsdiskret sinussignal genom linjärt,kausaltfilter.......... 91.5.1 Komplex,icke-kausalinsignal ................. 91.5.2 Komplex,kausalinsignal.................... 91.5.3 Reell,icke-kausalinsignal ................... 91.5.4 Reell,kausalinsignal...................... 91.6 Fourierserieutveckling.......................... 101.6.1 Kontinuerligtid......................... 101.6.2 Diskrettid............................ 101.7 Fouriertransformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Diskreta Fouriertransformen (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.1 Definition ............................ 111.8.2 Cirkulärfaltning ........................ 121.8.3 Icke-cirkulärfaltningmedDFT ................ 121.8.4 Relation till Fouriertransformen X(f): ............ 121.8.5 RelationtillFourierserier.................... 121.8.6 Parsevalsteorem ........................ 131.9 Några fönsterfunktioner och deras Fouriertransform . . . . . . . . . 142 Sampling av analoga signaler 162.1 Samplingochrekonstruktion...................... 162.2 Distorsionsmått............................. 182.2.1 Vikningsdistorsionvidsampling................ 182.2.2 Periodiseringsdistorsion vid rekonstruktion . . . . . . . . . . 182.3 Kvantiseringsdistorsion......................... 192.4 Decimeringochinterpolering...................... 191

3 Analoga filter 203.1 Filterapproximationer av ideala LP-filter . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.1 Butterworthfilter ........................ 203.1.2 Chebyshevfilter ......................... 223.2 Frekvenstransformationer av analoga filter . . . . . . . . . . . . . . 274 Tidsdiskreta filter 284.1 FIR-filterochIIR-filter......................... 284.2 KonstruktionavFIR-filter....................... 284.2.1 FIR-filter med fönstermetoden................. 284.2.2 EkvirippelFIR-filter ...................... 324.2.3 FIR-filter med minstakvadratmetoden . . . . . . . . . . . . 324.3 Konstruktion av IIR-filter utgående från analoga filter . . . . . . . . 334.3.1 Impulsinvariansmetoden .................... 334.3.2 Bilinjärtransformation..................... 334.3.3 Koefficientkvantisering ..................... 344.4 Latticefilter ............................... 345 Korrelation 366 Spektralskattning 37A Grundläggande samband 41A.1 Trigonometriskaformler ........................ 41A.2 Några ofta förekommandesamband.................. 42A.3 Matristeori................................ 42B Transformer 44B.1 Laplacetransform ............................ 44B.1.1 Laplacetransform av kausala signaler . . . . . . . . . . . . . 44B.1.2 Enkelsidig Laplacetransform av icke-kausala signaler . . . . . 45B.2 Fouriertransform för tidskontinuerlig signal . . . . . . . . . . . . . . 46B.3 Z-transformen.............................. 48B.3.1 Z-transform av kausala signaler . . . . . . . . . . . . . . . . 48B.3.2 Enkelsidig Z-transform av icke kausala signaler . . . . . . . . 49B.4 Fouriertransform förtidsdiskretsignal................. 50B.5 NågraegenskaperhosDFT....................... 522

1 Grundläggande samband och begrepp1.1 Standardsignaler1.1.1 Tidskontinuerliga funktionerT är periodtiden för en perodisk funktion f(t), där t [s] är tidsvariabelVinkelfrekvens Ω = 2πT=2πF [rad/s], F [Hz] är frekvensen.a) Impulsfunktion{+∞ t =0δ(t) =0 t ≠0∫ ∞−∞ δ(t)dt =1x(t)δ(t − a) =x(t − a)δ(t)δ( 1 a )=aδ(t)b) Stegfunktionen u(t) =c) Rampfunktionen r(t) =∫ ∞−∞ x(t)δ(t − a)dt = x(a){1 t ≥ 00 t

a) Enhetspuls δ(n) =b) Enhetssteg u(n) =c) Ramp r(n) ={1 n =00 n ≠0{1 n ≥ 00 n

1.2.2 IIR-filterN∑y(n) =− a k y(n − k)k=11.2.3 IIR Kanonisk form - direktform IN∑M∑y(n) =− a k y(n − k)+ b k x(n − k)k=1k=05

1.2.4 IIR Kanonisk form - direktform IIx(n)+b 0+y(n)+++z -1-a1vbN(n) 1+z -1-a 2vN-1(n) b 2+-a N-1b N-1+z -1-a Nv 1(n)b NN∑M∑y(n) =− a k y(n − k)+ b k x(n − k)k=1k=01.3 Några beräkningsmetoder1.3.1 Faltningy(n) =h ∗ x =∞∑k=−∞h(k)x(n − k) =∞∑k=−∞1.3.2 Tillståndsbeskrivning av DifferensekvationOmN∑M∑y(n) =− a k y(n − k)+ b k x(n − k)k=1k=0så ges tillståndsbeskrivningen av{v(n +1) = Fv(n)+q · x(n)y(n) = g T v(n)+d · x(n)h(n − k)x(k)där⎛F =⎜⎝⎞⎛0 1 ... 0 00. . . .⎟0 0 0 1; q = ⎜⎠ ⎝0.−a k −a k−1 ... −a 2 −a 1 1⎞⎟⎠g T =(b k ,...,b 2 ,b 1 ) − b 0 (a k ,...,a 2 ,a 1 ) ; d = b 06

1.3.3 Tillståndsekvationa) Direktlösningy(n) =g T · F n v(0) +n−1 ∑k=0g T · F n−1−k qx(k)u(n − 1) + dx(n)b) Impulssvarc) Systemfunktionh(n) =g T · F n−1 qu(n − 1) + dδ(n)H(z) =g T [zI − F] −1 q + d1.3.4 SystemfunktionH(z) = Y(z)X (z) = b 0 + b 1 z −1 + ···+ b M z −M1+a 1 z −1 + ···+ a N z −N7

1.4 Analog sinussignal genom linjärt, kausalt filter1.4.1 Komplex, icke-kausal insignalx(t) =e jΩ 0t = (cos(Ω 0 t)+j sin(Ω 0 t))−∞

1.5 Tidsdiskret sinussignal genom linjärt, kausalt filter1.5.1 Komplex, icke-kausal insignalx(n) =e jω 0n =(cos(ω 0 n)+j sin(ω 0 n))−∞

1.6 FourierserieutvecklingFör tabell se Appendix1.6.1 Kontinuerlig tidEn periodisk funktion med perioden T 0 ,dvsf(t) =f(t − T 0 ), kan uttryckas i enserieutveckling enligt∞∑f(t) = c k e j2πkF 0tdärc k = 1 T 0∫k=−∞Om f(t) reell kan detta också uttryckasdärT 0f(t)e −j2πkF 0t dt ; F 0 = 1 T 0f(t) =∞∑c 0 +2 |c k | cos(2πkF 0 t + θ k )=k=1=∞∑a 0 + a k cos 2πkF 0 t − b k sin 2πkF 0 tk=1a 0 = c 0 = 1 T 0∫T 0f(t)dta k = 2|c k | cos θ k = 2 f(t)cos(2πkF 0 t)dtT 0∫T 0b k = 2|c k | sin θ k = −2 ∫f(t)sin(2πkF 0 t)dtT 0 T 0Effekten ges av (Parsevals relation)För reella signaler gäller också att1.6.2 Diskret tidP = 1 T 0∫T 0|f(t)| 2 dt =∞∑k=−∞|c k | 2∞∑P = c 2 0 +2 |c k | 2 = a 2 0 + 1 ∞∑(a 2 k + b 2k=12k)k=1En periodisk funktion med perioden N, dvsf(n) =f(n − N), kan uttryckas i enserieutveckling enligtdärc k = 1 NN−1 ∑n=0f(n) =N−1 ∑k=0j2πk n/Nc k ef(n) e −j2πk n/N , k =0,...,N − 110

