teoria das proporções

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
I - Teorema linear de Tales
“Se três ou mais paralelas são cortadas por duas transversais, então os segmentos determinados
numa transversal têm medidas que são diretamente proporcionais às dos segmentos correspondentes
determinados na outra”.
1. Quatro alamedas paralelas ligam a Avenida 9 de Julho à Rua Pamplona como mostra a figura. Uma pessoa
que anda pela Rua Pamplona percorre 1650m entre as esquinas da primeira e da ultima alameda. Determina
os comprimentos em metros de cada uma das quadras determinadas por estas quatro alamedas na Rua
Pamplona, sabendo que estas quadras, na Avenida 9 de Julho têm respectivamente 240m, 300m e 450m de
comprimento.
2 UFSM. A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração
de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de
construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas
instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar
que a barreira mede:
A) 33m
B) 38m
C) 43m
D) 48m
E) 53m
II - Teorema da bissetriz
“A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos de
medidas diretamente proporcionais às medidas dos lados adjacentes”.
3. Sendo BP uma bissetriz interna do triângulo
ABC de lados AB=12 cm, BC=15 cm e AC=9 cm.
Determine as medidas dos segmentos AP e PC.
4. Determine a medida da diagonal de um
pentágono regular cujo lado mede 2 cm.
1

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III - Teoremas da base média
“A base média de um triângulo é paralela e mede a metade da base do triângulo”.
“A base média de um trapézio é paralela e mede a média aritmética das bases do trapézio”.
5. Unindo-se os pontos médios dos catetos de
um triângulo retângulo obtemos um segmento
de reta com a medida do:
A) diâmetro do círculo inscrito no triângulo.
B) diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.
C) perímetro do círculo inscrito no triângulo.
D) raio do círculo circunscrito ao triângulo.
E) raio do círculo inscrito no triângulo.
6 Enem. Um marceneiro deseja construir uma
escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que
o mais baixo e o mais alto tenham larguras
respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm,
conforme a figura.
Os degraus serão obtidos cortando-se uma
peça linear de madeira cujo comprimento
mínimo, em cm, deve ser:
A) 144
B) 180
C) 210
D) 225
E) 240
IV - Teorema do baricentro do triângulo
7. Na figura, M e N são pontos médios dos lados BC e AC do
triângulo. Sabendo que AB = 10 cm, AP = 6 cm e BN = 21 cm.
Determine as medidas dos seguintes segmentos:
a) PM
b) AM
c) PN
d) BP
e) MN
“O baricentro divide cada mediana do triângulo em dois segmentos,
sendo que o maior tem o dobro do tamanho do menor”.
V – Teorema da potência de d
ponto
“A potência de um ponto em relação a uma circunferência é constante”
8. A figura ao lado apresenta uma circunferência que passa
pelos pontos A, B, C, D e T. Sabe-se que M é o ponto médio da
corda AB e pertence à corda CD. Além disso, a reta r, que
intercepta a reta AB no ponto P, é tangente à circunferência no
ponto T.
Então, conhecendo-se as medidas MC= 5 cm, MD= 5 5 cm
e PT = 12 cm, determine as medidas dos segmentos AB e AP.
2

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VI - Teorema da razão de semelhança
“Se duas figuras geométricas forem semelhantes, então a razão entre as medidas dos segmentos
correspondentes nessas figuras será igual a uma constante k, a razão entre suas áreas será igual a k 2 , e
se representarem sólidos semelhantes, então a razão entre os volumes desses sólidos será igual a k 3 ”.
Sólido 1 ~ Sólido 2
9. A distribuidora de alimentos shine on box
oferece refeições para viagem em embalagens
cúbicas de três tamanhos. A aresta da maior
delas, chamada de “tamanho família”, mede o
dobro da aresta da menor delas, que é chamada
de “porção individual”.
Supondo que a “porção individual” seja
honesta, ou seja, que alimente de fato uma única
pessoa com apetite normal, determine quantas
pessoas, com apetite normal, a refeição
“tamanho família” deve alimentar.
A) 4 pessoas
B) 6 pessoas
C) 8 pessoas
D) 10 pessoas
E) 12 pessoas
10. Na década de setenta, não havia pista de
dança sem um globo espelhado, que é na
verdade, uma esfera plástica revestida de
pedaçinhos de espelho quadrados. Considere
dois desses globos. Um completamente cercado
por 500 pedacinhos de espelho, e outro menor
com apenas 320. Se os pedacinhos usados em
ambos são do mesmo tamanho, então qual é o
número inteiro mais próximo da razão entre os
seus volumes?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11. Um cálice de cristal com a forma de um cone
contém exatamente 5 mL de água.
Sabendo que a água no interior do cálice
atinge apenas um quarto de sua altura então, o
volume de água necessário para se completar a
capacidade total do cálice é:
A) 20 mL
B) 50 mL
C) 200 mL
D) 320 mL
E) 450 mL
12 Unifesp. Você tem dois pedaços de arame
de mesmo comprimento e pequena espessura.
Um deles você usa para formar o círculo da
figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais
para formar os três círculos da figura II.
Se S é a área do círculo maior e s é a área de
um dos círculos menores, a relação entre S e s é
dada por:
A) S = 3s
B) S = 4s
C) S = 6s
D) S = 8s
E) S = 9s
3

