Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

o que é igual a ∫ f n dP n,x , que é igual a ∫ f dP n,x e converge para ∫ f dP x . Por outro lado,aspropriedades de esperança condicional implicam que, também com probabilidade 1,|E [f | G] − E [f n | H] (x)| ≤ E [|f − f n | | G] ≤ ɛ n → 0.Logo com probabilidade 1✷∫E [f | G] =f dP x .5.3 Esperanças condicionais com relação a v.a.sPodemos olhar para E [Z | H] = E [Z | X] ou P (A | H) = P (A | X) no caso em que H =σ(X) para alguma v.a. X : M → N, onde N é algum outro espaço polonês.Se P é um terceiro espaço polonês (com σ-álgebra de Borel U), é um fato que todaW : M → P que é σ(X)/U mensurável pode ser escrita como f(X), onde f : N → P émensurável. Segue que neste caso, se Z : M → R é v.a., existe uma função mensurávelf Z (t) ≡ E [Z | X = t] (t ∈ N) tal que E [Z | X] = f Z (X). Do mesmo modo, para cada A ∈ Fexiste um mapa mensurável g A : N → P(M) escrito como g A (t) = P (A | X = t) tal queg A (X) = P (A | X).25