Serieutvecklingen betecknas ofta med DTFS (discrete-time Fourier series).Om f(n) reell kan detta också uttryckasdärEffekten ges av(L∑f(n) = c 0 +2 |c k | cos 2π kn )k=1N + θ k =( (L∑= a 0 + a k cos 2π kn ) (− b k sin 2π kn ))k=1NNa 0 = c 0a k =2|c k | cos(θ k )b k =2|c k | sin(θ k )⎧⎪⎨L =⎪⎩P = 1 Noch energin över en period ges avE N =1.7 FouriertransformerTidskontinuerlig signal:⎧⎪⎨N−1 ∑n=0N−1 ∑n=0Nom N jämn2N−12om N udda|f(n)| 2 =|f(n)| 2 = NN−1 ∑k=0N−1 ∑k=0|c k | 2|c k | 2X a (F ) = ∫ ∞−∞ x a(t)e −j2πFt dtTidsdiskret signal:⎪⎩⎧⎪⎨x a (t) = ∫ ∞−∞ X a(F )e j2πFt dFX(f) = ∑ ∞n=−∞ x(n)e −j2πfn⎪⎩x(n) = ∫ 1/2−1/2 X(f)ej2πfn df1.8 Diskreta Fouriertransformen (DFT)1.8.1 DefinitionX k = DFT (x n )=x n = IDFT (X k )= 1 NN−1 ∑n=0N−1 ∑k=0x n e −j2πnk/N k =0, 1,...,N − 1 TransformX k e j2πnk/N n =0, 1,...,N − 1 Inversion11

OBS:N−1 ∑n=0e j2π k − k 0N· n = N · δ(k − k 0 , (modulo N))1.8.2 Cirkulär faltningx n Ny n =N−1 ∑l=0x l y n−lDFT←→ X k Y kCirkulär faltningdär ∑ står för cirkulär faltning. Detta betyder att x n -ochy n -sekvenserna skallupprepas periodiskt före summationen, dvs utanför intervallet n =0, 1,...,N − 1gäller vid summationen att x n−lN = x n och y n−lN = y n (l = heltal) dvs indexberäknas modulo N. Cirkulär faltning betecknas också x(n) ∗ y(n).1.8.3 Icke-cirkulär faltning med DFTOm x(n) =0för n ≠[0,L− 1] och y(n) =0för n ≠[0,M − 1] så är x ∗ y =0förn ≠[0,N − 1] där N ≥ L + M − 1.Faltningen kan beräknas ur⎧⎪⎨ x ○∗ y = IDFT(X k Y k ) n =0, 1,...,N − 1x ∗ y =⎪⎩0 f.ö.därX k = DFT(x(n))Y k = DFT(y(n))1.8.4 Relation till Fouriertransformen X(f):X(k/N) = X k = DFT(x(n)) om x(n) =0för n ≠[0,N − 1]∞∑X(k/N) = X k = DFT(x p (n)) allmänt x(n) där x p (n) = x(n − lN)1.8.5 Relation till Fourierserier( ) kX = X k = DFT(x(n)) = N · c kNl=−∞omdärochc k = 1 Nx(n) =x p (n), 0 ≤ n ≤ N − 1x p (n) =N−1 ∑n=0N−1 ∑k=0nkj2πc k e N−∞

1.8.6 Parsevals teoremN−1 ∑n=0x(n)y ∗ (n) = 1 NN−1 ∑k=0X k Y ∗ (k)13

1.9 Några fönsterfunktioner och deras Fouriertransformi) Fönsterfunktionerna centrerade kring origo (Filterlängden M är udda) dvsfunktionerna är skilda från 0 bara för −(M − 1)/2 ≤ n ≤ (M − 1)/2Rektangelfönster:w rect (n) = 1Bartlettfönster (triangelfönster):Hanningfönster:w(n) = 1−W (f) = M 2W rect (f) = M · sin(πfM)M sin(πf)|n|(M − 1)/2( sinπfM ) 22M≈ 2 ( ) fsin(πf) M W rect2 22( ) 2πnw(n) = 0.5+0.5cosM − 1för små fHammingfönster:W (f) = 0.5 W rect (f)++0.25 W rect(f − 1)+M − 1)+0.25 W rect(f + 1M − 1( ) 2πnw(n) = 0.54 + 0.46 cosM − 1Blackmanfönster:W (f) = 0.54 W rect (f)++0.23 W rect(f − 1w(n) = 0.42 + 0.5cos)+M − 1)+0.23 W rect(f + 1M − 12πn4πn+0.08 cosM − 1 M − 1W (f) = 0.42 W rect (f)+(+0.25 W rect f − 1 )+M − 114

+0.25 W rect(f + 1+0.04 W rect(f − 2)+M − 1)+M − 1)+0.04 W rect(f + 2M − 1Kaiserfönster:w(n) = I ( )0 β√1 − [2n/(M − 1)] 2I 0 (β)[L∑ (x/2)kI 0 (x) =1+k!k=1] 215

2 Sampling av analoga signaler2.1 Sampling och rekonstruktionSamplingsteoremetFör bandbegränsad x a (t), dvs X a (F )=0för |F |≥1/2T gällerx a (t) =Samplingsfrekvens F s =1/T .Sampling∞∑n=−∞x(n) sin π (t − nT )T(t − nT )πTRekonstruktion (idealt)x(n) = x a (nT ); T = 1 F s( ) F ∑ ∞X(f) = X = F s X a (F − kF s )F sk=−∞( ) F ∑ ∞Γ(f) = Γ = F sF sk=−∞Γ a (F − kF s )∞∑x a (t) = x(n) sin π (t − nT )Tπn=−∞(t − nT )TX a (F ) = 1 ( ) FX |F |≤ F sF s F s 2Γ a (F ) = 1 ( ) FΓF s F s|F |≤ F s2Rekonstruktion med sample-and-holdX a (F ) = 1 ( ) FX · sin(πFT) e −j2πF T 2 · HLP (F )F s F s πFTΓ a (F ) = 1 ( ) ∣ F Γ ∣∣∣ sin(πFT)2·|HF s F s πFT ∣ LP (F )| 216

Blockschema över D/A omvandlingIdeal rekonstruktionx(n)TLågpassy a (t)-Fs/2Fs/2x(n)Σ δ( t-n T)nx(1) Ty a (t)| X(f)|n t tF|X( ) T |Fs|Y (F)|af F F-.5 .5 -Fs/2 Fs/2 -Fs/2 Fs/2Rekonstruktion med sample-and-hold∞∑y a (t) = x(n) sin π (t − nT )Tπn=−∞(t − nT )TY a (F ) = 1 ( ) FX |F |≤ F sF s F s 2x(n)h SH(t)Lågpassy a(t)1T-Fs/2Fs/2x(n)Σ δ( t-n T)ny a(t)n t tF| X(f)||X( ) H (F)||Y (F)|Fs SHaf F F-.5 .5 -Fs/2 Fs/2 -Fs/2 Fs/2Y a (F ) = 1 ( ) FXF s F s· sin(πFT)πFTe −j2πF T 2 · HLP (F )17

