Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Capítulo 5: A construção de probabilidades condicionais regulares5.1 PreliminaresSeja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e G ⊂ F uma sub-σ-álgebra. É um fato quepara cada Y ∈ L 1 (Ω, F, P) existe um único elemento E [Y | G] ∈ L 1 (Ω, G, P) tal que para todaZ : Ω → R G-mensurável e limitadaE [Y Z] = E [E [Y | G] Z] .Esta v.a. G-mensurável E [Y | G] é chamada a esperança condicional de Y dada G. Nossoobjetivo será provar que, no caso em que (Ω, F) = (M, d), E [Y | G] (ω) = ∫ Y dP ω , ondeP ω ∈ P(M) é função G-mensurável de ω ∈ Ω.Exercício 5.1. Suponha que para cada x ∈ M está definida uma medida de probabilidadeP x sobre (M, B) e que A ⊂ B é uma sub-σ-álgebra. Prove a equivalência das seguintespropriedades.1. para toda f : M → R Lipschitz e limitada, I f (x) ≡ ∫ f dP x é função A-mensurável dex e ainda:se g : M → R é A-mens. e limitada,E [fg] = E [I f g] ;2. para todo aberto A ⊂ M, P x (A) é função A-mensurável de x e ainda:se g : M → R é A-mens. e limitada,E [I A g] = E [P x (A)g] ;3. a mesma propriedade acima, mas para todo A ∈ B mensurável;4. para toda Y : M → R mensurável e limitada, I Y (x) ∫ Y dP x é A-mensurável e ainda:se g : M → R é A-mens. e limitada,E [Y g] = E [I Y g] ;5. para toda Y : M → R mensurável em L 1 , ∫ |Y | dP x é finita P-quase-certamente,I Y (x) ∫ Y dP x é A-mensurável e ainda:se g : M → R é A-mens. e limitada,E [Y g] = E [I Y g] .Prove também que neste caso, ∀Y ∈ L 1 E [Y | A] (x) = ∫ Y dP x P-quase certamente. ChamamosP x (A) ≡ P (A | A) (x) da probabilidade condicional (regular) de A dada A.5.2 A construçãoProvaremos o seguinte resultado.Teorema 5.1. Seja H ⊂ B uma sub-σ-álgebra. Então existe um mapa levando cada x ∈ Ma uma distribuição P x sobre (M, B) tal que para toda f : M → R Lipschitz e limitada,23