O MÉTODO DE EXAUSTÃO E SUA CONTRIBUIÇÃO PARA O ...

Ainda, conforme Boyer (1996):
“Segundo Arquimedes, foi Eudoxo (408 – 355 a. C.) que forneceu o axioma que
hoje tem o nome de Arquimedes, às vezes, chamado axioma de Arquimedes e que
serviu de base para o método de exaustão, o equivalente grego de cálculo integral.
O axioma diz que: dadas duas grandezas que têm uma razão (isto é, nenhuma
delas sendo zero), pode-se achar um múltiplo de qualquer delas que seja maior
que a outra. Esse enunciado eliminava um nebuloso argumento sobre segmentos
de reta indivisíveis, ou infinitésimos fixos, que às vezes aparecia.” (Boyer, 1996).
Do axioma de Eudoxo (ou Arquimedes) é fácil, por uma redução ao absurdo, provar uma
proposição que formava a base de método de exaustão dos gregos:
Proposição: Se de uma grandeza qualquer se subtrai uma parte não menor que sua metade e
do resto novamente subtrai-se uma parte não menor que sua metade, e assim por diante, se
chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma
espécie.
Demonstração: em linguagem matemática moderna, temos: seja M uma grandeza qualquer;
1
ε uma grandeza prefixada e ≤ r < 1.
Fazendo M − Mr = M1,
segue que M1 = M ( 1−
r)
,
2
2
mas M − M r = M M = M ( 1−
r)
M = M ( 1−
r).(
1 − r)
M = M ( 1 − r)
, sabe-se
1
1
2
2
1
2
que M 2 − M 2r
= M 3 M 3 = M 2 ( 1−
r)
M 3
2
= M ( 1−
r)
.( 1−
r)
M 3
3
= M ( 1−
r)
...
N
1
Repetindo sucessivamente chegamos a M N = M ( 1−
r)
. Como 0 < 1−
r ≤ , temos que
2
N
( 1−
r) tende a zero com o crescimento de N . Daí, encontra-se N , tal que
N
M = M ( 1−
r)
< ε , qualquer que seja o valor dado para ε .
N
“Esta proposição que chamaremos de ‘propriedade de exaustão’ equivale à
seguinte formulação moderna: se M é uma grandeza dada,ε uma grandeza
1
prefixada de mesma espécie e r é uma razão tal que ≤ r < 1,
então podemos
2
achar um inteiro N tal que: − < ε
N
M ( 1 r)
, para todo n > N . Isto é, a
propriedade de exaustão equivale a dizer que lim M ( 1−
r)
= 0 . Ainda mais, os
n→∞
gregos usaram essa propriedade para provar teoremas sobre as áreas e volumes de
figuras curvilíneas.” (Boyer, op cit).
Neste contexto, Arquimedes fez aplicações muito importantes do chamado “método de
exaustão”, as quais contribuíram para marcar a importância deste método na matemática
antiga e para o desenvolvimento de grande parte da matemática como concebemos hoje. No
entanto, nem Arquimedes nem qualquer outro matemático grego apresentam o método de
exaustão sob a forma de um resultado geral aplicável a todas as figuras (ou pelo menos a mais
de um caso). Dada a figura, observava-a e tentava formar figuras circunscritas e/ou inscritas,
valendo-se das propriedades daquela figura particular. Era este, ao menos, o procedimento
n
2
3