2.2 Distorsionsmått2.2.1 Vikningsdistorsion vid samplingSpektrum efter antivikningsfilter:Γ in (F )Vikningsdistorstion:Nyttig signaleffekt:där 0 ≤ F p ≤ F s /2D A =2·∫ ∞F s−F pΓ in (F )dF∫ FpD s =2 Γ in (F )dF0Signaldistorsionsförhållande:A: SDR A = D SD A=Vid monotont avtagande spektrum blir∫ FpΓ0 in (F )dF∫ ∞ Γ in(F )dFFs−FpB: SDR 0 A =min |F |≤FpΓ in (F )Γ in (F s−F )SDR 0 A = Γ in(F p )Γ in (F s − F p )2.2.2 Periodiseringsdistorsion vid rekonstruktionPeriodiseringsdistorsion:Nyttig signaleffekt:Signaldistorsionsförhållande:D P =2·D S =2·∫ ∞F s/2∫ Fs/2A: SDR P = D SD P=0Γ ut (F )dFΓ ut (F )dF∫ Fs/2Γ0 ut(F )dF∫ ∞Γut(F )dFFs/2B: SDR 0 P =min |F |

2.3 KvantiseringsdistorsionD Q ≃ ∆212linjär kvantisering, ∆ litetSQNR = SignaleffektD qKvantiseringsdistorsion vid sinussignal, maximal utstyrning, r bitarSQNR = 1.76 + 6 · r[dB]Kvantiseringsdistorsion, utstyrning uttryckt i topp- och RMS-värde, r bitarSQNR = 6 · r +1.76 − 10 10 logdär [−V,V ] är kvantiserarens utstyrningsområde.2.4 Decimering och interpoleringNedsampling med en faktor M( ) 2 ( ) 2ApeakVA RMS · √2 − 10 10 logA peak↓ M y(n) ={...u(0),u(M),u(2M) ...}Y (f) = 1 M∑ M−1i=0 U ( )f−iMUppsampling med en faktor L↑ L w(n) ={...x(0), 0, 0,... ,x(1), 0, 0,... ,x(2) ...}} {{ } } {{ }L-1 st L-1 stW (f) =X(fL)19

3 Analoga filter3.1 Filterapproximationer av ideala LP-filterAllmän form på approximationens amplitudfunktion|H(Ω)| =K√1+g N( ( ΩΩ p) 2) Ω=2πFdär⎧⎛( ) ⎞ 2g N⎝ Ω⎪⎨ ≪ 1⎠Ω p ⎪⎩ ≫ 1∣ ∣ ∣ΩΩ p∣ ∣∣ < 1∣ ∣ ∣ΩΩ p∣ ∣∣ > 1och Ω p är filtrets gränsvinkelfrekvens.Ibland kan det vara lämpligt att normera vinkelfrekvensen med Ω p .Detta svarar mot att man sätter Ω p = 1 i detta avsnitt.3.1.1 Butterworthfilter|H(Ω)| =K√1+ ( ) 2NΩΩ pK = amplitudfunktionens maximivärde.K = amplitudfunktionens värde för Ω = 0.Godtycklig dämpning i passbandet (X dB)DåΩ ′ p =Ω p (3dB) är ε 2 ≈ 1.|H(Ω)| =K( ) 2N√1+ε 2 ΩΩ ′ p20

Filterordning:N =([ √] )log 110 − 1 /εδ2 2 ( )log Ωs10 Ω pδ 2 är maximalt tillåtna värde för amplitudfunktionen vid stoppbandskanten:δ 2 = |H(Ω s )| maxSystemfunktionens nämnare är Butterworthpolynom om Ω p = 1. Dessa polynomfinns i Tabell 2.1. För allmänt Ω p gällerH(s) =K( ) N ( ) N−1 ( ) sΩ p+saN−1Ω p+ ···+sa1Ω p+1där a 1 ,...,a N−1 erhålles ur Tabell 4.1.21

Tabell 4.1Koefficienter a ν i Butterworthpolynom s N + a N−1 s N−1 + ...+ a 1 s +1N a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 712√23 2 24 2.613 3.414 2.6135 3.236 5.236 5.236 3.2366 3.864 7.464 9.141 7.464 3.8647 4.494 10.103 14.606 14.606 10.103 4.4948 5.126 13.138 21.848 25.691 21.848 13.138 5.126Tabell 4.2Faktoriserade Butterworthpolynom för Ω p =1.För Ω p ≠1låt s → s/Ω p .N1 (s +1)2 (s 2 + √ 2s +1)3 (s 2 + s +1)(s +1)4 (s 2 +0.76536s +1)(s 2 +1.84776s +1)5 (s +1)(s 2 +0.6180s +1)(s 2 +1.6180s +1)6 (s 2 +0.5176s +1)(s 2 + √ 2s +1)(s 2 +1.9318s +1)7 (s +1)(s 2 +0.4450s +1)(s 2 +1.2465s +1)(s 2 +1.8022s +1)8 (s 2 +0.3896s +1)(s 2 +1.1110s +1)(s 2 +1.6630s +1)(s 2 +1.9622s +1)3.1.2 Chebyshevfilter|H(Ω)| =K√ ( )1+ε 2 TN2 ΩΩ pRipple|H( Ω)|N uddaKK√1+ε2N jämnΩ pKurvan går alltidgenom denna punktΩRipple = 10 · log(1 + ε 2 )dB.K = amplitudfunktionens maximivärde.OBS! Ej nödvändigtvis 3dB-gräns22

K ≠ amplitudfunktionens värde för Ω = 0 då N är jämn. ( )T N ( Ω Ω p) är Chebyshevpolynom. (Betecknas även med C ΩN Ω p). Dessa finns i Tabell4.3 för Ω p =1.För Ω p ≠1låt Ω → Ω Ω piTabell4.3.SystemfunktionenH(s) =K · a 0 ·{1 N uddaN jämn1 √1+ε 2( sΩ p) N+ aN−1( sΩ p) N−1+ ···+ a0där ε, a 0 ,...,a N−1 erhålles ur Tabell 4.4.Pollägena till H(s) finns i Tabell 4.5 för Ω p =1.För Ω p ≠ 1 multipliceras pollägenamed Ω p .Tabell 4.3Chebyshevpolynom.⎧⎪⎨ cos(N arccos Ω)T N (Ω) =⎪⎩cosh(N arccoshΩ)|Ω| ≤1|Ω| ≥1Ω=2πFellerT N (Ω) =Rekursiv beräkning(Ω+√Ω2 − 1 ) N+(Ω+√Ω2 − 1 ) −N2T N+1 (Ω) = 2ΩT N (Ω) − T N−1 (Ω)|Ω| ≥1Filterordning:N =([ √] )arccosh 1− 1 /εδ2 2arccosh ( )Ω sΩ pδ 2 är maximalt tillåtna rippel i stoppbandet.Alternativ till arccosh:arccosh(x) =ln ( x + √ x 2 − 1 )23

