TEORIA DAS DEFORMAÇÕES - FEC

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL,ARQUITETURA
E URBANISMO
TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
Departamento de Estruturas
PROF DR. NILSON TADEU MASCIA
CAMPINAS, JANEIRO DE 2006

1. Introdução
II - TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
A análise das deformações de um corpo sólido iguala-se em importância à análise
de tensões e se constituirá de nosso objeto de estudo nesta segunda parte da teoria das
tensões e deformações.
Para isso será necessária a definição precisa de deformação em primeiro lugar, e das
relações entre tensão e deformação na forma da lei de Hooke generalizada, a seguir.
2. Significado físico de deformação
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a ação
de uma carga externa. Por exemplo, num ensaio de corpo de prova de aço, como mostrado
na figura abaixo, ocorre mudança no comprimento do C. P., entre dois pontos A e B. a
carga aplicada é crescente e os pontos A e B são genéricos.
Fig. 1 - Modelo do ensaio de tração

Neste ensaio determina-se a variação do comprimento compreendido entre A e B.
Se 0 é o comprimento inicial e aquele observado sob tensão de tração, o
alongamento da barra vale: ∆ = − 0 .
O alongamento por unidade de comprimento vale:
ε =
d
=
− 0
0
0
Esse alongamento por unidade de comprimento é chamado de deformação linear ou
específica, sendo uma quantidade adimensional, mas usualmente se pode referir a ela por
cm/cm ou mm/mm. Algumas vezes é dada em porcentagem. A quantidade ε é
numericamente bastante pequena. Se se considerar a variação do comprimento da peça a
expressão anterior ficaria:
ε
=
0
d
=
]
ln 0
Além da deformação linear descrita acima, um corpo em geral pode se deformar
linearmente em outras duas direções. Analiticamente as direções são ortogonais entre si e
relacionadas nos eixos x, y, z. Assim um corpo pode se deformar como na figura abaixo.
0
=
ln
Fig. 2 - Deformações tangenciais
0

Tais deformações causam uma mudança nos ângulos inicialmente retos, entre linhas
imaginárias do corpo e essa alteração angular é definida por deformação cisalhante ou
deformação tangencial.
3. Definição matemática de deformação
As deformações variam de ponto a ponto a ponto num elemento estrutural
infinitesimal (continuidade do material). Para esclarecimento das deformações, via
definição matemática, toma-se um elemento infinitesimal (AB), como mostra a figura:
Fig. 3 - Deslocamento e deformação
Os pontos A e B passam para A’ e B’ respectivamente. Durante a deformação, o
ponto A sofre um deslocamento u. o deslocamento do ponto B é u + ∆u
, pois, além de u
comum a todo elemento ∆ x , ocorre o alongamento ∆u no elemento. Assim, a definição de
deformação linear é:
ε
=
Lim u − ∆u
+ u
∆x
→ 0 ∆x
=
Lim ∆u
∆x
→ 0 ∆x
Se um corpo sofre deformação em direções ortogonais, como mostra a figura para o
caso bidimensional,
=
du
dx

Fig. 4 - Deslocamento e deformação. Caso plano
As deformações decorrentes podem ser indicadas por meio de índices. Pela mesma
razão é necessário mudarem-se as derivadas ordinárias para parciais. Dessa forma, se em
um ponto de um corpo os componentes de deslocamento nas direções x e y (caso
bidimensional) forem u e v, as deformações lineares são:
ε
ε
x
y
=
=
∂u
u + dx − u
∂x
dx
∂v
v + dx − v
∂y
dy
No caso tridimensional acrescenta-se:
deslocamento na direção z.
ε z =
∂w
, onde w representa o
∂z
O sinal positivo se aplica aos alongamentos e o negativo aos encurtamentos.
Além da deformação linear, um elemento pode sofrer uma deformação angular
(transversal), como mostrado na figura abaixo, em relação ao plano x-y:
=
=
∂u
∂x
∂v
∂y

Fig. 5 - Deformações tangenciais. Caso plano.
Esta deformação inclina os lados do elemento deformado em relação aos eixos x e
y. como v é o deslocamento na direção y, na direção x tem-se que a inclinação do lado PQ
∂ v
inicialmente horizontal é .
∂x
__________________
Obs.: Num elemento do quadrado PRSQ
dx = ds cosθ
dy = ds senθ

