O MÉTODO DE EXAUSTÃO E SUA CONTRIBUIÇÃO PARA O ...

empregado nas primeiras obras. Isto quer dizer que o método era particular (usado de forma
diferente) para cada problema
Este método, que se tornou o modelo grego nas demonstrações de cálculos de áreas e
volumes, era muito rigoroso, no entanto, tinha um grande senão: o resultado para ser provado,
tinha de ser conhecido a priori. Arquimedes, sem dúvida, calculava integrais, mas como não
as conhecia e pela semelhança com a idéia de cálculo integral dos tempos modernos, foi
atribuído a esse processo o nome de método de exaustão. De onde concluímos que
Arquimedes foi o precursor da integração.
Arquimedes era um estudioso da matemática e autor de vários trabalhos dos quais muitos
foram perdidos. Das obras que foram preservadas, destacam-se as seguintes em ordem
cronológica:
Sobre o Equilíbrio das Figuras Planas I;
A Quadratura da Parábola;
Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas II;
Sobre a Esfera e o Cilindro;
Sobre as Espirais;
Sobre os Cones e os Esferóides;
Sobre os Corpos Flutuantes;
A Medida de um Círculo;
O Contador dos Grãos de Areia.
Dessas obras citadas, iremos mostrar a aplicação do método da exaustão em duas delas: A
Quadratura da Parábola, A Medida de um Círculo. A terceira aplicação será da obra O
Método, perdida até 1906. Nesta aplicação, mostraremos o método de equilíbrio de
Arquimedes. Ainda existem outros textos perdidos ou incompletos (corrompidos por
traduções) como o Livro dos Lemas.
3. APLICAÇÕES DO MÉTODO
3.1 A Quadratura da Parábola
Dos tratados onde houve aplicação do método de exaustão, o mais popular era a Quadratura
da Parábola. Sabe-se que, na matemática grega, a determinação de áreas e volumes fazia-se
por comparação com áreas conhecidas, como, por exemplo, a área do quadrado. Quadratura
(ou quadrar) era o nome que se dava a essa determinação. Medir uma figura geométrica, para
os geômetras gregos, não era encontrar um número, mas sim uma figura conhecida com o
mesmo comprimento, área ou volume da primeira. Nessa perspectiva, o que se coloca não é o
problema de calcular a medida de uma área, mas o problema de determinar a relação entre
duas áreas: a área que se quer conhecer e uma área já conhecida, comparando-as. As secções
cônicas eram conhecidas havia mais de um século quando Arquimedes escreveu, mas nenhum
progresso fora feito no cálculo de suas áreas. A prova pelo método de Exaustão é longa e
elaborada, mas Arquimedes provou rigorosamente que a área K de um segmento parabólico é
quatro terços da área de um triângulo T tendo a mesma base e a mesma altura do segmento
parabólico.
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