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VII – Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Para todo ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se:
• Seno como sendo o quociente da medida do cateto oposto ao ângulo pela medida da hipotenusa do
triângulo.
• Cosseno
como sendo o quociente da medida do cateto adjacente ao ângulo pela medida da
hipotenusa do triângulo.
• Tangente como sendo o quociente da medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente ao
ângulo.
“Os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo dependem apenas da medida do
ângulo, não importa qual seja a sua posição na figura ou em qual figura ele se encontre”.
13 Fuvest. Um triângulo retângulo tem catetos
AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um ponto P
equidistante do ponto A e da reta BC. Qual a
distância AP?
A) 3/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/3
E) 2
16. Escreva em função das medidas a e b dos
catetos do triângulo ABC, a medida do lado do
quadrado inscrito como mostra a figura:
a
B
C
b
A
14. A medida, em centímetros, do raio do círculo
inscrito em um triângulo isósceles cuja base mede
10 cm e a altura mede 12 cm é:
A) 4
B) 10/3
C) 3
D) 8/3
E) 2
17. Determine a medida do lado do quadrado
inscrito no triângulo retângulo como mostra a
figura:
2 cm 8 cm
15. As bases de um trapézio retângulo medem 4
e 9 centímetros. Determine a medida da altura
desse trapézio sabendo que suas diagonais são
perpendiculares entre si.
18. A figura a seguir apresenta seis retângulos.
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e
congruentes. Os ângulos HÂG e DÂE possuem a
mesma medida. Determine essa medida em graus.
H G F E
A B C D
4

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VIII – Relações métricas no triângulo retângulo
Em todo triângulo retângulo são válidas as seguintes relações de equivalência:
• “O produto da hipotenusa pela altura relativa equivale ao produto dos catetos”
• “O quadrado da altura relativa à hipotenusa equivale ao produto entre as projeções ortogonais dos
catetos sobre a hipotenusa”.
• “O quadrado de um cateto equivale ao produto da sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa pela
própria hipotenusa”
• “A soma dos quadrados dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa” (Teorema de Pitágoras)
19. Determine a medida do raio do círculo
inscrito num losango cujas diagonais medem 4 cm
e 8 cm.
20. Determine o valor do raio da circunferência
centrada na origem do plano cartesiano que
tangencia a reta que representa o gráfico da
3
função y = - x+6 .
4
IX – Teorema dos senos
“As medidas dos lados de um triângulo qualquer são diretamente proporcionais aos senos dos seus
ângulos opostos, internos ou externos. Além disso, a razão entre a medida de cada lado pelo seno do
ângulo oposto é igual à medida do diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo.“
21
21. O lado AB de um triângulo mede 10 6 m e os
ângulos internos de vértices A e B medem
respectivamente 75º e 45º. Então, o lado AC deste
triângulo mede:
A) 20 m
B) 25 m
C) 30 m
D) 35 m
E) 40 m
22. Assinale a alternativa que apresenta o número
inteiro mais próximo da medida, em centímetros,
do raio da circunferência que circunscreve um
triângulo isósceles cuja base mede 10 cm e a
altura mede 12 cm é:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
5

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X – Teorema dos cossenos
“O quadrado de cada lado de um triângulo equivale à soma dos quadrados dos outros dois lados
menos o dobro do produto entre esses lados e o cosseno do ângulo interno que eles formam”.
23. Os ponteiros de um relógio analógico medem
respectivamente 5 cm e 8 cm. Qual é a distância
entre as extremidades dos ponteiros deste relógio,
quando eles formam um ângulo de 60º?
10
1
12
1
2
25. Para registrar a escritura de um terreno na
forma de um quadrilátero ABCD, como mostra a
figura, um agrimensor percorre os 5 km de A até
B, depois os 3 km de B até C e por fim, os 7 km de
C até D, e verifica que os ângulos internos de
vértices B e C medem 120º.
A
9
3
8
4
7
5
6
A) 2 13 cm
B) 51cm
C) 5 2 cm
D) 7 cm
E) 4 3 cm
24. Determine as medidas dos lados dos
seguintes polígonos regulares inscritos num
círculo de raio unitário:
a) octógono
D
Acontece que neste terreno há parte de uma
enorme lagoa, cuja localização impede o
agrimensor de percorrer a trajetória retilínea entre
os pontos D e A. Mesmo assim, o agrimensor deuse
por satisfeito, pois seus conhecimentos de
geometria plana são suficientes para que ele
determine a distância, em quilômetros, entre
esses pontos. Se o agrimensor não cometer
nenhum erro em seus cálculos, ele deverá
encontrar um número:
A) menor que 8,5
B) entre 8,5 e 9
C) entre 9 e 9,5
D) entre 9,5 e 10
E) maior que 10
7 km
5 km
120º
B
120º
3 km
C
b) dodecágono
6