Fig. 6 - Deformações tangenciais. Análise de γ.
e num elemento do quadrado deformado P’R’S’Q’ vem:
Sendo γxy muito pequeno vem:
Fig. 7 - Deformações tangenciais. Análise de γ.
cos(π/2 + γxy) = -senγxy ≈ -γxy = γ1 + γ2
_______________________
Analogamente, o lado vertical gira de um ângulo ∂ u / ∂y
, como conseqüência o
ângulo reto PRQ reduz de
∂v
∂u
+ = γ 1 + γ 2 = γ xy
∂x
∂y
valendo estas considerações para pequenas variações dos ângulos 1
ter:
γ e 2
γ , donde se pode

tg γ 1 ≈ sen γ 1 ≈ γ 1 , valendo também para γ 2 .
O sinal positivo para a deformação angular se aplica quando é deformado segundo a
figura desenhada anteriormente, e pode-se relacionar com os τ xy positivos na convenção de
sinais adotada anteriormente.
Para os planos xz e yz as definições são semelhantes, portanto:
________________________
∂w
∂u
+
∂x
∂z
∂w
∂v
+
∂y
∂z
=
=
γ =
zx
γ =
Obs.: Uma importante observação a respeito das relações deslocamento/deformação é que as deformações,
em numero de seis, dependem de três deslocamentos. Assim as equações não são independentes, necessitando
de equações de compatibilidade para solução do problema.
a) CASO TRIDIMENSIONAL
b) CASO PLANO
Deform. ε x,
ε y,
ε z,
γ xy,
γ xz , γ yz Desloc. u, v, w
b.1) CASO PLANO DE TENSOES
Deform. ε x,
ε y , ε z , γ xy Desloc. u, v, w
b.2) CASO PLANO DE DEFORMAÇOES
Deform. ε x,
ε y,
γ xy Desloc. u, v
__________________________
yz
γ
γ
xy
zy

4. Deformação Elástica
Lei de Hooke
Suponhamos que o corpo ou sólido a ser estudado siga a lei de Hooke e seja de
material isótropo.
Define-se isotropia a propriedade de um material ter o mesmo comportamento
elástico em qualquer direção.
A lei de Hooke é aplicada com as seguintes considerações:
a) Se em todos os pontos de um sólido atua a mesma tensão σ de direção
constante, um comprimento na direção de σ, sofre um alongamento:
σ ⋅
∆ =
E
b) Na direção normal à tensão σ no comprimento t, ocorre um encurtamento:
ν ⋅t
⋅σ
∆ t = −
E
Esquematicamente:
Fig.8 - Alongamento e contração na tração.

se:
tem-se:
Fazendo-se:
Como:
∆
=
σ
E
∆
e
=
ε
ν
∆t
σ
− = e igualando-se as expressões tem-
ν ⋅ t E
∆
ε y
=
∆t
−
ν ⋅ t
∆t
e = ε x ,
t
x ε y = −
ν = −
Sendo ν chamado de coeficiente de Poisson e genericamente representado por:
ε x
ε
ε i deformação lateral ( −)
ν ij = − =
,
ε j deformação axial ( + )
com ν variando entre 0 e 0,5 como veremos mais tarde.
É interessante notar que há, até agora, duas constantes de isotropia, E e ν, válidas
para x, y e z.
Considerando-se agora um elemento tridimensional solicitado segundo as direções
principais:
a) Aplicando-se apenas a tensão σ1:
∆
1
'
=
1
E
σ
1
,
∆
2
'
=
ν
−
2
E
σ
1
,
∆
y
3
'
=
ν
−
3
E
σ
1

