O MÉTODO DE EXAUSTÃO E SUA CONTRIBUIÇÃO PARA O ...

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$(LOCALIZA\307\303O DE SALAS) - Universidade CatÃ³lica de BrasÃlia$

que fixava o limite superior. E assim, através desse processo, chegou-se a um valor aproximado para a área do círculo a qual figurava, rigorosamente, entre esse dois limites. Bastante contribuição teve para a matemática ao utilizar essa inovação de fazer uso da aproximação no lugar da igualdade precisa. Arquimedes percebeu que com freqüência bastava fazer duas aproximações comparativamente fáceis de uma resposta que propusesse um limite inferior e um outro superior – entre os quais residiria a resposta. Quanto maior a exatidão exigida, mais estreitos os limites. Por exemplo, no diagrama anterior, os lados de um polígono podiam ser aumentados indefinidamente, reduzindo assim a diferença entre os limites superior e inferior até um resultado infinitesimalmente pequeno. Assim teve início o cálculo, embora outros 2.000 anos ainda fossem necessários antes que alguém desenvolvesse essa idéia. Isso só aconteceu a partir de 1666, quando Newton formulou os elementos essenciais do cálculo diferencial. Utilizando os recursos da matemática moderna, refinada e tendo a figura 3 como apoio, vamos mostrar a aproximação feita para π , partindo de dois polígonos de 96 lados, um inscrito e outro circunscrito à circunferência, assim como Arquimedes considerou. Considere, também, o raio da circunferência igual a 1. 360 1 360 360 Temos α = e β = ⋅ , ou seja, β = . Das relações trigonométricas em um 96 2 96 192 l triângulo retângulo, temos 2 l l 360 sen β = = , mas = sen , o que nos dá aproximadamente 1 2 2 192 l = 0, 0654381656 , sendo l o lado do polígono inscrito. Sendo a o apótema do polígono inscrito, por Pitágoras temos: 2 2 2 l l a = 1− = 1− , ou 2 4 a = l 1− 4 = 0, 9994645875. Agora, calculando a área A t de um dos 96 triângulos do l ⋅ a polígono inscrito (ver figura 3) temos: At = . Resulta que a área do polígono inscrito é 2 l ⋅ a Ap = 96 ⋅ At = 96 ⋅ = 48⋅ l ⋅ a , onde 48 ⋅ l = p , semi-perímetro do polígono inscrito. Disso 2 resulta que encontramos: = 48 ⋅ l ⋅ a , ou A = 3, 1393502030 , aproximadamente. A p p Considerando agora o triângulo maior, do polígono circunscrito, formando o mesmo ângulo L β , temos: 2 L tg β = . Então = tgβ , ou L = 0, 0654732008 , aproximadamente. Como o 1 2 apótema do polígono circunscrito é o raio r = 1 da circunferência, podemos calcular a área L ⋅1 L A T de um dos 96 triângulos do polígono circunscrito. Assim, AT = = e a área do 2 2 2 10
polígono circunscrito será (polígono grande): L AP = 96 ⋅ AT = 96 ⋅ = 48 ⋅ L (ou o 2 semiperímetro do polígono circunscrito). Temos, = 48 . L = 48. 0, 065463008 , resultando A = 3, 1427145996 , aproximadamente. G Portanto, de nossos cálculos, com valores bem próximos aos de Arquimedes, temos: A ≤ A ≤ A , onde 2 = π ⋅ r é a área do círculo. Como r = 1, segue que p C G A C A G 3, 1393502030 ≤ π ≤ 3, 1427145996 . 3.3 O Método de Equilíbrio de Arquimedes: o volume da esfera O método de exaustão é rigoroso, mas estéril. Em outras palavras, uma vez conhecida uma fórmula, o método de exaustão pode se constituir num elegante instrumento para prová-la, mas o método, por si só, não se presta para a descoberta inicial do resultado. Quanto a esse aspecto, o método de exaustão assemelha-se muito ao princípio de indução matemática, ou seja, será que esta propriedade vale sempre, para qualquer situação? Como, então, Arquimedes descobriu as fórmulas que tão elegantemente demonstrava pelo método de exaustão? Com a descoberta feita em 1906 por J. L. Heiberg, na biblioteca de um mosteiro em Constantinopla, a questão teve, finalmente, esclarecimento. Através de uma cópia de um tratado escrito por Arquimedes, cujo nome ficou conhecido como O método e que se encontrava perdido desde os primeiros séculos de nossa era. Esse texto foi escrito por volta do século X num pergaminho e, depois, por volta do século XIII, foi raspado para em seu lugar ser escrito um texto religioso. Com o tempo, o texto apagado voltou a ficar visível em alguns trechos. Felizmente, foi possível restaurar a maior parte do texto original. Para descobrir, então, suas fórmulas, Arquimedes usou o Método de Equilíbrio ou lei das alavancas. Considere a figura 4 abaixo: teremos equilíbrio se o produto do peso X pela distância x entre o ponto de suspensão de X e o fulcro for igual ao produto do peso Y por sua distância y ao fulcro (esses produtos são, por vezes, chamados de momento). Para Eves (1997): Figura 4 “Esse método diz que para determinar uma área ou um volume, corte a região correspondente num número muito grande de tiras planas ou de fatias paralelas 11
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