Geometria métrica espacial 2

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
1. As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo
são 3m, 4m e 12m. Calcule:
a) Sua área total.
b) Seu volume.
c) Sua diagonal.
2. As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo
estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma
dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do
paralelepípedo é igual a 694 cm 2 , calcule:
a) a razão da P.A.
b) as dimensões do paralelepípedo
c) O volume do paralelepípedo
d) A medida da diagonal do paralelepípedo
3. Calcule o volume dos seguintes sólidos sabendo que
suas arestas laterais medem 7m e as arestas de suas
bases medem 6m:
a) Prisma triangular regular.
b) Prisma quadrangular regular.
c) Prisma hexagonal regular.
d) Pirâmide triangular regular.
e) Pirâmide quadrangular regular.
f) Pirâmide hexagonal regular.
4. Uma pirâmide hexagonal regular tem arestas com
medidas, em metros, iguais a 2 3 e 2 7 . Calcule:
a) a medida do apótema da sua base
b) a medida do apótema da pirâmide
c) a altura da pirâmide
d) a área da base da pirâmide
e) a área lateral da pirâmide
f) o volume da pirâmide
5. Um pedaço de cartolina retangular de 60cm por
80cm será recortado, como mostra a figura.
Depois do recorte, montamos um sólido fazendo
coincidir os pontos A 1 , A 2 , A 3 e A 4 , os pontos B 1 , B 2 , B 3
e B 4 , os pontos C 1 e C 2 e os pontos D 1 e D 2 .
C 1
A 1 A 2 A 3 A 4
D 1
C 2
B 1
60cm
D 2
B 2 B 3 B 4
a) Determine a área total da superfície deste sólido.
b) Determine a altura deste sólido.
c) Determine o volume deste sólido.
6. Considere um tetraedro regular ABCD de aresta 2 3 m
e calcule:
a) A área da sua superfície total
b) Sua altura
c) Seu volume
d) A distância entre duas de suas arestas opostas
7. Considere um octaedro regular ABCDEF de aresta 2m e
calcule:
a) A área da sua superfície total
b) Sua diagonal
c) Seu volume
d) A tangente do ângulo diedro entre suas faces
8. Responda às seguintes perguntas sobre um cilindro
circular reto de altura 8cm cujo raio da base mede 3cm:
a) Qual o valor da área de sua superfície lateral?
b) Quanto vale sua área total?
c) Qual seu volume?
d) Quanto mede a maior distância entre dois pontos de sua
superfície?
9. Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm
contém água até uma certa altura (fig. 1). Uma esfera de aço
é colocada no interior do recipiente ficando totalmente
submersa (fig. 2). Sabendo que a altura da água subiu 1 cm,
calcule a medida do raio da esfera.
10. Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura h
completamente cheia de um determinado líquido. Este
líquido deve ser distribuído totalmente em copos também
cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e cujo
raio é dois terços do raio da lata.
Quantos copos são necessários, no mínimo?
11. Considere um cone circular reto de 6m de altura cujo
diâmetro da base mede 8m e responda às seguintes
perguntas:
a) Quanto mede a geratriz deste cone?
b) Qual o valor da área de sua superfície lateral?
c) Quanto vale sua área total?
d) Qual seu volume?
12. Calcule a capacidade, em litros, dos sólidos gerados
pelas revoluções do triângulo retângulo ABC, cujos catetos
AB e AC medem respectivamente 80cm e 60cm, em torno
a) do cateto AB
b) do cateto AC
c) da hipotenusa
d) da reta que passa por A e é paralela à hipotenusa

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
13. Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h, e
o raio da base R são tais que os números π, h e R
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de
soma 6π. Calcule a área total deste cilindro.