N T N (Ω)0 11 Ω2 2Ω 2 − 13 4Ω 3 − 3Ω4 8Ω 4 − 8Ω 2 +15 16Ω 5 − 20Ω 3 +5Ω6 32Ω 6 − 48Ω 4 + 18Ω 2 − 17 64Ω 7 − 112Ω 5 + 56Ω 3 − 7Ω8 128Ω 8 − 256Ω 6 + 160Ω 4 − 32Ω 2 +19 256Ω 9 − 576Ω 7 + 432Ω 5 − 120Ω 3 +9Ω10 512Ω 10 − 1280Ω 8 + 1120Ω 6 − 400Ω 4 + 50Ω 2 − 124

Tabell 4.4. Koefficienterna a ν i Chebyshevfilter.0.5dB ripple (ε =0.349, ε 2 =0.122).N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 01 2.8632 1.426 1.5163 1.253 1.535 0.7164 1.197 1.717 1.025 0.3795 1.172 1.937 1.309 0.752 0.1796 1.159 2.172 1.589 1.172 0.432 0.0957 1.151 2.413 1.869 1.648 0.756 0.282 0.0458 1.146 2.657 2.149 2.184 1.148 0.573 0.152 0.0241-dB ripple (ε =0.509, ε 2 =0.259).N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 01 1.9652 1.098 1.1023 0.989 1.238 0.4914 0.953 1.454 0.743 0.2765 0.937 1.689 0.974 0.580 0.1236 0.928 1.931 1.202 0.939 0.307 0.0697 0.923 2.176 1.429 1.357 0.549 0.214 0.0318 0.920 2.423 1.655 1.837 0.447 0.448 0.107 0.0172-dB ripple (ε =0.765, ε 2 =0.585).N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 01 1.3072 0.804 0.8233 0.738 1.022 0.3274 0.716 1.256 0.517 0.2065 0.705 1.499 0.693 0.459 0.0826 0.701 1.745 0.867 0.771 0.210 0.0517 0.698 1.994 1.039 1.144 0.383 0.166 0.0208 0.696 2.242 1.212 1.579 0.598 0.359 0.073 0.0133-dB ∗) ripple (ε =0.998, ε 2 =0.995).N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 01 1.0022 0.645 0.7083 0.597 0.928 0.2514 0.581 1.169 0.405 0.1775 0.575 1.415 0.549 0.408 0.0636 0.571 1.663 0.691 0.699 0.163 0.0447 0.568 1.911 0.831 1.052 0.300 0.146 0.0168 0.567 2.161 0.972 1.467 0.472 0.321 0.056 0.011*) Tabellen är uträknad för ”exakt”3dB, ej för 20 · log √ 2 ≈ 3.01dB.Därav ε ≠1ocha 0 ≠1för N =1.25

Tabell 4.5. Pollägen för Chebyshevfilter.0.5dB ripple (ε =0.349, ε 2 =0.122).N = 1 2 3 4 5 6 7 8-2.863 -0.713 -0.626 -0.175 -0.362 -0.078 -0.256 -0.044±j1.004 ±j1.016 ±j1.008 ±j1.005-0.313 -0.423 -0.112 -0.212 -0.057 -0.124±j1.022 ±j0.421 ±j1.011 ±j0.738 ±j1.006 ±j0.852-0.293 -0.290 ±0.160 -0.186±j0.625 ±j0.270 ±j0.807 ±j0.570-0.231 -0.220±j0.448 ±j0.2001-dB ripple (ε =0.509, ε 2 =0.259).N = 1 2 3 4 5 6 7 8-1.965 -0.549 -0.494 -0.139 -0.289 -0.062 -0.205 -0.035±j0.895 ±j0.983 ±j0.993 ±j0.996-0.247 -0.337 -0.089 -0.170 -0.046 -0.100±j0.966 ±j0.407 ±j0.990 ±j0.727 ±j0.995 ±j0.845-0.234 -0.232 -0.128 -0.149±j0.612 ±j0.266 ±j0.798 ±j0.564-0.185 -0.176±j0.443 ±j0.1982-dB ripple (ε =0.765, ε 2 =0.585).N = 1 2 3 4 5 6 7 8-1.307 -0.402 -0.369 -0.105 -0.218 -0.047 -0.155 -0.026±j0.813 ±j0.958 ±j0.982 ±j0.990-0.184 -0.253 -0.067 -0.128 -0.034 -0.075±j0.923 ±0.397 ±j0.973 ±0.719 ±j0.987 ±j0.839-0.177 -0.175 -0.097 -0.113±j0.602 ±j0.263 ±j0.791 ±j0.561-0.140 -0.133±j0.439 ±j0.1973-dB ∗) ripple (ε =0.998, ε 2 =0.995).N = 1 2 3 4 5 6 7 8-1.002 -0.322 -0.299 -0.085 -0.177 -0.038 -0.126 -0.021±j0.777 ±j0.946 ±j0.976 ±0.987-0.1493 -0.206 -0.055 -0.104 -0.028 -0.061±j0.904 ±j0.392 ±j0.966 ±0.715 ±j0.983 ±j0.836-0.144 -0.143 -0.079 -0.092±j0.597 ±j0.262 ±j0.789 ±j0.559-0.114 -0.108±j0.437 ±j0.196*) Se anmärkning Tabell 4.4.26

3.2 Frekvenstransformationer av analoga filter1. Utgåfrån frekvenserna för kravspecifikationen i det analoga högpass-, bandpassellerbandspärrfiltret.2. Transformera till LP-filtrets frekvenser Ω ′ 2 och Ω ′ 3.3. Sök LP-filtrets koefficienter.4. Transformera tillbaka till ursprungsfiltret (HP, BP, BS) genom att byta s ilågpassfiltret H(s) enligtnedan.Α(Ω)LP HP BP BSΑ(Ω) Α(Ω) Α(Ω)Ω 2 Ω 3 Ω Ω 3 Ω 2 Ω Ω3Ω l Ω 2 Ω 4Ω Ω3Ω l Ω 2 Ω 4ΩHP ⇒ LP Ω ′ 2 = 1 Ω 2Ω ′ 3 = 1 Ω 3BP ⇒ LP Ω ′ 2 =Ω 2 − Ω 1 Ω ′ 3 =Ω 4 − Ω 3 Ω 1 Ω 2 =Ω 3 Ω 4 =Ω 2 IBS ⇒ LP Ω ′ 2 = Ω2 IΩ 4 −Ω 3Ω ′ 3 = Ω2 IΩ 2 −Ω 1Ω 1 Ω 2 =Ω 3 Ω 4 =Ω 2 ILP HP BP BSs →1s s + Ω2 IsΩ 2 Is + Ω2 Is27