∆
∆
Fig. 9 - Lei de Hooke. Caso tridimensional.
b) Aplicando-se apenas a tensão σ2:
1
'
=
ν
−
1
E
σ
2
,
∆
2
'
c) Aplicando-se apenas a tensão σ2:
1
'
=
ν
−
1
E
σ
3
,
∆
2
'
=
=
2
E
ν
−
Juntando-se ∆ 1 para os três casos tem-se:
∆
1
'+
∆
1
' +
(superposição de efeitos)
→
∆
'
+
∆
1
∆
'
=
'
+
∆
1
E
'
σ
1
σ
2
2
E
,
ν
−
σ
1
E
3
1
,
E
∆
σ
2
3
'
∆
=
3
ν
−
'
ν
−
1
E
=
σ
[ σ −ν
( σ + ) ]
1 1
1 =
1 2 σ 3
1
1
1
∴
1
ε 1 = 1 2 +
E
[ σ −ν
( σ σ ) ]
3
3
3
E
3
σ
E
2
σ
3

analogamente para ∆ 2 e ∆ 3 tem-se:
Cisalhamento puro
1
ε 2 = 2 1 +
E
[ σ −ν
( σ σ ) ]
1
ε 3 = 3 1 +
E
[ σ −ν
( σ σ ) ]
Considerando-se o cisalhamento puro caracterizado por:
σ
1
=
σ
2
−σ
=
3
0
=
σ
A figura abaixo mostra uma chapa com este estado de tensão e o respectivo círculo
de Mohr.
Fig. 10 - Cisalhamento puro.
O alongamento específico na direção da tração seria:
ε
=
1
E
[ σ −νσ
] = σ
1
2
3
2
1+
ν
E

Tomando-se agora um elemento quadrático 1-2-3-4 cujas faces formam um ângulo
de 45º com as direções principais (tração e compressão), tem-se que a tensão normal nestas
faces é nula, atuando apenas uma tensão cisalhante τ, cujo valor é σ, como mostra o círculo
de Mohr. A diagonal , horizontal, sofrerá um alongamento tal que:
∆
=
ε
=
1+
ν
+ ν
σ , pois ε = σ
E
E
1
.
Fig. 11 - Distorção do elemento
E a diagonal vertical encurtará do mesmo valor.
Deste modo o quadrado 1-2-3-4 torna-se um losango.
Na figura a seguir os desenhos do quadro e do losango são repetidos mas com os
pontos 1 e 2 fixos.

Fig. 12 - Distorção do elemento.
Assim, é verificado que a deformação se resume numa variação do ângulo reto, ou
seja, a distorção (variação do ângulo reto) vale, para pequenas deformações:
________________________________
∆ 2 ∆
γ ≈ tg γ ≈ = 2 = 2ε
/ 2
γ
=
1+
ν
2 σ
E
OBS.: Esta demonstração baseia-se no fato de ∆ ser “bastante” pequeno em relação a e também E ser
“bastante” grande, como aliás o é nos materiais usuais.
________________________________
Isolando-se o elemento 1− 2 − 3 − 4 pode-se concluir que as tensões τ, iguais em
módulo às tensões principais ±σ, causaram a variação do ângulo reto. Vale portanto a
relação (como visto em torção):
τ
γ =
γ =
G
σ
G

G
=
( 1+
ν )
Esta relação vincula os três parâmetros elásticos para materiais isotrópicos: E, G, ν;
sendo, dos três, apenas dois independentes.
Lei de Hooke generalizada
Pode-se chegar, agora, ao nível de se indicar a lei de Hooke para um elemento
solicitado pelas tensões:
2
E
σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz
Portanto, considerando-se o carácter linear das relações entre tensão e deformação,
que permite uma superposição de efeitos, tem-se a lei de Hooke generalizada:
[ σ −ν
( σ + σ ) ]
ε x =
1
E
x y z ; γ xy =
ε y =
1 [ σ y −ν
( σ x + σ z ) ] ;
E
γ xz =
ε z =
1 [ σ z −ν
( σ x + σ y ) ] ;
E
γ yz =
Os componentes de deformação (σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz) definem o estado de
deformação, similar ao estado de tensão (este tridimensional).
Análise do coeficiente de Poisson
É interessante a análise do coeficiente de Poisson no sentido de quantificá-lo
numericamente e com isso também quantificar o valor de G função de E e ν, ou tendo G e ν
determinar E, sendo a primeira situação a mais prática.
Imaginando para este fim um corpo cilíndrico de material isótropo carregado nas
bases com pressão P e lateralmente com p1, como mostra a figura:
τ
xy
G
τ xz
G
τ
yz
G