14. A embalagem de certa marca de batatas fritas tem
o formato de um cilindro circular reto de altura 35cm e
cujo diâmetro da base mede 10cm. Sabendo que as
bases são de um metal cujo preço de custo é R$1,40 o
metro quadrado e que a superfície lateral é feita de um
tipo de papelão que custa R$0,20 o metro quadrado
determine:
a) O volume da embalagem.
b) A área lateral da embalagem.
c) O custo de produção de mil embalagens. (π ≈ 22
7 )
15. A figura a seguir apresenta um triângulo eqüilátero
ABC de lado 2 e um semicírculo de diâmetro BC.
Considere o sólido gerado pela revolução desta figura
em torno do seu eixo de simetria, ou seja, da reta
determinada pelo vértice A do triângulo e pelo ponto
médio de sua base BC.
B
A
M
a) Determine a altura AP do sólido.
b) Determine a área total da superfície deste sólido.
c) Determine o volume deste sólido.
16. Calcule o raio da esfera inscrita em
a) um cubo de aresta 10cm.
b) um tetraedro regular de altura 8cm.
c) um octaedro regular de aresta 2 6 cm.
d) um cone circular reto de altura 8cm e geratriz 10cm.
e) um cilindro eqüilátero de volume 250π cm 3 .
f) uma pirâmide quadrangular regular de apótema 5cm
cuja aresta da base mede 6cm.
17. Calcule o raio das esferas circunscritas nos
seguintes sólidos cujas medidas são dadas em
centímetros:
a) Cubo de aresta 10.
b) Tetraedro regular de altura 8.
c) Octaedro regular de aresta 2 6 .
d) Cone circular reto de altura 8 e geratriz 10.
e) Cilindro circular reto de altura 8 e raio da base 6.
f) Paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 6, 8 e 10.
P
C
18. Um poliedro regular inscreve-se num cubo de tal
forma que seus vértices coincidem com os centros das faces
deste cubo.
a) Que poliedro e esse?
b) Quantas arestas possui este poliedro?
c) Qual a razão entre as medidas das arestas do cubo e deste
poliedro inscrito?
d) Qual a razão entre a área de uma face do cubo e a área de
uma das faces deste poliedro?
e) Qual a razão entre as áreas totais do cubo e do poliedro?
f) Qual a razão entre os volumes do cubo e do poliedro?
19. Dois poliedros de 9 arestas são tais que os vértices de
um deles coincidem com os centros das faces do outro.
Determine quantos vértices e faces têm cada um deles.
20. Calcule o volume e a área da superfície total dos
seguintes sólidos inscritos no cubo aresta a.
a) ABCEFG
b) HABCD
c) HGEAC
d) HDCA
e) HABC
f) HFAC
H
D
21. Duas esferas E 1 e E 2 de raios r 1 e r 2 respectivamente
são tais que uma delas circunscreve o mesmo cubo na qual a
outra está inscrita. Sabendo que r 1 > r 2 , calcule a razão entre
as superfícies esféricas de E 1 e E 2 , e calcule também a razão
entre os seus volumes.
22. Um cubo está inscrito numa semi-esfera de raio 6 de
tal forma que a base da semi-esfera contenha uma das faces
do cubo como mostra a figura em perspectiva.
Determine a medida da aresta deste cubo.
23. Calcule o volume do octaedro regular inscrito num
cubo de aresta 6m, sabendo que os vértices do octaedro são
os centros das faces do cubo.
24. Calcule o volume do octaedro regular cujos vértices
são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular de
volume 6m 3 .
25. Determine a área das secções de uma esfera
determinadas por um plano α, perpendicular ao diâmetro
AB que mede 10m, nos casos em que AB é dividido
a) ao meio b) na razão de 1 para 3
c) na razão de 1 para 5 d) na razão de 1 para 9
G
C
E
A
F
B

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
26. Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada
por um plano situado a uma distância de 12 cm do
centro da superfície esférica, determinando uma
circunferência. Calcule a medida do raio desta
circunferência.
