Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Capítulo 2: Medidas sobre espaços poloneses: conceitos básicos2.1 Convergência fraca e suas caracterizaçõesSeja (M, d) espaço métrico completo e separável com B = a σ-álgebra de Borel. Chamaremosde P(M) o espaço de distribuições (ou seja, medidas de probabilidade) sobre (M, B).Considere {µ} ∪ {µ n } n∈N ⊂ P(M, B). Dizemos que µ n converge fracamente a µ (ouµ n ⇒ µ) quando para todo A ⊂ M abertoµ(A) ≤ lim inf µ n(A).n∈NProposição 2.1. µ n ⇒ µ é equivalente a qualquer uma das seguintes propriedades.1. para todo F ⊂ M fechado, µ(F ) ≥ lim sup n µ n (F );2. para todo S ∈ B com µ(∂S) = 0, µ n (S) → µ(S);3. para toda f : M → R contínua e limitada, ∫ f dµ n → ∫ f dµ [Faça isso provando eusando a fórmula ∫ ∫ mf dµ = µ{x ∈ M : f(x) ≥ t} dt,0que vale para toda f : M → R mensurável e não negativa com valores entre 0 e m.].4. Para toda f : M → [0, 1] Lipschitz, ∫ f dµ n → ∫ f dµ;Prova: “µ n ⇒ µ”implica que, quando F fechado (logo A = F c aberto),1 − µ(F ) = µ(F c ) ≤ lim infn∈N(1 − µ n(F )) = 1 − lim sup µ n (F ),n∈Ndonde segue o item 1. O item 2 segue do 1 porque neste caso o interior S o e o fecho S têm amesma massa sob µ:µ(S\S o ) = µ(∂S) = 0.Daí segue que µ(S) = µ(S) = µ(S o ) (exercício). Além dissoµ(S) = µ(S) ≥ lim supnµ n (S) ≥ lim sup µ n (S) (como S ⊂ S)ne de forma análoga µ(S) ≤ lim inf n µ n (S), logo lim n µ n (S) existe e iguala µ(S).Provamos agora que “2 ⇒ 3”. Note que basta provar “3”para f : M → [0, +∞) limitadae não-negativa. Definah f : (x, t) ∈ M × [0, +∞) ↦→ I f(x)≥t .Então para todo x ∈ M,f(x) =∫ +∞0h f (x, t) dt =5∫ m0h f (x, t) dt