4 Tidsdiskreta filter4.1 FIR-filter och IIR-filterH(z) = b 0 + b 1 z −1 + ...+ b M−1 z −M+1{bn 0 ≤ n ≤ M − 1h(n) =0 för övrigtFIR-filter med linjär fas:Symmetriskt impulssvar h(n) =h(M − 1 − n)Antisymmetriskt impulssvar h(n) =−h(M − 1 − n)IIR-filterH(z) = b 0 + b 1 z −1 + ...+ b M z −M1+a 1 z −1 + ...+ a N z −Nh(n) = Z −1 {H(z)}4.2 Konstruktion av FIR-filter4.2.1 FIR-filter med fönstermetodenImpulssvarh(n) =h d (n) · w(n)med önskad impulssvar h d (n) ochtidsfönster w(n)Filter designade med fönstermetoden har linjär fas.Önskad impulssvar h d (n) definierade för 0 ≤ n ≤ M − 1Filterlängden M är uddaLågpass:Högpass:h d ( M − 12h d (n) = ω cπ) = ω cπH d (ω) =(h d (n) = δ n − M − 1 )2H d (ω) =( )sin ω c n −M−12( )ω c n −M−12{e−jω (M−1)/20 ≤|ω|

Bandpass:(h d (n) = 2cos(ω 0 n − M − 1 ))2· ωcπ( )sin ω c n −M−12( )ω c n −M−12H d (ω) ={e−jω (M−1)/2ω 0 − ω c < |ω|

Fönsterfunktioner definierade för 0 ≤ n ≤ M − 1 (Filterlängden M är udda)RektangelfönsterBartlett (Triangelfönster)HanningfönsterHammingfönsterw(n) = 0.5w(n) =1∣∣n − M−1∣2w(n) =1−= 0.5M−12⎛⎝1+cos 2π ( )n − M−1 ⎞2 ⎠ =M − 1()2πn1 − cosM − 1w(n) = 0.54 + 0.46 cos 2π ( )n − M−12M − 12πn= 0.54 − 0.46 cosM − 1Blackmanfönsterw(n) = 0.42 + 0.5 cos 2π ( )n − M−12+M − 1+0.08 cos 4π ( )n − M−12=M − 1= 0.42 − 0.5 cos2πn4πn+0.08 cosM − 1Kaiserfönsterw(n) = I ( √)0 β 1 − [2(n − M−1 )/(M − 1)]2 2I 0 (β)I 0 (x) är en Besselfunktion, vars värde kan beräknas enligtI 0 (x) =1+[ ]L∑ (x/2)k 2k=1Vanligtvis väljs L

Stoppbandsdämpning DβD ≤ 21dB 021dB

4.2.2 Ekvirippel FIR-filterDimensionering av ekviripplefilter enligt Remez algoritmen. Approximativt enligtKaiser.|H(f)|1+δp11- δpδsf pfsfFilterlängden M = −20 log (√ )10 δp δ s − 13+114.6∆f∆f = f s − f p4.2.3 FIR-filter med minstakvadratmetodenMinimering avE = ∑ n[x(n) ∗ h(n) − d(n)] 2gerochM−1 ∑n=0h(n)r xx (n − l) =r dx (l) l =0,...,M − 1E min = r dd (0) −M−1 ∑k=0h(k)r dx (k)där r xx (l) är korrelationsfunktionen för x(n) ochr dx (l) är korskorrelationen melland(n) ochx(n).I matrisform kan detta skrivasR xx · h = r dxh = R −1xx · r dxE min = r dd (0) − h T · r dx32

4.3 Konstruktion av IIR-filter utgående från analoga filter4.3.1 Impulsinvariansmetodenh(n) =h a (t)| t=nT = h a (nT )∞∑H(z) = h a (nT )z −nn=01.2.h a (t) =e −σ 0t ←→ H a (s) = 1s + σ 0⇒H(z) =11 − e −σ 0Tz −1h a (t) =e −σ 0t cos Ω 0 t ←→ H a (s) =s + σ 0(s + σ 0 ) 2 +Ω 2 03.⇒H(z) =1 − z −1 e −σ 0T cos Ω 0 T1 − 2z −1 e −σ 0Tcos Ω 0 T + z −2 e −2σ 0Th a (t) =e −σ 0t sin Ω 0 t ←→ H a (s) =Ω 0(s + σ 0 ) 2 +Ω 2 0⇒H(z) =4.3.2 Bilinjär transformationFrekvenstransformation (”prewarp”)z −1 e −σ 0T sin Ω 0 T1 − 2z −1 e −σ 0Tcos Ω 0 T + z −2 e −2σ 0TΩ prewarp = 2 T tan ω 2Analog filterkonstruktion i variabeln Ω prewarp =2πF prewarp ( ω =2πf) .H(z) =H a (s) där s = 2 T1 − z −11+z −1T är en normeringsfaktor (kan oftast väljas till 1).33

4.3.3 KoefficientkvantiseringPolförflyttning då koefficienternaa 1 ,...,a k ändras ∆a 1 ,...,∆a kVid normalform (direktform II) gäller4.4 Latticefilter∆p i ≈ ∂p i∂a 1∆a 1 + ···+ ∂p i∂a k∆a k∂p i−p k−ji=∂a j (p i − p 1 )(p i − p 2 ) ...(p i − p k )} {{ }k−1 st faktorer(p i − p i ) skall ej tas medf 0(n)f 1(n)++ f 2 (n). . .+f M-1(n) = y(n)x(n)K 1K2Kg (n) 0z -1K 1 K 2+ z -1g1(n)+Lattice FIR. . .z -1 +g2(n)g (n)M-1x(n)fN(n)+-f N-1 (n)K Nf 2(n). . .f 1(n)f 0(n) = y(n)++- -K2K1g (n)N+K Nz -1K2. . .+ z -1g2(n)Lattice all-pole IIRg (n)1K1+ z -1g (n)0x(n)fN(n)f N-1 (n) f 2(n)f 1(n)+. . . ++- K --NK2K1f (n)0g (n)Nv N+K Nz -1. . .g (n)2K2+ z -1v 2g (n)1v 1K1+ z -1g (n)0v 0. . .++ +y(n)Lattice-ladder34

Omvandling från Lattice till Direktform:A 0 (z) =B 0 (z) =1{Am (z) =A m−1 (z)+K m z −1 B m−1 (z)B m (z) =K m A m−1 (z)+z −1 B m−1 (z)m =1, 2,...,M − 1Samband mellan A m (z) ochB m (z)A m (z) =α m (0) + α m (1)z −1 + ... + α m (m − 1)z −m+1 + α m (m)z −mB m (z) =β m (0) + β m (1)z −1 + ... + β m (m − 1)z −m+1 + β m (m)z −mOmvandling från Direktform till Lattice:A m−1 (z) =B m (z) = z −m A m (z −1 )β m (k) = α m (m − k)k = 0, 1,...,m11 − K 2 m(A m (z) − K m B m (z))m = M − 1,M − 2,...,1Reflektionskoefficient:FIR-filterIIR-filter (all-pole)K m = α m (m)H(z) =A N (z)A M−1 (z) =A N (z)H(z) = 1A N (z)A M−1 (z) =A N (z)Lattice-ladderOmvandling från Direktform till Lattice-ladder:H(z) = C M(z)A N (z) = c 0 + c 1 z −1 ...c M z −MA N (z)C m−1 (z) =C m (z) − v m B m (z)v m = c m (m) m =0, 1,...,M35

