O MÉTODO DE EXAUSTÃO E SUA CONTRIBUIÇÃO PARA O ...

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$(LOCALIZA\307\303O DE SALAS) - Universidade CatÃ³lica de BrasÃlia$

Para calcular a área do triângulo t 01 temos que achar a sua altura h , que é a distância do ponto D a F : simples chegamos a ( 2 + ab) 4a( 1 + ab) 2 ( 2 + ab) ( 1 + ab) ab 1 b b b h = d( D, F) = − + − . Com cálculos 2 a 4 4 2 b h = . A base do mesmo triângulo é 4 1 + ab 2 b 2 b + ab d( A, C) = + b = . Assim, a área do triângulo t 01 é: a a A t 01 = 1 2 b + ab a 2 ⋅ 4 b 1 + ab . Daí, a área dos triângulos t 01 e t 02 somadas é T 1, onde T 1 = 2 b + ab ⋅ a 4 b b = 1 + ab 4 b T0 = . O processo é essencialmente o mesmo para provar a 4 T1 que T 2 = e os demais. 4 Voltando ao cálculo da área do segmento parabólico, basta perceber que o polígono construído (ver figura 1) se aproxima efetivamente do segmento da parábola e que T0 + T1 + 4 T0 T 0 T 0 T 0 4 T2 + T4 + ...+ T n + ...= T 0 , ou melhor, T0 + + + + + + → T 2 3 n 0 . 3 4 4 4 4 3 Em linguagem atual, pensando em repetir o processo infinitamente, teríamos 1 1 1 T0 1+ + + ... + n 4 16 4 + ... ∞ 1 = T0 n n= 0 4 ∞ 4 1 = T0 , pois a série n 3 n=0 4 converge para 4 , já que ela 3 1 é a soma de uma progressão geométrica infinita de razão . Sendo assim, a soma de seus 4 1 1 4 termos é dada por: = = . 1 3 1− 3 4 4 O elegante é observar que mesmo não pensando no infinito (soma de infinitos termos), Arquimedes encontra a soma exata da série. 3.2 A Medida de um Círculo Em A Medida de um Círculo, obra composta por apenas três proposições, Arquimedes demonstra primeiro que a área A de um círculo de raio r é igual a de um triângulo cuja base é rC igual à circunferência C do círculo e cuja altura é r , ou seja, A = . Resulta disso que a 2 razão da área do círculo pelo quadrado de seu raio é igual à razão da sua circunferência por seu diâmetro. Esta razão comum é o que chamamos hoje de π . Já se tinha em mente, naquela época, um valor aproximado para π de 3 , 16 descoberto pelos egípcios no século XV a.C., aproximadamente. Eles partiram de um quadrado inscrito e outro circunscrito à circunferência 2 8
e, em seguida, dobrando-se os lados dos respectivos quadriláteros, obtendo-se com isso dois polígonos de oito lados, calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscritos e circunscritos e o diâmetro da circunferência. Arquimedes também quis descobrir a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. A diferença e que Arquimedes partiu de um hexágono regular inscrito e outro circunscrito à circunferência e calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. O resultado obtido por Arquimedes descrito na matemática atual 10 1 equivale a considerar que 3 < π < 3 , que, em decimais, teríamos o seguinte intervalo: 3 , 14084 < π < 3, 142858 . 71 7 Arquimedes calculou a área de um círculo descobrindo os limites entre os quais essa área se estende e depois estreitando pouco a pouco esses limites até mais ou menos a área real. Para isso, inscreveu dentro do círculo um polígono regular e depois circunscreveu o círculo com um polígono similar. Figura 3 O processo utilizado por Arquimedes consistia na utilização de dois hexágonos e, através da duplicação de seus lados e da repetição do processo, Arquimedes, finalmente, chaga a um polígono de 96 lados. Em seguida, calculou a área do polígono interno que estabelecia o limite inferior da área do círculo. Feito isso, calculou-se também a área do polígono externo, 9
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