Estado de tensão
σ1 = -P
σ2 = σ3 = -p1
Fig. 13 - Pressão num sólido.
A direção longitudinal é uma das principais e qualquer uma das direções
transversais pode ser também principal (a forma da seção transversal não influi).
Escolhemos agora a relação entre p1 e P de tal modo que a deformação elástica consista
apenas numa variação dos comprimentos longitudinais sem variação da área da seção.
Tem-se um estado linear de deformação caracterizada por:
_________________________________
ε1 ≠ 0, ε2 = ε3
Obs.: No estado linear de tensão tem-se σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0
_________________________________
Assim, com σ1 = -P, σ2 = σ3 = p1
ε
2
=
1
ν
− 1 1
1
E 1−ν
[ p −ν
( p + P)
] = 0 p = P

E, para ε3 = 0, chegaria-se à mesma relação de pressões.
Fazendo-se:
ε
ε
1
1
=
=
∆
=
P
−
E
ν
1−
2ν
1−ν
P 2(
0,
5 −ν
)( 1+
ν )
−
E 1−ν
O encurtamento específico ε1 exprime a “variação” de volume porque a seção não
varia. Desta equação resulta: ν < 0,5, pois caso contrário as pressões P e p1 produziriam
aumento de volume, o que não é possível.
Da equação p1
=
ν
P conclui-se que:
1−ν
ν ≥ 0,
pois se ν < 0 significaria que tendência da pressão longitudinal P de aumentar a área deve
ser combatida por uma tração transversal, que é compatível com a hipótese do problema em
estudo.
Há, portanto, os limites teóricos para o coeficiente de Poisson:
Por curiosidade, para o aço, ν ≈ 0,3.
0 < ν < 0,5
Vale ressaltar que estas deduções servem apenas para materiais isótropos.
Pode-se então analisar a relação:
G
=
E
2( 1+
ν )
Se: ν = 0,
5 G =
E
2(
1+
0,
5)
G =
E
3
Conclusão: G < E Aço: G ≈ 8.000 KN/cm 2 , E = 21.000 KN/cm 2 .
4.5. Dilatação; módulo volumétrico.
Considerando-se os lados de um elemento infinitesimal dx, dy, dz. Após a
deformação os lados ficam:

Faz-se:
(1+εx)dx; (1+εy)dy; (1+εz)dz
Tomando-se agora o volume antes da deformação e depois da deformação tem-se:
dV = dx dy dz
dV = ∆dV = (1+εx)dx(1+εy)dy (1+εz)dz
dV + ∆dV – dV = (1+εx)dx(1+εy)dy (1+εz)dz - dx dy dz
∆dV ≈ (εx + εy + εz) dx dy dz
onde foram desprezados os produtos de deformação εxεy, εxεz, εyεz, εxεyεz, pois são muito
pequenos.
A variação de volume é freqüentemente denominada de DILATAÇÃO, e pode ser
escrita por:
e = εx + εy + εz = ε1 + ε2 + ε3
sendo e um invariante de deformação.
No caso plano: e = εx + εy = ε1 + ε2
Observa-se, neste momento, que as deformações angulares (γ) não causam variação
de volume.
Com base na lei de Hooke generalizada, a dilatação pode ser expressa em termos
das tensões e das constantes do material.
Assim:
e = εx + εy + εz
1
1
[ σ −ν
( σ + σ ) ] + [ σ −ν
( σ + σ ) ] + [ σ −ν
( σ + ) ]
1
e =
x y z
y x z
z x σ y
E
E
E
Daí tira-se que:
( σ + σ + )
1−
2ν
e =
x y σ z
E
e é proporcional a ( σ + σ + σ ) , que é também invariante (de tensões).
Portanto:
x
y
e
z
=
1−
2ν
Θ
E

sendo Θ = ( σ + σ + σ ) .
x
y
z
No caso de um corpo elástico submetido a uma pressão hidrostática de intensidade
p, tem-se
σ = σ = σ
x
y
z
=
− p
1−
2ν
Daí: Θ = - p em e = Θ
E
Fazendo-se
−
p
e
=
K
=
e
=
fica:
E
3( 1−
2ν
)
1 2ν
3 p
E
−
−
A quantidade K é chamada de módulo de compressão ou módulo volumétrico, e
representa a relação entre compressão hidrostática e a variação de volume.
6. Deformação no estado plano de tensão
Considerando um estado plano de tensões definido por:
e esquematicamente por:
σ ,
x
σ ,
z
σ ,
τ
y
xz
,
τ
τ
xy
yz
,
≠
=
0
0