27. O prisma reto cujas bases são os hexágonos
regulares ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ de lados medindo
20cm tem altura AA’=30cm. Deste prisma, pedimos:
a) Sua capacidade em litros e a área total de sua
superfície em metros quadrados. (Use 3 ≈ 1,73)
b) A medida da sua maior diagonal.
c) A área da secção determinada pelo plano ABD’E’.
28. Determine as áreas das secções diagonais de um
prisma quadrangular regular de altura
da base mede
2 cm.
7 cm cuja aresta
29. Um plano α secciona um cilindro circular reto de
altura 10cm de forma que o ângulo diedro entre o plano
α e o plano da base do cilindro tenha tangente igual a
0,5. Sabendo que o raio da base do cilindro é 2cm e a
aresta do diedro esta a 8cm de distância do centro da
base do cilindro, calcule o volume do maior tronco
determinado por esta secção.
30. Considere um cone circular reto de altura 8cm
cujo raio da base mede 6cm. Sabendo que um plano
paralelo a base deste cone, divide sua altura pala
metade, calcule:
a) a geratriz do cone original.
b) o raio da secção.
c) a área da secção.
d) a área da superfície lateral do tronco de cone
determinado por esta secção.
e) a área total deste tronco de cone.
f) o volume deste tronco.
31. A figura apresenta um cubo de aresta 2 em que X,
Y e Z são os pontos médios das arestas AB, GH e BF.
G
Y
H
D
C
Calcule as áreas das secções deste cubo determinadas
pelos planos que passam pelos seguintes pontos
a) A, B e G b) A, D e Y c) A, F e H
d) C, X e Z e) D, X e Z f) X, Y e Z
32. Determine o volume e a área da superfície total de
um tronco de cilindro circular, sabendo que o raio de sua
base mede 4cm, sua secção meridiana é um trapézio
retângulo de bases 1cm e 7cm, e que a área de uma
E
A
F
Z
B
X
elipse é dada pela expressão πab em que a e b são os semieixos
da elipse.
33. Considere uma pirâmide quadrangular regular de
altura 6cm e aresta da base mede 16cm. Um plano paralelo
a base da pirâmide que divide sua altura pala metade
determina um tronco. Deste tronco calcule:
a) A distância entre as arestas paralelas de uma face lateral
b) A área de uma face lateral.
c) A área total do tronco
d) o volume deste tronco.
34. Um plano α paralelo a base de um cone circular reto
de altura 2m, divide-o em dois sólidos.
a) Qual será a razão entre os volumes destes dois sólidos se
o plano α dividir a altura do cone ao meio.
b) Qual será a razão entre os volumes destes dois sólidos se
a secção determinada pelo plano α tiver a metade da área da
base do cone.
c) A que distância da base deve estar o plano α para que ele
divida o cone em dois sólidos equivalentes.
35. A secção meridiana de um cone circular reto é um
triângulo isósceles de base a e altura a. Determine, em
função de a os valores do volume e da área da superfície
lateral deste cone.
36. A secção meridiana de um cilindro circular reto é um
retângulo de área 24m 2 determine o volume e área da
superfície total deste cilindro sabendo que a razão entre sua
altura e o raio de sua base é 0,75.
Testes
1 Fuvest. Sejam π’ e π” as faces de um ângulo diedro
de 45º e P um ponto interior a esse diedro. Sejam P’ e P” as
respectivas projeções ortogonais de P sobre π’ e π”. Então a
medida, em graus, do ângulo P’PP” é:
P’
45º
π’
A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 135
2. Se a aresta da base de um prisma diminui 10% e a altura
aumenta 20%, o seu volume:
A) Aumenta 2,8%.
B) Aumenta 1,5%.
C) Diminui 1,5%.
D) Diminui 2,8%.
E) Não se altera.