5 KorrelationKorrelation, korskorrelation, spektrum, korspektrum och koherens mellan in- ochutsignal.Tidskontinuerlig process:Tidsdiskret process:y(t) = h(t) ∗ x(t)Y (F ) = H(F ) · X(F )r yy (τ) = r hh (τ) ∗ r xx (τ)R yy (F ) = |H(F )| 2 R xx (F )r yx (τ) = h(τ) ∗ r xx (τ)R yx (F ) = H(F ) · R xx (F )r xx (τ) = ∫ t x(t)x(t − τ)dtr yx (τ) = ∫ t y(t)x(t − τ)dtγ xx (τ) = E{x(t)x(t − τ)}γ yx (τ) = E{y(t)x(t − τ)}y(n) = h(n) ∗ x(n)Y (f) = H(f) · X(f)r yy (n) = r hh (n) ∗ r xx (n)R yy (f) = |H(f)| 2 · R xx (f)r yx (n) = h(n) ∗ r xx (n)R yx (f) = H(f) · R xx (f)r xx (n) = ∑ l x(l)x(l − n)r yx (n) = ∑ l y(l)x(l − n)γ xx (n) = E{x(l)x(l − n)}γ yx (n) = E{y(l)x(l − n)}Normalfördelade stok.var. X i ∈ N(m i ,σ i )E{X 1 X 2 X 3 X 4 } = E{X 1 X 2 } E{X 3 X 4 } + E{X 1 X 3 } E{X 2 X 4 } ++ E{X 1 X 4 } E{X 2 X 3 }−2m 1 m 2 m 3 m 436

6 SpektralskattningSpektralskattningγ xx (m) = E{x(n)x(n + m)} autokorrelationΓ xx (f) =∞∑m=−∞γ xx e −j2πfm effektspektrumr xx (m) = 1 NP xx (f) =N−m−1 ∑n=0x(n)x(n + m) 0 ≤ m ≤ N − 1N−1 ∑r xx (m)e −j2πfm = 1 ∣ N−1∑∣∣∣∣2x(m)e −j2πfmm=−N+1N ∣m=0autokorrelation (estimat)effektspektrum (estimat)PeriodogramP xx (f) = 1 N∣ N−1∑∣∣∣∣2x(m)e −j2πfm ∣m=0effektspektrum (estimat)E{r xx (m)} =(1 − |m| )γ xx (m) → γ xx (m) då N →∞Nvar(r xx (m)) ≈ 1 N∞∑n=−∞[γ 2 xx(n)+γ xx (n − m)γ xx (n + m)] → 0då N →∞∫ 1/2E{P xx (f)} = Γ xx (α)W B (f − α)dα−1/2där W B (f) är Fouriertransformen av Bartlettfönstret ( )1 − |m|var(P xx (f)) = Γ 2 xx(f) ⎣1+om x(n) Gaussisk.Periodogram med DFT:⎡( ) ⎤ 2sin2πfN⎦ → Γ 2Nsin2πfxx(f) då N →∞NP xx( kN)= 1 NN−12∑nk−j2π x(n)e N∣∣n=0k =0,...,N − 137

Bartletts metodMedelvärdesbildning av periodogram.Dela in datasekvensen x(n) bestående av N sampel i K block med M sampel perblock. Blocken är ej överlappande (N = K · M).x i (n) =x(n + iM) i =0, 1 ...,K − 1 och n =0, 1 ...,M − 1P i xx(f) = 1 MP B xx(f) = 1 K∣ N−1∑∣∣∣∣2x∣ i (m)e −j2πfmm=0K−1 ∑i=0P i xx(f)i =0, 1 ...,K − 1E{P B xx(f)} = 1 KK−1 ∑i=0∫ 1/2E{P i xx(f)} = E{P i xx(f)}E{Pxx(f)} i = 1 Γ xx (α)W B (f − α)dαM −1/2där W B (f) är Fouriertransformen av Bartlettfönstret ( 1 − |m| )NW B (f) = 1 M( ) 2sin πfMsin πfvar(Pxx(f)) B = 1 K−1 ∑K 2i=0var(P i xx(f))}var(Pxx(f)) B = 1 K Γ2 xx(f) ⎣1+⎡( ) ⎤ 2sin2πfN⎦Nsin2πfWelchs metodMedelvärdesbildning av modifierade periodogram.Dela in datasekvensen x(n) bestående av N sampel i L block med M sampel perblock. Blocken kan vara överlappande. Startpunkten för block i ges av iD. D = Mmedför inget överlapp mellan blocken och D = M/2 ger 50% överlapp.x i (n) =x(n + iD) i =0, 1 ...,L− 1 och n =0, 1 ...,M − 138

Modifierat periodogram.˜P i xx(f) =1MU∣ N−1∑∣∣∣∣2x∣ i (m)w(n)e −j2πfmm=0i =0, 1 ...,L− 1w(n)U = 1 MP W xx (f) = 1 LFönsterfunktionN−1 ∑n=0L−1 ∑i=0w 2 (n)˜P i xx(f)E{P W xx (f)} = 1 LE{ ˜P i xx(f)} =L−1 ∑i=0∫ 1/2−1/2E{ ˜P i xx(f)} = E{ ˜P i xx(f)}Γ xx (α)W (f − α)dαW (f) = 1MUInget överlapp mellan blocken (L = K)∣ M−1∑∣∣∣∣2w(n)e −j2πfn ∣n=0var(P W xx (f)) = 1 L var( ˜P i xx(f))}≈1 L Γ2 xx(f)50% överlapp mellan blocken (L =2K) och Bartlettfönster (triangelfönster).var(P W xx (f)) ≈ 98L Γ2 xx(f)39

Medelvärdesbildning av periodogramQuality factorQ = [E{P xx(f)}] 2var(P xx (f))Relativ varians 1 QQ ≈ tid-bandbreddsprodukt.Periodogram ∆f = 0.9MQ =1Bartlett (N = K · M) ∆f = 0.9MQ = N MRektangulärt fönsterIngen överlappningWelch (N = L · M) ∆f = 1.28MQ = 16 9 · NMTriangulärt fönster50% överlappningWelch (N = L · M) ∆f = 1.50MQ = 21.08·3 · NMHanningfönster50% överlappningWelch ∆f = 1.50MBlackman/Tukey ∆f = 0.6M∆f = 0.9MQ = 2 3 · NMQ = 1 2 · NMQ = 3 2 · NMHanningfönster62,5% överlappningRektangulärt fönsterTriangulärt fönsterUpplösning ∆f beräknad i -3dB punkterna från fönstrets huvudlob.40

AGrundläggande sambandA.1 Trigonometriska formlersin α =cos(α − π/2)cos α =sin(α + π/2)cos 2 α +sin 2 α =1cos 2 α − sin 2 α =cos2α2sinα cos α =sin2αsin(−α) =− sin αcos(−α) =cosαcos 2 α = 1 (1 + cos 2α)2sin(α + β) = sin α cos β +cosα sin βcos(α + β) =cosα cos β − sin α sin β2sinα sin β =cos(α − β) − cos(α + β)2sinα cos β =sin(α + β)+sin(α − β)2cosα cos β =cos(α + β)+cos(α − β)sin α +sinβ = 2 sin α+β cos α−β2 2cos α +cosβ =2cos α+β cos α−β2 2cos α = 1 2 (ejα + e −jα ), sin α = 1 2j (ejα − e −jα ), e jα =cosα + j sin αA cos α + B sin α = √ A 2 + B 2 cos(α − β)där cos β =√ AA, sin β =2 +B 2B √A 2 +B 2⎧⎪⎨ arctan B om A ≥ 0Aoch β =⎪⎩arctan B + π om A