Fig. 14 - Estado de deformação.
E as expressões da lei de Hooke ficam:
ε
ε
ε
x
y
z
=
=
=
1
( σ x −νσ
y )
E
1
( σ y −νσ
x)
E
ν
− ( σ x + σ y)
E
τ xy
γ xy = com
G
____________________
G
=
ε , ε , ε , γ ≠
x
E
2( 1+
ν )
Observação importante: no caso plano de deformação existe uma tensão σz ≠ 0 o que implica um estado de
tensão triaxial.
____________________
No caso plano de deformação tem-se:
y
z
xy
0

E as expressões da lei de Hooke ficam:
ε
ε
ε
x
y
z
=
=
=
ε ,
x
ε ,
z
ε ,
y
γ ,
xz
γ
xy
γ
1
[ σ x −ν
( σ y −σ
z )]
E
1
[ σ y −ν
( σ x + σ z )]
E
1
[ σ z −ν
( σ x + σ y)]
E
τ xy
γ xy = com
G
yz
≠
=
0
0
σ
z
=
E
2( 1+
ν )
ν ( σ + σ )
6.1 Equações para a transformação de deformação plana (tem desenvolvimento
análogo ao de tensão).
G
Fig. 15 - Estado de tensão.
Então sendo conhecidas as tensões σx, σy e τxy, deseja-se conhecer as deformações
εx, εy e γxy. Assim:
=
x
y

ε
ε
ε
γ
x
z
y
xy
=
1
( σ x −νσ
y )
E
σ z = 0
=
1
( σ y −νσ
x )
E
σ z = 0
=
ν
− ( σ x + σ y )
E
σ z = 0
=
τ xy
G
Deseja-se, também, conhecer as deformações em um plano girado dθ (anti-horário).
Para rotações de tensões tem-se:
2
2
σ x = σ cos θ + σ sen θ + τ sen 2θ
x
Para β = θ + 90º tem-se:
2
2
σ y = σ sen θ + σ cos θ − τ sen 2θ
x
Para as deformações tem-se:
y
y
- Tomando-se um elemento dx, dy que se deforma tem-se:
Para as direções x e y tem-se:
xy
xy
Fig. 16 - Deformação no elemento.

E as deformações ficam:
Fig. 17 - Deformação no elemento.
ε x
ε y
ε x
γ
xy
1
= ( σ x −νσ
y )
E
1
= ( σ y −ν
σ x )
E
ν
= − ( σ x + σ y )
E
τ xy
=
G
Substituindo-se na equação de ε x os termos de σ x e σ y resulta-se:
ε
ε
2
=
ε + ε
2
±
2 ( ε − ε ) ( γ )
1 x y
x y xy
e as deformações tangenciais nestes planos são nulas.
A deformação máxima de cisalhamento ocorre nos planos a 45º com os planos
principais e vale:
2
+
2 ( ε − ε ) ( γ )
1
x y
γ max =
+
2
2
xy
2
2
2
2