P
P”
π”

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
3 Fuvest. O número de faces triangulares de uma
pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide
possui:
A) 33 vértices e 22 arestas B) 12 vértices e 11 arestas
C) 22 vértices e 11 arestas D) 11 vértices e 22 arestas
E) 12 vértices e 22 arestas
4. Assinale a alternativa que apresenta o valor mais
próximo, em centímetros quadrados, da área total de
uma pirâmide quadrangular regular em que todas as
arestas medem 1 cm.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. A capacidade de uma pirâmide de 12 arestas tais que
seis delas medem 1m e as outras seis medem 2m é de:
A) 1,5L B)15L C) 150L D) 1.500L E) 15.000L
6. Existem dois poliedros distintos com cinco vértices.
Se todas as arestas de ambos os poliedros têm a mesma
medida, então a razão entre as áreas das superfícies
totais destes dois poliedros é
A) 4 + 3
6
B) 6 + 2 3
9
C) 4 + 2 2
3
D) 2 + 3 3
6
E) 2 + 3 2
9
7. Um salame tem a forma de um cilindro reto com 40
cm de altura e pesa 1 kg. Tentando servir um freguês
que queria meio quilo de salame, João cortou um
pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço
varia entre 22 cm e 26 cm. O peso do pedaço é de:
A) 600 g B) 610 g C) 620 g D) 630 g E) 640 g
8. Um pedaço de cartolina possui a forma de um
semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um
menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a
base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância, em
centímetros, do bico do chapéu à mesa?
A)10 B) 3 10 C) 20 3 D) 20 E) 10 3
9 Fuvest. Uma metalúrgica fabrica barris
cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais
são moldadas a partir de chapas retangulares de lados a
e 2ª, soldando lados opostos dessas chapas, conforme
ilustrado a seguir.
a
Barril do tipo A
2a
a
Se V A e V B indicam os volumes dos barris do tipo A e
B, respectivamente, tem-se:
A) V A = 2V B B) V B = 2V A C) V A = V B
D) V A = 4V B E) V B = 4V A
2a
Barril do tipo B
a
2a
10 Puc. Uma pirâmide quadrangular regular é inscrita
num cubo de aresta a. A área total da pirâmide é igual a:
A)a 2 B)a 2 5 C)a 2 (2 + 5 )
D)a 2 ( 5 +1) E)a 2 (5 + 5 )
11. Qual é a medida, em metros, do raio da esfera que tem
seu volume em metros cúbicos, numericamente igual a área
de sua superfície total em metros quadrados?
A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) π
12. Uma esfera de raio 30 cm é mergulhada num copo
cilíndrico de 40 cm de raio, até encostar no fundo, de modo
que a água do copo recubra exatamente a esfera.
Antes de a esfera ser colocada no copo, a altura da água, em
centímetros, era
A) 27,5 B) 30 C) 32,5 D) 35 E) 37,5
13. Sendo D a medida do diâmetro da base de um cone
circular reto e G a medida da geratriz deste mesmo cone,
podemos afirmar que sua altura mede:
A)
D)
4G
4G
2 2
2
− D
2 2
4
− D
B)
G
2 2
− 4D
2
E) 2G − D
2
C)
2G
2 2
4
− D
14 Unesp. Seja r um número real positivo e P um
ponto do espaço. O conjunto formado por todos os pontos
do espaço, que estão a uma distância de P menor ou igual a
r, é:
A) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como ponto
médio
B) um cone cuja base é um círculo de centro P e raio r
C) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e raio r
D) uma esfera de centro P e raio r
E) um círculo de centro P e raio r
15 Fuvest. Numa caixa em forma de paralelepípedo
reto-retângulo, de dimensões 26cm, 17cm e 8cm, que deve
ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O
número máximo de esferas iguais a essa que cabem juntas
na caixa é
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
16. Um cubo de volume unitário está inscrito numa
pirâmide quadrangular regular de forma que os vértices de
uma das bases do cubo coincidam com os pontos médios
das arestas laterais da pirâmide e os vértices da outra base
do cubo estejam sobre as diagonais da base da pirâmide. O
volume desta pirâmide é
A) 4 3
B) 4 2
3
C) 8 3
D) 8 2
3
E) 16 3

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
17 Uma laranja pode ser considerada uma esfera de
raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais. A
superfície total de cada gomo mede:
A) 2πR 2 B) 3πR 2 C) 4πR 2 D) 4 3 πR2 E) 3 4 πR2
19. Um cone circular reto de altura 32cm está inscrito
numa esfera de raio 25cm. A área da superfície lateral
deste cone, em centímetros quadrados, é
A) 624π B) 600π C) 578π D) 480π E) 960π
18 UERJ. Três bolas de tênis, idênticas, de
diâmetro igual a 6cm, encontram-se dentro de uma
embalagem cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam
a superfície interna da embalagem nos pontos de
contato, como mostra a figura.
A fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas
é
A) 2 3
B) 5 6
C) 3 4
D) 1 3
E) 5 8
20 Fuvest. Um cone circular reto está inscrito em
um paralelepípedo reto-retângulo, de base quadrada,
como mostra a figura.
g
a
A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e
o volume do cone é π.
Então, o comprimento da geratriz do cone é
A) 5 B) 6 C) 7 D) 10 E) 11
21. O formato da intersecção entre um plano e um
cubo não pode ser:
A) Triangular B) Quadrado C) Pentagonal
D) Hexagonal E) Octogonal
22. Assinale a alternativa correta:
A) A medida diagonal de um cubo coincide com a
medida do diâmetro da esfera nele inscrita.
B) A maior distância entre dois pontos da superfície de
um cilindro circular reto coincide com um diâmetro de
sua esfera circunscrita.
C) medida da aresta de um cubo inscrito numa esfera
coincide com a medida do raio desta esfera.
D) A medida da aresta de um cubo inscrito numa esfera
coincide com a medida do diâmetro desta esfera.
E) O prisma que possui seis faces tem como base um
hexágono regular.
a
b
23 Fuvest. Os segmentos VA, VB e VC são arestas
de um cubo. Um plano α, paralelo ao plano ABC, divide
esse cubo em duas partes iguais. A intersecção do plano α
com o cubo é um:
A) triângulo B) quadrado C) retângulo
D) pentágono E) hexágono
24. Uma pirâmide tem altura H. A que distância do vértice
deve-se passar um plano paralelo à base, para dividi-la em
duas partes de mesmo volume?
H
3 H
A) 3
B) C) 3 H D) H 3
H 2
E)
2 2
3 3
25. Um triedro tri-retângulo é seccionado por um plano
determinando um triângulo isósceles de lados 5cm, 5cm e
4 2 cm. Assinale a alternativa que apresenta o volume do
tetraedro determinado por esta secção é
A) 9 cm 3 B) 8 cm 3 C) 7 cm 3 D) 6 cm 3 E) 5 cm 3
26 Unesp. As arestas de o prisma triangular reto
mostrado na figura têm, todas, a mesma medida. Seccionase
o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por
um ponto M da aresta AB.
C
R
M
A
Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1 3 do
volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se
ter BM igual a:
A) 3 4 BA B) 2 3 BA C) 3 5 BA D) 1 3 BA E) 1 6 BA
B
27. Um plano α que contém o eixo de um cilindro circular
reto divide-o em duas peças sólidas congruentes entre si. Se
este cilindro tem 10cm de altura e sua base tem 14cm de
diâmetro, a alternativa mais próxima do valor da superfície
total de uma das peças, em centímetros quadrados, é:
A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500
28. Derretermos uma peça de chumbo no formato de um
cilindro eqüilátero e usamos o chumbo derretido para fundir
uma outra peça: um cone com a mesma base e a mesma
altura do cilindro original. Supondo que não haja
desperdício de material, se quisermos usar o chumbo
restante para fundir esferas com a metade do raio do
cilindro original, teremos chumbo suficiente para
exatamente
A) 8 esferas B) 6 esferas C) 4 esferas
D) 2 esferas E) 1 esfera
P
Q

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
29. A área lateral de um cone circular reto é igual ao
triplo da área de sua base. Se executarmos a planificação
de sua superfície lateral, obteremos um setor circular
cujo ângulo central mede
A) 90º B) 100º C) 110º D) 120º E) 130º
30. Quanto mede, em metros, o raio da esfera que
circunscreve um cone eqüilátero de altura 3m?