Grader Rad sin cos tan cot0 0 0√1 0 ±∞30 π 1 3 1√ √3 6 2 2 345 π √2 1 √2 141 160 π3√3212√3 1 √390 π21 0 ±∞ 0A.2 Några ofta förekommande sambandSumma av geometrisk serie⎧N−1 ∑⎪⎨a n =n=0⎪⎩N om a =11−a N1−aom a ≠1Summation av sinussignal över jämnt antal perioderN−1 ∑n=0A.3 Matristeorie j2π kn/N ={N om k =0, ±N,...0 f.ö.Beteckning av matris A och vektor xEn matris A av ordningen mxn och en vektor x med dimensionen n definieras av⎡⎤ ⎡ ⎤a 11 a 12 ... a 1nx 1a 21 a 22 ... a 2nx 2A =⎢⎥ x =⎢ ⎥⎣ . . . ⎦ ⎣ . ⎦a m1 a m2 ... a mn x nMatrisen A är symmetrisk om a ij = a ji ∀ ij.I betecknar enhetsmatrisen.Transponering av matris AB = A T där b ij = a ji(AB) T = B T A T42

Determinant av matris Adet A = |A| =∣∣a 11 a 12 ... a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 21 a 22 ... a 2n=. . .a m1 a m2 ... a mnn∑a ij (−1) i+j det M iji=1där M ij är den matris som erhålles om rad i och kolumn j i matrisen A strykes.Speciellt gäller för en 2x2 matris:det AB =detA · det BInvers av matris Adet A = a 11 a 22 − a 12 a 21A −1 A = AA −1 = I(om det A#0)där C definieras avA −1 = 1det A · CTc ij =(−1) i+j · det M ij(AB) −1 = B −1 A −1Speciellt gäller för en 2x2 matris:A −1 = 1 ( )a22 −a 12det A −a 21 a 11Egenvärden och egenvektorerEgenvärdena (λ i , i = 1, 2,...,n) och egenvektorerna (q i , i = 1, 2,...,n) ärlösningar till ekvationssystemetAq = λq eller (A − λI)q =0Egenvärdena kan beräknas som lösningar till karakteristiska ekvationen (sekularekvationen)till Adet(λI − A) =λ n + α n−1 λ n−1 + ···+ α 0 =0det(λI − A) kallas karakteristiska polynomet (sekularpolynomet) till A.43

BTransformerB.1 LaplacetransformB.1.1Laplacetransform av kausala signalerI nedanstående tabell är f(t) =0för t0 Skalninga a5. f(t − t 0 ); t ≥ t 0 ←→ F (s) e −st 0Tidsförskjutning6. f(t) · e −at ←→ F (s + a) Frekvensförskjutning7.d n fdt n ←→ s n F(s) Derivering8.∫ t0− f(τ)dτ ←→ 1 sF(s) Integrering9. (−t) n f(t) ←→ dn F(s)Derivation ids nfrekvensplanet10.f(t)←→ ∫ ∞t s F(z)dz Integration ifrekvensplanet11. lim t→0 f(t) = lim s→∞ s ·F(s) Begynnelsevärdesteoremet12. lim t→∞ f(t) = lim s→0 s ·F(s) Slutvärdesteoremet13. f 1 (t) ∗ f 2 (t) = ←→ F 1 (s) ·F 2 (s)∫ t0 f 1(τ)f 2 (t − τ)dτ =Faltning i tidsplanet∫ t0 f 1(t − τ)f 2 (τ)dτ14. f 1 (t) · f 2 (t) ←→ 1 F 2πj 1(s) ∗F 2 (s) =1 ∫ σ+j∞2πj σ−j∞ F 1(z) ·F 2 (s − z) · dzFaltning i frekvensplanet15.∫ ∞0− f 1(t) · f 2 (t)dt =1 ∫ σ+j∞2πj σ−j∞ F 1(s) ·F 2 (−s)dsParsevals relation44

16. δ(t) ←→ 117. δ n (t) ←→ s n18. 1 ←→ 1 s19. 1n!t n ←→ 1s n+120. e −σ 0t←→ 1 s + σ 021. 1(n − 1)! tn−1 e −σ 0t←→ 1(s + σ 0 ) n22. sin Ω 0 t ←→ Ω 0s 2 +Ω 2 023. cos Ω 0 t ←→ ss 2 +Ω 2 024. t· sin Ω 0 t ←→2Ω 0 s(s 2 +Ω 2 0) 225. t· cos Ω 0 t ←→ s2 − Ω 2 0(s 2 +Ω 2 0) 226. e −σ 0t sin Ω 0 t ←→27. e −σ 0t cos Ω 0 t ←→Ω 0(s + σ 0 ) 2 +Ω 2 0s + σ 0(s + σ 0 ) 2 +Ω 2 0B.1.228. e −σ 0t sin(Ω 0 t + φ) ←→ (s + σ 0)sinφ +Ω 0 cos φ(s + σ 0 ) 2 +Ω 2 0Enkelsidig Laplacetransform av icke-kausala signalerBeteckningF + (s) = ∫ ∞0− f(t)e−st dtF(s) =F + (s)Vid derivering av f(t) erhållesEnkelsidig Laplacetransform,f(t) ejnödvändigtvis kausal.För kausala signalerddt f(t) ←→ s ·F+ (s) − f(0−) Derivering en gångd ndt f(t) ←→ sn F + (s) − s n−1 f(0−)−s n−2 f (1) (0−) − ...f (n−1) (0−) Derivering n gånger45

B.2 Fouriertransform för tidskontinuerlig signalΩ=2πF1. w(t) =F −1 {W (F )} = ←→ W (F )=F{w(t)} =∫ ∞−∞ W (F ∫ )ej2πFt dF∞−∞ w(t)e−j2πFt dt2.∑ν a ν w ν (t) ←→ ∑ ν a ν W ν (F )3. w ∗ (−t) ←→ W ∗ (F )4. W(t) ←→ w(−F )5. w(at) ←→ 1 W ( )F|a| a6. w(t − t 0 ) ←→ W (F ) · e −j2πFt 07. w(t) · e j2πF 0t←→ W (F − F 0 )8. w ∗ (t) ←→ W ∗ (−F )9.d n w(t)dt n ←→ (j2πF) n W (F )10.∫ t 1−∞ w(τ)dτ ←→j2πFW (F )omW (F )=0för F =011. −j2πt w(t) ←→ dwdF12. w 1 (t) ∗ w 2 (t) ←→ W 1 (F ) · W 2 (F )13. w 1 (t) · w 2 (t) ←→ W 1 (F ) ∗ W 2 (F )14.15.∫ ∞−∞ |w(t)|2 dt = ∫ ∞−∞ |W (F )|2 dF∫ ∞−∞ w 1(t) · w 2 (t)dt =∫ ∞−∞ W 1(F ) · W ∗ 2 (F )dFParsevals relationw 1 (t), w 2 (t) reella16. δ(t) ←→ 117. 1 ←→ δ(F )18. u(t) ←→ 1j2πF + 1 2 δ(F )19. e −at u(t) ←→ 1a+jΩ46

