Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Para terminar a prova, basta mostrar que K ɛ é mesmo compacto. Para isto usaremos oCorolário 1.2: de fato, K ɛ é a interseção de conjuntos fechados, logo é fechado. Além disso,r j ↘ 0 e para cada jK ɛ ⊂ ∪ kji=1 B[a i, r j ] ⇒ N ɛj (K ɛ ) ≤ k j < +∞.Isto encerra a prova.✷2.4 Teorema de Prohorov na direção fácilUm dos resultados mais importantes provados nestas notas é o teorema que relaciona asseguintes definições.Definição 2.3. Um conjunto C ⊂ P(M) é dito relativamente compacto se cada seqüênciaem C possui uma subseqüência fracamente convergente a um elemento de P(M).Definição 2.4. Um conjunto C ⊂ P(M) é dito justo (tight) se para todo ɛ > 0 existe umcompacto K ɛ ⊂⊂ M com∀µ ∈ C, µ(K ɛ ) ≥ 1 − ɛ.Teorema 2.5 (Prohorov). C ⊂ P(M) é relativamente compacto se e somente se é justo.A prova da parte “se” requer alguns resultados ainda não provados, mas a parte “somentese” é relativamente simples.Prova: [da parte “somente se”] A prova é semelhante à de Proposição 2.2. Recorde a notaçãoutilizada naquela prova e fixe um ɛ > 0. Mostraremos em primeiro lugar que para todo j ∈ Nexiste um k j ∈ N tal que para todo µ ∈ C()µ ∪ kji=1 B[a i, r j ] ≥ 1 − ɛ2 j .Suponha, para chegar a uma contradição, que isto não é o caso. Então para cada k ∈ N existeµ k ∈ C tal que µ k (∪ k i=1 B[a i, r j ]) < 1 − ɛ/2 j . Como C é relativamente compacto, vemos quepara alguma subseqüência {k n } n µ kn ⇒ µ. Mas então para todo m ∈ N,µ(∪ kmi=1 B(a i, r j )) ≤ lim infe como k n ≥ k m para todo n suficientemente grande,µ(∪ kmi=1 B(a i, r j )) ≤ lim infnnµ kn (∪ kmi=1 B(a i, r j )),µ kn (∪ kni=1 B(a i, r j )) < 1 − ɛ2 j .Tomando m → +∞ obtemos uma contradição, o que implica que()∀j ∈ N, ∃k j ∈ N ∀µ ∈ C µ ∪ kji=1 B[a i, r j ] ≥ 1 − ɛ2 j .Para terminar, defina K ɛ como em (2.1), repita a demonstração de Proposição 2.2 a partirdaquele ponto e deduza que K ɛ é compacto e tem a medida desejada. ✷8