Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Como lim n,m d P (µ n , µ m ) = 0, há algum n 0 ∈ N tal que{ }ɛj∀n ≥ n 0 , d(µ n0 , µ n ) ≤ δ = min2 , 12 j+1 .Fixe este n 0 , tome k j = max n≤n0 k n,j ∈ N e defina:F + = ∪ kji=1 B[a i, 2 −j ].Note que F + ⊃ ∪ kn,ji=1 B[a i, 2 −j−1 ] para cada n ≤ n 0 , logo∀n ≤ n 0 , µ n (F + ) ≥ µ n (∪ kn,ji=1 B(a i, 2 −j−1 )) ≥ 1 − ɛ j2 .Para n > n 0 , temos µ n0 (∪ kn 0 ,ji=1 B[a i, 2 −j−1 ]) ≤ µ n (F + ) + δ, por causa de d P (µ n , µ n0 ) ≤ δ e dapropriedadeF + ⊃ (∪ kn 0 ,ji=1 B[a i, 2 −j−1 ]) δobtida por construção. Isto implica queDeduz-se, portanto, que (4.3) vale.∀n > n 0 , µ n (F + ) ≥ µ n0 (∪ kn,ji=1 B(a i, 2 −j−1 )) − δ ≥ 1 − ɛ j .✷Teorema 4.6. A dupla (P(M), d P ) é um espaço métrico polonês onde as disribuições discretassobre subconjuntos finitos de M são densas. Além disso, convergência segundo d P éequivalente à convergência fraca de disribuições.Prova: Só falta provar que (P(M), d P ) é separável e que as medidas discretas são densas.Faremos isto de maneira unificada. Seja D ⊂ M denso e enumerável. Considere o conjunto:{ ∑D ≡ q a δ a : S ⊂ M finito e não vazio, q a ∈ Q + , ∑ }q a = 1. .a∈Sa∈SNote que D é enumerável. Mostraremos que D é denso em P(M). Faremos isso em etapas.Primeiro notamos que as medidas com suporte enumerávelA ≡ { ∑ i∈Np(i)δ wi : ∀i ∈ N, w i ∈ M, p(i) ≥ 0; e ainda ∑ i∈Np(i) = 1}são densas em P(M). Isto segue do Lema 3.3.Agora mostraremos queB ≡ { ∑ i∈np(i)δ wi: n ∈ N, ∀i ∈ [n], w i ∈ M, p(i) ≥ 0; e ainda ∑p(i) = 1}também é denso. De fato, isto segue do seguinte exercício.Exercício 4.5. Se µ = ∑ i∈N p(i)δ w i∈ A ν = ∑ j∈[n] q(i)δ w i∈ B,d P (µ, ν) ≤ ∑|p(i) − q(i)| + ∑p(i).i∈[n]i≥n+1Prove que isto implica que todo elemento de A pode ser aproximado por um elemento de B.i∈[n]21