20. e −a|t| ←→ 2aa 2 +Ω 221. e j2πF 0t←→ δ(F − F 0 )22. sin 2πF 0 t ←→ j 1 2 {δ(F + F 0) − δ(F − F 0 )}23. sin 2πF 0 t · u(t) ←→ Ω 0Ω 2 0 −Ω2 + j 1 4 {δ(F + F 0) − δ(F − F 0 )}24. cos 2πF 0 t ←→ 1 2 {δ(F + F 0)+δ(F − F 0 )}25. cos 2πF 0 t · u(t) ←→ jΩΩ 2 0 −Ω2 + 1 4 {δ(F + F 0)+δ(F − F 0 )}26.1 √2πσ 2 e−t2 /2σ 2 ←→ e −(Ωσ)2 /227. e −at sin 2πF 0 t · u(t) ←→28. e −a|t| sin 2πF 0 |t| ←→29. e −at cos 2πF 0 t · u(t) ←→30. e −a|t| cos 2πF 0 t ←→Ω 0(jΩ+a) 2 +(Ω 0 ) 22Ω 0 (Ω 2 0 + a 2 − Ω 2 )(Ω 2 + a 2 − Ω 2 0) 2 +4a 2 Ω 2 0jΩ+a(jΩ+a) 2 +(Ω 0 ) 22a(Ω 2 0 + a 2 +Ω 2 )(Ω 2 + a 2 − Ω 2 0) 2 +4a 2 Ω 2 031. rect(at) ={1för |t| 032. sinc(at) = sin(πat)πat←→ 1 a rect( F a ) a>033. rep T (w(t)) = ∑ ∞m=−∞ w(t − mT ) ←→ 1|T |comb 1/T (W (F ))34. |T |comb T (w(t)) = ←→ rep 1/T (W (F ))|T | ∑ ∞m=−∞ w(mT )δ(t − mT )35.∑ ∞n=−∞c n δ(t − nT ) ←→ ∑ ∞n=−∞1Tc nδ(F − n T )=∑ c n e −j2πnTF47

B.3 Z-transformenB.3.1Z-transform av kausala signaler1. X (z) =Z[x(n)] = ∑ ∞n=−∞ x(n)z −n Transform2. x(n) =Z −1 [X (z)] = 1 ∫2πj Γ X (z)zn−1 dzInverstransform3.∑ν a ν x ν (n) ←→ ∑ ν a ν X ν (z)Linjäritet4. x(n − n 0 ) ←→ z −n 0X (z) Skift (n 0 positivt ellernegativt heltal)5. nx(n) ←→ −z d X (z)dzMultiplikation med n6. a n x(n) ←→ X ( )zaSkalning7. x(−n) ←→ X ( )1zSpegling av tidsföljden8.[ ∑nl=−∞x(l) ] ←→ zz−1 X (z)Summering9. x∗ y ←→ X (z) ·Y(z) Faltning10. x(n) · y(n) ←→ 12πj∫Γ Y(ξ)X ( )zξ ξ −1 dξ Produkt11. x(0) = lim z→∞ X (z) (om gränsvärdet existerar) Begynnelsevärdesteoremet12. lim n→∞ x(n) = lim z→1 (z − 1)X (z) Slutvärdesteoremet(om ROC inkluderar enhetscirkeln)13.14.∑ ∞l=−∞x(l)y(l) = 12πj∫Γ x(z)y ( )1z z −1 dz Parsevals teorem förreellvärda tidsföljder∑ ∞l=−∞x 2 (l) = 1 ∫2πj Γ X (z)X (z−1 )z −1 dz –--48

Talföljd ←→ Transformx(n) ←→ X (z)15. δ(n) ←→ 116. u(n) ←→ 11 − z −117. nu(n) ←→ z −1(1 − z −1 ) 218. α n u(n) ←→ 11 − αz −119. (n +1)α n u(n) ←→ 1(1 − αz −1 ) 220.(n +1)(n +2)...(n + r − 1)(r − 1)!α n u(n) ←→ 1(1 − αz −1 ) r21. α n cos βn u(n) ←→22. α n sin βn u(n) ←→1 − z −1 α cos β1 − z −1 2α cos β + α 2 z −2z −1 α sin β1 − z −1 2α cos β + α 2 z −223. F n u(n) ←→ (I − z −1 F) −1B.3.2 Enkelsidig Z-transform av icke kausala signalerBeteckningX + (z) = ∑ ∞n=0 x(n)z −nX (z) =X + (z)Enkelsidig Z-transform, x(n) ejnödvändigtvis kausalFör kausala signalerVid skift av x(n) erhålles:i) skift ett stegii) skift n 0 steg (n 0 ≥ 0)x(n − 1) ←→ z −1 X + (z)+x(−1)x(n +1) ←→ zX + (z) − x(0) · zx(n − n 0 ) ←→ z −n 0X + (z)+x(−1)z −n0+1 ++x(−2)z −n0+2 + ...+ x(−n 0 )x(n + n 0 ) ←→ z n 0X + (z) − x(0)z n 0− x(1)z n0−1 − ...− x(n 0 − 1)z49

B.4 Fouriertransform för tidsdiskret signal1. X(f) =F(x(n)) = Transform= ∑ ∞l=−∞ x(l)e −j2πfl ω =2πf2. x(n) = ∫ 1/2−1/2 X(f)ej2πfn df = Inverstransform∫ π−π X(f)ejωn dω= 12π3.∑aν x ν (n) ←→ ∑ ν a ν X ν (f) Linjäritet4. x(n − n 0 ) ←→ X(f) · e −j2πfn 0Skift5. x(n)e j2πf 0n←→ X(f − f 0 ) Frekvenstranslation6. x(n) · cos 2πf 0 n ←→ 1 2 [X(f − f 0)+X(f + f 0 )]Modulation7. x(n) · sin 2πf 0 n ←→ 1 2j [X(f − f 0) − X(f + f 0 )]Modulation8. x∗ y ←→ X(f) · Y (f) Faltning9. x· y ←→ ∫ 1/2−1/2X(λ) · Y (f − λ)dλ Produkt10.∑ ∞l=−∞x(l)y(l) =Parsevals teorem= ∫ 1/2−1/2 X(f)Y ∗ (f)df för reellvärda tidsföljder11. X(f) =X (e jω ) Om x(n) =0för n

16. 2f 1 · sinc(2f 1 · n) =2f 1sin(2πf 1 n)2πf 1 n⎧( ) ⎪⎨←→ rect fp2f1=⎪⎩Idealt LP-filter17. 4f 1 sinc(2f 1 n)cos(2πf 0 n)1 |f − n|

B.5 Några egenskaper hos DFTTidFrekvensx(n), y(n) X(k), Y(k)x(n) =x(n + N) X(k) =X(k + N)x(N − 1) X(N − k)x((n − 1)) X(k)e −j2πk1/Nx(n)e j2π1n/N X((k − 1)) x ∗ (n) X ∗ (N − k)x 1 (n) ○∗ x 2 (n) X 1 (k)X 2 (k)x(n) ○∗ y ∗ (−n) X(k)Y ∗ (k)1x 1 (n)x 2 (n) N 1(k) NX 2 (k)∑ N−1n=0 x(n)y ∗ 1 ∑(n) N−1N k=0 X(k)Y ∗ (k)52