baixar

262
Tópicos sobre infiltração: teoria e prática aplicadas a solos tropicais
Disso se pode dizer que o limite superior é dado pelo caso de Talsma-Parlange.
Não se pode resolver de maneira exata e analítica a Equação (47) em termos da função
W de Lambert, o que torna necessária a busca por outra metodologia de solução. O método
da inversão de Lagrange tem sido utilizado pelos autores no mais diversos campos da Engenharia
Civil, como pode ser visto em Swamee et al. (2011a) e (2011b). A seguir, algumas
definições básicas e a descrição do teorema são mostradas.
8 Função gama de Euler e o teorema da inversão de Lagrange
O teorema da inversão deduzido por Lagrange (1770) é uma poderosa ferramenta na
solução de equações implícitas. Haja vista o grande número de situações em que equações
desse tipo são encontradas na ciência, a importância do referido teorema tem sido verificada
quase infalivelmente.
De maneira geral, o teorema tem por objetivo explicitar uma função y dada implicitamente
por uma equação do tipo (Whittaker e Watson, 1991):
y = χ + δφ(y), (50)
em que χ e δ são parâmetros e φ (y) é uma função qualquer da variável de interesse y. Dessa
maneira, qualquer função ζ (y) pode ser expressa como o seguinte somatório infinito:
É evidente que as condições de convergência da série na Equação (51) devem ser atendidas
para que a solução proposta seja coerente. Nota-se, ainda, que na Equação (51) a série
não depende de y. Assim, caso se considere ζ (y) = y, a função antes descrita implicitamente
na Equação (50) pode ser facilmente explicitada.
No processo de solução da Equação (47), utiliza-se outra função especial que provavelmente
seja familiar ao leitor: a função Gama de Euler, também conhecida como função
fatorial generalizada. Pode-se definir a função gama por meio da seguinte integral imprópria
(Artin, 1964):
A integral acima é valida para qualquer argumento z complexo, exceto quando z = –t,
t ϵ ☐. Nesse último caso, a função gama é indefinida. Por meio da utilização de técnicas de
integração por partes, a partir da Equação (52), a seguinte importante propriedade pode ser
demonstrada:
(51)
(52)
Γ (z + 1) = z Γ (z) (53)
Quando z é um número natural, a Equação (53) pode ser reduzida a Γ (z+1) = z!, justificando-se,
assim, a denominação de função fatorial generalizada. De posse das definições
necessárias, procede-se para a obtenção da solução da Equação (47).