Círculo de Mohr para deformação
Analogamente ao estado de tensão obtém-se:
__________________________
E como observações há:
Fig. 18 - círculo de Mohr.
a) A deformação linear máxima é ε1 e mínima é ε2. Essas são as deformações principais e nenhuma
deformação angular (γ) está associada a elas. As direções das deformações principais coincidem com
as das tensões principais.
b) A maior deformação angular é γmax e vale o raio do círculo de Mohr. Assim:
R
=
γ
max
=
ε1
− ε 2
2
c) A soma das deformações lineares em quaisquer duas direções mutuamente perpendiculares é
invariante:
εx + εy = ε1 + ε2 = constante

d) Nos planos em que as deformações angulares (cisalhantes) são máximas, as deformações normais
(lineares) são:
ε 1 + ε 2
2
e) O ponto P do círculo funciona como pólo e o círculo de Mohr é traçado analogamente ao das
tensões. E, finalmente, pode-se fazer a seguinte analogia entre tensão e deformação:
____________________________
7.
Solução:
Exercício nº 1
Tensões Deformações
σx
σy
τxy
σ x
σ y
τ xy
εx
εy
1/2γxy
ε x
ε y
1/2γ xy
Um elemento de um sólido se contrai de 5x10 -4 mm/mm, ao longo do eixo x, e se
alonga de 3x10 -4 na direção de y e se distorce de um ângulo de 6x10 -2 rad, como
mostra a figura. Determinar as deformações principais e as direções nas quais
elas atuam. Utilizar o circulo de Mohr para a solução do problema.

Fig. 19 - Estado de deformação.
Fig. 20 - Círculo de Mohr

Solução:
Exercício nº 2
Sendo εa = 200 x 10 -6 e εb = 300 x 10 -6 deformações nas direções a e b
respectivamente d um certo ponto numa chapa.
Sabendo-se que εa é a deformação e vale ε2, determine as tensões e as
deformações para o ponto indicado.
Dados: E = 20.000 KN/cm 2 , ν = 0,3.
Fig. 21 - Estado de deformação.

εb = εy = 300 x 10 -6
εa = ε2 = ε x = 200 x 10 -6
Fig. 22 - Estado de deformação.
O cálculo de σx, σy, e τxy deverá ser feito pela lei de Hooke. Assim:
1
20.
000
εb = εy = 300 x 10 -6 = [ σ y − 0,
3σ
x ]
σy = 0,3 σx = 6 ......(I)
εa = ε x = 200 x 10 -6 =
−2
( ε x + 300×
10 )
−6
( ε x − 300 × 10 )
γ xy
2
+
2
cos( 2
εx + 1.732γxy = -100 x 10 -6 ................(A)
×
60º
)
+
2
sen( 2
×
60º
)
Como a direção principal é obtida por rotação de 60º do eixo x-x tem-se:

γ xy
tg(
2×
60º
) =
= −1,
732
−6
ε − 300×
10
− xy
x
−6
ε x − 0,
577γ
= − 300 × 10 .................... (B)
De (A) e (B) obtém-se:
εx = 500x10 -6
γxy = -346x10 -6
Com isto
τxy = γxyG =
τxy = -2,7 kN/cm 2
E:
εx =
σ x − 0 , 3σ
y =
De (I) e (II):
E
γ xy
2(
1+
ν )
=
( −346×
10
−6
)
20.
000
2(
1
+
0,
3)
1 1
−
[ σ x −νσ y ] = [ σ x − 0,
3σ
y ] = 500×
10
ε
20.
000
10
E o estado de tensão
σx = 13,0 KN/cm 2
σy = 9,9 KN/cm 2
6

__________________
Fig. 23 - Estado de tensão.
Observação: Pode-se resolver este problema por rotação de eixo. Assim se
ε
σ
σ
x
x
y
=
=
=
1
[ σ x −νσ
y ]
E
...
...
Obtêm-se condições básicas para solução.
_________________
Exercício nº 3
Para o tubo de parede fina são dados:
εaa = 1,40x10 -4
εbb = 4,80x10 -4
E = 21.000 kN/cm 2
ν = 0,3

Solução:
Determinar F e T
Fig. 24 - Tubo de parede fina.
Fig. 25 - Tubo de parede fina.