A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5m
IV – Gabarito
1. a) 192 m 2 b) 144 m 3 c) 13 m 2. a) 4m b) 7m, 11m e 15m c) 694 m d) 395 m
3. a) 63 3 m 3 b) 252 m 3 c) 378 3 m 3 d) 3 111 m 3 e) 12 31 m 3 f) 18 39 m 3
4. a) 3 m b) 5 m c) 4 m d) 18 3 m 2 e) 30 3 m 2 f) 24 3 m 3
5. a) 4.000 cm 2 b) 40 cm c) 16.000 cm 3 6. a) 12 3 m 2 b) 2 2 m c) 2 6 m 3 d) 6 m
7. a) 8 3 m 2 b) 2 2 m c) 8 2
3
3
3 m3 d) –2 2 8. a) 48π cm 2 b) 66π cm 2 c) 72π cm 3 d) 10 cm
9.
2 cm 10. 3 11. a) 5m b) 40π m
2
2
12. a) 96πL b) 128πL c) 76,8πL d) 153,6πL 13. 12π 2
14. a) 875π cm 3 b) 350π cm 2 c) R$44,00 15. a) 1+ 3 b) 4π c) 2 + 3 π
3
16. a) 5cm b) 2cm c) 2cm d) 3cm e) 5cm f) 1,5 cm
c) 56π m 3 d) 32π m 3
17. a) 5 3 cm b) 6cm c) 2 3 cm d) 15 4
cm e) 5cm f) 5 2 cm
8 3
18. a) octaedro b) 12 c) 2 d) e) 2 3 f) 6
3
19. Um deles possui 6 vértices e 5 faces e o outro possui 5 vértices e 6 faces.
3
a
3
a
20. a)
2 e (3 + 2 )a2 b)
3 e (2 + 2 )a2 c)
3
3
d)
a6 e 3 + 3 2
a e)
2
a6 e 1+ 2 2 + 3 2
a f)
2
3
a3 e 3 + 2 2 + 3 2
a
2
3
a6 e 2 3 a2
21. 3 e 3 3 22. 2 6 23. 36m 3 24. 3m 3 25. a) 31,14L e 5.676cm 2 b) 50cm c) 300 21 cm 2
26. 5cm 27. a) 25π m 2 b) 37,5π m 2 c) 16π m 2 d) 9π m 2 28. 2 7 cm 2 e 3 2 cm 2 29. 16π cm 3
30. a) 5 cm b) 3 cm c) 9π cm 2 d) 45π cm 2 e) 90π cm 2 f) 252π cm 3
31. a) 4 2 cm 2 b) 2 5 cm 2 c) 3 cm 2 d) 1,5 cm 2 e) 4,5 cm 2 f) 3 3 cm 2
32. 64π m 3 e 90π m 2 33. a) 5 cm b) 60 cm 2 c) 520 cm 2 d) 448 cm 3
34. a) 1 3
2
7 b) 2
4 c) (2 – 3 π ⋅ a π ⋅ 5 ⋅a
4 ) 35. e
36. 48π cm 3 e 58π cm 2
12 4
1. E 2. D 3. E 4. C 5. D 6. B 7. A 8. E 9. A 10. D
11. C 12. E 13. A 14. D 15. D 16. C 17. D 18. E 19. A 20. E
21. E 22. B 23. E 24. A 25. B 26. A 27. E 28. A 29. D 30. B