ε
bb
=
ε
ε
ε
a) Cálculo das tensões e deformações
Assim:
aa
bb
O tubo segundo sua vinculação estará sujeito pelos esforços T e F e em qualquer d
seus pontos de uma seção transversal ao estado de tensão acima.
=
=
ε
y
ε
x
=
=
−1,
4 × 10
4,
8×
10
−4
−4
Sendo σy e σz nulos pode-se obter por meio da expressão de εy o valor de σx.
Daí:
E:
x
E:
=
48×
10
ε
x
ε
y
=
−1,
4×
10
−4
=
1
[ 0
21000
σ = 9,
8 KN/cm 2
x
− 0,
3(
σ + 0)]
1 1
−
= σ x ε x = [ 9,
8]
= − 4,
67 × 10
E
21000
4,
67 × 10
−1,
4×
10
2
4,
67 × 10
x
−1,
4×
10
2
−4
−4
−4
−4
−4 xy
=
γ xy
=
+
6,
33×
10
−4
4
cos( 2×
45º
)
E
−4
21.
000
τ xy = σ xy ⋅G
= γ xy = = ( 6,
33×
10 ) × = 5,
1 KN/cm
2(
1+
ν )
2(
1+
0,
3)
2
+
γ
2
sen( 2
×
45º
)

) Cálculo dos esforços T e F
b1) Momento torçor T
Em tubos de parede fina tem-se:
∴
T
=
b2) Espaço normal F
2
π ⋅ dm
⋅t
τ xy ⋅
2
σ
F
c) Sentidos dos esforços
=
=
F
A
=
τ
xy
σ ⋅π
⋅ d ⋅ t
Sendo σ x e γ xy positivos tem-se:
x
x
2T
π ⋅ d ⋅t
= 2
m
5,
1⋅
π ⋅10
2
F
=
=
2
σ ⋅ A
∴ F = 61,
6 KN
x
⋅ 0,
2
=
9, 8⋅
π ⋅ 0,
10 ⋅ 0,
2
Fig. 26 - Tubo de parede fina. Esforços.
160 KN. cm

8. Medidas de deformação. Rosetas.
Extensômetros elétricos de resistência são pequenos instrumentos de uso comum
em laboratórios quando se deseja medir deformações. Fazendo-se composições com os
extensômetros pode-se chegar a um conjunto chamado roseta.
Na figura a seguir são apresentados dois tipos de rosetas. Uma denominada de
retangular e a outra de delta.
Fig. 27 - Composições com os extensômetros.
Formulários: se conhecidos θ1 , θ2 e θ3, e
εy e γxy pelas expressões:
ε
ε
ε
θ
θ
θ
1
2
3
=
=
=
1
2
3
1
1 2
, εθ εθ
e θ3
2
2
ε cos θ + ε sen θ + γ cosθ
senθ
x
2
2
ε cos θ + ε sen θ + γ cosθ
senθ
x
2
2
ε cos θ + ε sen θ + γ cosθ
senθ
x
y
y
y
2
3
xy
xy
xy
1
2
3
ε , podem-se obter εx,
Se θ1 = 0º, θ2 = 45º, θ3 = 90º Roseta retangular
ε ε γ
x y xy
εx = ε0º ; εy = ε90º ; ε45º = + +
2 2 2
∴ γ xy = 2ε
45º
− ( ε 90º
+ ε 0º
)
Se θ1 = 0º, θ2 = 60º, θ3 = 120º Roseta delta
1
3
2

εx = ε0º ; εy = (2ε60º + 2ε120º - ε0º)/3; γ = 2 / 3)(
ε − ε )
xy
( 60º
120º
A aplicação da técnica das rosetas em problemas experimentais de análise de tensão
é quase rotineiro.
Exemplo:
Se εa = 150×10 -6 , εb = 300×10 -6 e εc = 150×10 -6 são deformações em x, y e a
distorção γxy .
Fig. 28 - Exemplo. Extensômetros.
Solução: Aplicando-se a expressão da roseta retangular obtém-se?
εx = ε0º = εa = 150×10 -6
εy = ε90º = εc = 150×10 -6
ε 45º
= ε b =
ε ε x y γ xy
+ +
2 2 2
γ = 0
xy
ou γ xy = 2ε45º - (ε0º - ε90º)
γ xy = 0

Bibliografia.
FEODOSIEV, V. I. Resistencia de Materiales. Moscu: Editora Mir, 1980, 583p.
POPOV, E. G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgar
Blucher Ltda, 1978, 543p.
SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpet & Row do
Brasil, 1984, 395p.
Nilson Tadeu Mascia